1、2018-2019 学年度人教版数学九年级上册同步练习24.3 正多边形和圆一选择题（共 12 小题）1在正六边形 ABCDEF 的中，若 BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）A B5 C D52下列关于圆的叙述正确的有（ ）对角互补的四边形是圆内接四边形；圆的切线垂直于圆的半径；正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为 2 的正方形 ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（ ）A B C2 D44已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在
2、正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转连续经过六次旋转在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点 B，M 间的距离可能是（ ）A0.5 B0.7 C 1 D 15如图，点 A、B、C 、D、E 、F 是O 的等分点，分别以点 B、D、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案已知O 的半径为 1，那么“三叶轮” 图案的面积为（ ）A B C D6已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六
3、边形的边心距是（ ）A2 B1 C D7如图，正五边形 ABCDE 内接于O，过点 A 作O 的切线交对角线 DB 的延长线于点 F，则下列结论不成立的是（ ）AAE BD BAB=BF CAFCD DDF=8如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，若四边形 ADEH 的面积等于 20，则阴影部分的面积等于（ ）A10 B20 C18 D209如图，分别把正六边形边 AB、EF、CD 向两个方向延长，相交于M、N 、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（ ）A B C D10如图，正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 0 重合，其中 A（2，0）将六边形 ABCDEF 绕原点 O 按顺时针方
4、向旋转 2018 次，每次旋转 60，则旋转后点 A 的对应点 A的坐标是（ ）A（1， ） B（ ，1） C（1， ） D（1， ）11如图，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是（ ）A2 cm B cm C cm D1cm12如图，圆 O 的内接正六边形的边长是 12，则边心距是（ ）A6 B12 C6 D6二填空题（共 6 小题）13圆内接正三边形的边长为 12cm，则边心距是 cm14正六边形的边长为 4cm，它的半径等于 cm15一个半径为 5cm 的圆内接正六边形的面积等于 16如图，有公共顶点 A、B 的正五边形和正六边形，连接 AC 交正六边形于点D，则A
5、DE 的度数为 17如图，O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 分别相切于 A，C 两点，则OCB 的度数为 度18如图，有一个正六边形图片，每组平行的对边距离为 3 米，点 A 是正六边形的一个顶点，现点 A 与数轴的原点 O 重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点 A 恰好落在数轴点 A上，则点 A对应的实数是 三解答题（共 6 小题）19如图，正五边形 ABCDE 的两条对角线 AC，BE 相交于点 F（1）求证：AB=EF；（2）若 BF=2，求正五边形 ABCDE 的边长20如图，O 是正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH 的外接圆（1）正方形 ABCD 与正六边形
6、 AEFCGH 的边长之比为 ；（2）连接 BE，BE 是否为O 的内接正 n 边形的一边？如果是，求出 n 的值；如果不是，请说明理由21已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积22如图，O 的周长等于 8cm，正六边形 ABCDEF 内接于O （1）求圆心 O 到 AF 的距离；（2）求正六边形 ABCDEF 的面积23如图正方形 ABCD 内接于O ，E 为 CD 任意一点，连接 DE、AE （1）求AED 的度数（2）如图 2，过点 B 作 BFDE 交O 于点 F，连接 AF，AF=1，AE=4，求 DE 的长度24（1 ）已知ABC 为正三
7、角形，点 M 是 BC 上一点，点 N 是 AC 上一点，AM、BN 相交于点 Q， BM=C N，证明ABMBCN，并求出BQM 的度数（2）将（1）中的“正ABC”分别改为正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正六边形 ABCDEF、正 n 边形 ABCD，“ 点 N 是 AC 上一点 ”改为点 N 是 CD 上一点，其余条件不变，分别推断出BQM 等于多少度，将结论填入下表：正多边形 正方形 正五边形 正六边形 正 n 边形BQM 的度数 参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1【解答】解：因为正六边形 ABCDEF 的中，BE=10，所以这个正六边形外接圆半径是 ，故选：B2【
8、解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，所以正确；圆的切线垂直于过切点的半径，所以错误；正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数，所以正确；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以正确故选：C3【解答】解：正方形的边长为 2，正方形的对角线的长为 2 ，正方形的外接圆的直径为 2 ，正方形的外接圆的面积=2，故选：C4【解答】解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2 小于等于 1，当正方形和正六边形的边重合时，点 B，M 间的距离可能是 1 或 1，故选：D5【解答】解：连接 OA、OB、AB，作 OHA
9、B 于 H，点 A、B、C 、D、E、F 是O 的等分点，AOB=60，又 OA=OB，AOB 是等边三角形，AB=OB=1， ABO=60，OH= = ，“三叶轮”图案的面积=（ 1 ）6= ，故选：B6【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为 ，所以圆的半径为 ，所以该圆的内接正六边形的边心距 sin60= ，故选：B7【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，BAE=ABC=C=EDC=E= =108，BC=CD，CBD=CDB= （180C ）=36，ABD=108 36=72，EAB+ABD=180 ，AE BD，故本选项不符合题意；B、连接 OA、OB，五边形 ABCDE 是正五边
10、形，AOB= =72，OA=OB，OAB= OBA= （18072）=54，FA 切O 于 A，OAF=90，FAB=9054=36 ，ABD=72 ，F=7236=36=FAB，AB=BF，故本选项不符合题意；C、 F=CDB=36，AFCD，故本选项不符合题意；D、连接 AD，过 A 作 AH DF 于 H，则AHF= AHD=90，EDC=108，CDB=EDA=36，ADF=1083636=36=F，AD=AF，FH=DH，当F=30时，AF=2AH，FH=DH= AH，此时 DF= AF，此时F=36时，DF AF，故本选项符合题意；故选：D8【解答】解：作出正方形 MNQR，如图所
11、示：AMB 中，AM=x，则 BM=x，AB= x，正八边形的边长是 x则正方形的边长是（2+ ）x根据题意得： x（2+ ）x=20，解得：x 2=10（ 1）则阴影部分的面积是：2x（2 + ）x 2 x2=2（ +1）x 2=2（ +1）10（1） =20故选：B9【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，它们的边长相等，由正六边形可以分割为 6 个全等的三角形，则阴影部分与空白部分的面积比为： = 故选：A10【解答】解：连接 OB、OC 、OE 、OF，作 EHOD 于 H，六边形 ABCDEF 是正六边形，AOF= FOE=EOD= DOC=COB=
12、BOA=60 ，将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转，每次旋转 60，点 A 旋转 6 次回到点 A，20186=3362正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 2018 次，与点 E 重合，在 RtEOH 中，OH= OE=1，EH= OH=顶点 A 的坐标为（1， ），故选：A11【解答】解：正六边形的任一内角为 120，1=30（如图）， a=2cos 1= ，a=2 故选：A12【解答】解：如图所示，连接 OB、OC ，过 O 作 OGBC 于 G，此多边形是正六边形，OBC 是等边三角形，OBG=30，边心距 OG=OBsinOBG=12 =6 ；故选：D二填空题
13、（共 6 小题）13【解答】解：如图在正三角形 ABC 中，AB=BC=AC=12，作 OHBC 于 H，连接 OBOHBC，BH=CH=6，在 RtOBH 中，OH=BHtan30=6 =2 （cm），故答案为：2 14【解答】解：此多边形为正六边形，AOB= =60；OA=OB，OAB 是等边三角形，OA=AB=4cm，故答案为：415【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是 5，因而面积是 5 = cm2，因而正六边形的面积 cm2故答案为 cm216【解答】解：正五边形的内角是ABC= =108，AB=BC，CAB=36 ，正六边形的内角是ABE
14、=E= =120，ADE+E+ABE+CAB=360，ADE=360120 12036=84，故答案为 8417【解答】解：O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 分别相切于 A，C 两点，OAAE，OCCD，OAE=OCD=90，BCD=108，OCB=10890=18故答案为 1818【解答】解：如图作 BHOC 于 HBC=BO，BHOC，CH=HO= ，在 RtCBH 中，cos30= ，CH= ，由题意 OA=6BC=6 ，故答案为 6 三解答题（共 6 小题）19【解答】解：（1）正五边形 ABCDE，AB=AE，BAE=108，ABE=AEB=36 ，同理：BAF=BCA
15、=36，FAE=AFE=72 ，AE=EF，AB=EF；（2）设 AB=x，由（1）知；BAF=AEB，ABF=ABE，ABFEBA， ，即 ，解得： （舍去），五边形 ABCDE 的边长为 1+ 20【解答】解：（1）设此圆的半径为 R，则它的内接正方形的边长为 R，它的内接正六边形的边长为 R，内接正方形和外切正六边形的边长比为 R：R= ：1；故答案为： ：1；（2）BE 是O 的内接正十二边形的一边，理由：连接 OA，OB，OE ，在正方形 ABCD 中，AOB=90，在正六边形 AEFCGH 中，AOE=60，BOE=30，n= =12，BE 是正十二边形的边21【解答】解：正六边形
16、的半径等于边长，正六边形的边长 AB=OA=a；正六边形的周长=6AB=6a；OM=OAsin60= a，正六边形的面积 S=6 a a= a222【解答】解：（1）连接 OC、OD，作 OHCD 于 H，O 的周长等于 8cm，半径 OC=4cm，六边形 ABCDE 是正六边形，COD=60，COH=30，圆心 O 到 CD 的距离=4cos30=2 ，圆心 O 到 AF 的距离为 2 cm；（2）正六边形 ABCDEF 的面积= 42 6=24 cm223【解答】解：（1）如图 1 中，连接 OA、OD四边形 ABCD 是正方形，AOD=90 ，AED= AOD=45（2）如图 2 中，连
17、接 CF，CE，CA，BD，作 DHAE 于 HBFDE，ABCD ，BDE= DBF，BDC=ABD，ABF=CDE，CFA=AEC=90 ，DEC=AFB=135，CD=AB，CDEABF，AF=CE=1，AC= = ，AD= AC= ，DHE=90 ，HDE=HED=45，DH=HE，设 DH=EH=x，在 RtADH 中，AD 2=AH2+DH2， =（4x ） 2+x2，解得 x= 或 （舍弃），DE= DH=24【解答】（1）证明：ABC 为等边三角形，ABC=C=60 ，在ABM 和 BCN 中，ABM BCN，BAM=CBN，BQM= BAM +ABQ=CBN+ABQ=60；（2）正方形 ABCD 中，由（1）得，ABMBCN，BAM=CBN，BQM= BAM +ABQ=CBN+ABQ=90，同理正五边形 ABCDE 中，BQM=108 ，正六边形 ABCDEF 中，BQM=120，正 n 边形 ABCD中，BQM= ，故答案为：90 ；108 ；120；
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