1、,题型4 实际应用问题,类型函数实际应用问题,例12018衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系 (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍
2、在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度,规范解答：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 ya(x3)25(a0)，(2分) 将(8，0)代入 ya(x3)25，得25a50， 解得a ， 水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y (x3)25(0x8)(8分),(2)当y1.8时， (x3)251.8， 解得x11(舍去)，x27， 为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心 7米以内(10分),(3)当x0时，y (x3)25 . 设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y x2bx (12分) 该
3、函数图象过点(16，0)， 0 16216b ，解得b3， 改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y x23x (x )2 . 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米(15分),满分技法(1)二次函数的实际应用问题大致有这么几类：一、面积类，运用面积公式表示关系式；二、销售利润类，利用总利润单位利润数量这个公式表示关系式；三、求实际问题中的二次函数解析式类，合理建立坐标系可以使得问题简单；四、与一次函数图象结合类等，根据函数图象提供的信息建立关式(2)实际问题必须考虑自变量的取值是否满足实际要求,【满分必练】,12018淮安某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元经市场调研
4、， 当该纪念品每件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少 10 件 (1)当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为_件； (2)当每件的销售价x (元)为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y (元) 最大？并求出最大利润,解：(1)180.,(2)y(x40)20010(x50)(x40)(70010x)10x21100x28000. 100， 当x 55时，y有最大值，y最大值为2250. 答：当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元,22018滨州 如图，一小球沿与地面成一定角度的
5、方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 x(单位：s)之间具有函数关系y5x220x，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？,解：(1)当y15时，5x220x 15， 化简，得x24x30，即(x1)(x3)0， 故x1或3， 即当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1秒或者3秒,(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0， 所以有05x220x，解得x0或4， 所以，从飞出到
6、落地所用时间是4秒,(3)y5x220x5(x2)220， 当x2时，y取得最大值，此时y20， 所以当x2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米,32017福建如图，一个矩形菜园ABCD，一边AD靠墙(墙MN长为a米，MNAD)，另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成 (1)当前a20米时，矩形ABCD的面积为450平方米，求AD长； (2)求矩形ABCD面积的最大值,解：(1)设ADx米， 则BCx米，ABCD (100x) (50 x)米， 依题意，有x(50 x)450， 整理，得x2100x9000，解得x90或x10. MNa20，MNAD， x9020不合题意，舍去， x10，
7、即AD长为10米,(2)设AD y，则ABCD(50 y)米， 满足 解得0y100. 设矩形ABCD的面积为S，则 S y(50 y) y250y ( y50)21250， 若a50，则当 y50时，S最大1250； 若当0a50，则当0ya时，S随y的增大而增大， 故当ya时，S最大50a a2. 综上所述，当a50时，矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250平方米 当0a50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是(50a a2)平方米,42018黔西南州某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)
8、(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益售价成本) (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由； (3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？,解：(1)当x6时， y13，y21， y1y2312， 6月份出售这种蔬菜每千克的收 益是2元,(2)设 y1mxn，y2a(x6)21. 将(3，5)，(6，3)代入 y1mxn，得 解得 y1 x7. 将(3，4)代入 y2a(x6)21， 4a(36)21，解得a ， y2 (x6)21 x24x13
9、. y1y2 x7( x24x13) x2 x6 (x5)2 . 0， 当x5时，y1y2取最大值，最大值为 ， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大,(3)当x4时，y1y2 x2 x62. 设4月份的销售量为 t万千克，则5月份的销售量为(t2)万千克， 根据题意，得2t (t2)22，解得t4， t26. 答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克,类型方程、不等式与函数实际应用问题,例22018青岛某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品公司按订单生产(产量销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件此产品年销售量y(万件)与售价
10、x (元/件)之间满足函数关系式yx26. (1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式； (2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元,(2)该产品第一年的利润为20万元， x232x23620， (x16)20，x1x216. 答：该产品第一年的售价是16元(8分),规范解答：(1)根据题
11、意，得W1xy6y80(x26)x6(x26)80x226x6x15680， 故W1x232x236.(5分),(3) 依题意，得W2yx5y20(x26)x5(x26)20， W2x231x150. 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， x16. 另外受产能限制，销售量无法超过12万件， x2612，解得x14， W2x231x150(14x16)(10分) 10，对称轴为x ， x14时，W2有最小值为88万元 答：利润最少为88万元(12分),满分技法(1)方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题：一、一次函数与方程或不等式的综合应用，这类属于高频命题形式，考查内容
12、可以涉及多个，如一次函数图象信息题，一次函数方案选择类型问题等，结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、二次函数与方程或不等式的综合应用，包括销售利润类，与一次函数结合等类型(2)命题中常常以方程或方程组，根据已知条件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范围，再根据函数的性质解答问题(3)利用表格、图例、函数图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础，关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键，把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细微处思考争满分,【满分必练】,52018南通小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同
13、，具体信息如下表：,根据以上信息解答下列问题： (1)求A，B两种商品的单价； (2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由,分析：(1)根据表格中的信息可以知道，购买2件A的费用购买1件B的费用55元，购买1件A的费用购买3件B的费用65元，根据这两个等量关系可以列二元一次方程组解决；(2)要解决购买商品的最省钱的购买方案，可考虑利用函数的增减性求总费用的最小值在求函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围,(2)设第三次购买A种商品m件，购买商品的总费用W元，则购买B种商品(12m)件 W20m15(12m)5m180
14、. 由题意，知m2(12m)， m8. W随m的增大而增大， 当m8时，W有最小值，此时12m4. 最省钱的购买方案是购买A种商品8件，B种商品4件,解：(1)设A，B两种商品的单价分别为x元，y元 根据题意，得 解得 答：A，B两种商品的单价分别为20元，15元,62018河南某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y(个)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：(注：日销售利润日销售量(销售单价成本单价),(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值； (2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是_元，
15、当销售单价x_元时，日销售利润w最大，最大值是_元； (3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系，若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？,(2)80；100；2000.,(3)设该产品的成本单价为a元， 由题意，得(590600)(90a)3750， 解得a65. 答：该产品的成本单价应不超过65元,解：(1)设y关于x的函数解析式为ykxb， 由题意，得 解得 y关于x的函数解析式为y5x600. 当x115时，m511560025.,72018眉山传统的端午节即将来临
16、，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？ (2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润出厂价成本),解：(1)634204(只)， 前六天中第6天生产的粽子最多达到 204只， 20x80280， 解得x10. 答：第10天生产的粽子数量为280只,(2)当0x10时，p2， 当10x20时，设pkxb，将(10，2)和(20，3)代入， 得 解得 p x1. 当0x6时，w(42)34x68x，w随x的增大而增大， 当x6时，w的最大值为408； 当6x10时，w(42)(20x80)40x160，w随x的增大而增大，当x10时，w最大值为560； 当10x20时，w(4 x1) (20x80)2x252x240，对称轴为x13，在10x20内，将x13代入，得w最大578. 综上所述，w与x的函数表达式为w 第13天的时候利润最大，最大利润为578元,检测学习成果，体验成功快乐！请用高分提升训练第219221页。祝你取得好成绩！,
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