1、2018-2019 学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项填涂在答题卡相应的位置1若 3x=2y（ xy0） ，则下列比例式成立的是（ ）A B C D【考点】交叉相乘法则【解析】各选项中，对比例交叉相乘，可知，只有 A 与已知条件相符。故选：A2如果两个相似多边形的面积比为 4：9，那么它们的周长比为（ ）A4 ：9 B 2：3 C ： D16：81【考点】相似多边形的性质【解析】两个相似多边形的周长比等于面积的比的平方，所以，这两个相似多边形周长的比是 2：3故选：B
2、3已知函数 y=（m3）x 是二次函数，则 m 的值为（ ）A 3 B3 C3 D【考点】二次函数的定义【解析】函数 y=（m 3）x 是二次函数， ，解得：m=3故选：A4如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DEBC ，AD=1 ，BD=2 ，那么的值为（ ）A1 ：2 B1：3 C1：4 D2：3【考点】平行线分线段成比例【解析】DEBC，ADE ABC， = ，AD=1 ，DB=2， = ， = 故选：B5已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示则用电阻 R 表示电流 I 的函数表达式为（ ）
3、A B C D【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；GA：反比例函数的应用【解析】设用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为 I= ，过（2，3） ，k=32=6，I= ，故选：D6反比例函数 y= 的图象经过点（ 1，y 1） ， （2，y 2） ，则下列关系正确的是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1=y2 D不能确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】反比例函数 y= 的图象经过点（1，y 1） ， （2，y 2） ，y 1=3，y 2= ，3 ，y 1y 2故选：A7已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）Aa +b+c0 Ba
4、b0C b+2a=0 D当 y0，1x3【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】A、由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可得当 x=1 时，y0，即 a+b+c0故本选项错误，B、由对称轴 x0可得 0，可得 ab0，故本选项错误，C、由与 x 轴的交点坐标可得对称轴 x=1，所以 =1，可得 b+2a=0，故本选项正确，D、由图形可得当 y0，1x3故本选项错误，故选：C8跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y=ax2+bx+c（a0） 如图记录了某运动员起跳后
5、的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）A10m B15m C20m D22.5m【考点】二次函数的应用【解析】根据题意知，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点（0，54.0） 、 （40，46.2） 、（20，57.9） ，则解得 ，所以 x= = =15（m） 故选：B二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9请写出一个开口向上，且与 y 轴交于（0 ， 1）的二次函数的解析式 y=x 2+2x1 【考点】二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式【解析】根据题意得：y=x 2+2x1，故答案为：y=x 2
6、+2x110已知 ，则 = 【考点】比例的性质【解析】 ，得 x= y，把 x= y，代入 = 故答案为： 11把抛物线 y=x2+1 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线为 y=（ x3） 2+1 【考点】二次函数图象与几何变换【解析】抛物线 y=x2+1 的顶点坐标为（0，1） ，把（0，1）向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位所得对应点的坐标为（3，1） ，所以平移后的抛物线为 y=（x 3） 2+1故答案为 y=（ x3） 2+112若 x=1 是方程 2ax2+bx=3 的根，当 x=2 时，函数 y=ax2+bx 的函数值为 6 【考点】抛物线与 x 轴
7、的交点【解析】x=1 是方程 2ax2+bx=3 的根，2a+b=3，当 x=2 时，函数 y=ax2+bx=4a+2b=2（2a +b）=6，故答案为 613为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 ABBC ，然后再在河岸上选点 E，使得 ECBC，设 BC与 AE 交于点 D，如图所示，测得 BD=120 米，DC=60 米，EC=50 米，那么这条河的大致宽度是 100 米 【考点】相似三角形的应用【解析】ABBC，EC BC，B= C=90又ADB=EDC，ADB EDC ，即 解得：AB=100 米故答案为：100 米1
8、4如图，C 1 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象，且过点 A（2，1） ，C 2 与 C1 关于x 轴对称，那么图象 C2 对应的函数的表达式为 y= （x 0） 【考点】反比例函数的图象；G4 ：反比例函数的性质； G7：待定系数法求反比例函数解析式；P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标【解析】C 2 与 C1 关于 x 轴对称，点 A 关于 x 轴的对称点 A在 C2 上，点 A（2，1） ，A坐标（2， 1） ，C 2 对应的函数的表达式为 y= ，故答案为 y= 15如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高
9、度为 4 m【考点】相似三角形的应用；U5：平行投影【解析】如图：过点 C 作 CDEF，由题意得：EFC 是直角三角形，ECF=90，EDC=CDF=90，E +ECD=ECD+DCF=90 ，E=DCF，RtEDC RtCDF，有 = ；即 DC2=EDFD，代入数据可得 DC2=16，DC=4；故答案为：416如图，在直角坐标系中，有两个点 A（4，0） 、B（0，2） ，如果点 C 在 x 轴上（点C 与点 A 不重合） ，当点 C 坐标为 （ 1，0 ）或者（1，0）或者（4，0） 时，使得由 B、O、C 三点组成的三角形和AOB 相似【考点】坐标与图形性质；S9：相似三角形的判定与
10、性质【解析】点 C 在 x 轴上，BOC=90两个三角形相似时，应该与BOA=90对应，若 OC 与 OA 对应，则 OC=OA=4，C（4，0） ；若 OC 与 OB 对应，则 OC=1，C （1，0）或者（1，0 ） 三、解答题（本题共 68 分，第 1722 题每小题 5 分，第 2326 题每小题 5 分，第2728 题每小题 5 分）17 （5 分）已知二次函数 y=x22x3（1）将 y=x22x3 化成 y=a（x h） 2+k 的形式；（2）与 y 轴的交点坐标是 （0 ， 3） ，与 x 轴的交点坐标是 （3，0） （ 1，0） ；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x y
11、 （4）不等式 x22x30 的解集是 x1 或 x3 【考点】二次函数的图象；H9：二次函数的三种形式； HC：二次函数与不等式（组） 【解析】 （1）y=x 22x3=x22x+131=（x1） 24，即 y=（x 1） 24；（2）令 x=0，则 y=3，即该抛物线与 y 轴的交点坐标是 （0，3） ，又 y=x22x3=（x3） （x+1） ，所以该抛物线与 x 轴的交点坐标是（ 3，0 ） （ 1，0） 故答案是：（0，3） ；（ 3，0） （ 1，0） ；（3）列表：x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示：；（4）如图所示，不等式 x22x30 的解集是 x1
12、 或 x3 故答案是：x1 或 x318 （5 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，D 是 AC 边上一点，DE AB 于点 E若DE=2，BC=3，AC=6 ，求 AE 的长【考点】相似三角形的判定与性质【解析】C=90 ，DEAB，AED= C=90，又A=A，AED ACB， ，又DE=2 ，BC=3 ，AC=6 ， ，AE=419 （5 分）若二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，1）和（1，2）两点，求此二次函数的表达式【考点】二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式【解析】二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过（0，1）和（1，2）两点， ，解
13、得： ，二次函数的表达式为 y=x24x+120 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象与一次函数y=x+1 的图象的一个交点为 A（ 1，m） （1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数 y=x+1 的图象与 x 轴交于点 B（ n，0） ，请确定当 xn 时，对应的反比例函数 y= 的值的范围【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】 （1）点 A 在一次函数 y=x+1 的图象上，m=（1）+1=2，点 A 的坐标为（1，2） 点 A 在反比例函数 的图象上，k=12=2反比例函数的表达式为 y= （2）令 y=x+1=0，解得： x=1，点
14、B 的坐标为（1，0） ，当 x=1 时， =2由图象可知，当 x1 时， y0 或 y221 （5 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 的延长线上，且DAE=F（1）求证：ABEECF；（2）若 AB=5，AD=8，BE=2 ，求 FC 的长【考点】平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质【解答】 （1）证明：如图四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC B= ECF，DAE= AEB又DAE= F，AEB=FABEECF；（2）解：ABEECF， ，四边形 ABCD 是平行四边形，BC=AD=8EC=BCBE=8 2=6 22 （5 分）如图
15、，ABCD 是一块边长为 4 米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点 E 在 AB 边上，点 G 在 AD 的延长线上，DG=2BE ，设 BE 的长为 x 米，改造后苗圃 AEFG 的面积为 y 平方米（1）y 与 x 之间的函数关系式为 y=2x 2+4x+16 （不需写自变量的取值范围） ；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃 AEFG 的面积与原正方形苗圃 ABCD 的面积相等，请问此时 BE 的长为多少米？【考点】一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用【解析】 （1）y=（4x） （4 +2x）=2x 2+4x+16，故答案为：y=2x 2+4x+16；（
16、2）根据题意可得：2x 2+4x+16=16，解得：x 1=2， x2=0（不合题意，舍去） ，答：BE 的长为 2 米23 （6 分）已知抛物线 y=x2（2m 1）x +m2m（1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 y=x3m+3 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值【考点】抛物线与 x 轴的交点【解答】 （1）证明：令 y=0 得：x 2（2m 1）x +m2m=0，= （ 2m1） 24（m 2m）1=（ 4m24 m+1）（4m 24m）=10 ，方程有两个不等的实数根，原抛物线与 x 轴有两个不同的交点；（2）解：令 x=0，根据题意有：m 2m=
17、3m+3，解得 m=3 或 124 （6 分）已知：CD 为一幢 3 米高的温室，其南面窗户的底框 G 距地面 1 米，CD 在地面上留下的最大影长 CF 为 2 米，现欲在距 C 点 7 米的正南方 A 点处建一幢 12 米高的楼房 AB（设 A，C，F 在同一水平线上） （1）按比例较精确地作出高楼 AB 及它的最大影长 AE；（2）问若大楼 AB 建成后是否影响温室 CD 的采光，试说明理由【考点】相似三角形的应用【解析】如图，HEDF，HCAB ，CDFABECHE，AE ：AB=CF：DC，AE=8 米，由 AC=7 米，可得 CE=1 米，由比例可知：CH=1.5 米1 米，故影响
18、采光25 （6 分）如图，隧道的截面由抛物线 ADC 和矩形 AOBC 构成，矩形的长 OB 是12m，宽 OA 是 4m拱顶 D 到地面 OB 的距离是 10m若以 O 原点，OB 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系（1）画出直角坐标系 xOy，并求出抛物线 ADC 的函数表达式；（2）在抛物线型拱壁 E、 F 处安装两盏灯，它们离地面 OB 的高度都是 8m，则这两盏灯的水平距离 EF 是多少米？【考点】HE：二次函数的应用【解析】 （1）画出直角坐标系 xOy，如图：由题意可知，抛物线 ADC 的顶点坐标为（6，10 ） ，A 点坐标为（0，4） ，可设抛物
19、线 ADC 的函数表达式为 y=a（x6） 2+10，将 x=0，y=4 代入得：a= ，抛物线 ADC 的函数表达式为：y= （x 6） 2+10（2）由 y=8 得： （x6） 2+10=8，解得：x 1=6+2 ，x 2=62 ，则 EF=x1x2=4 ，即两盏灯的水平距离 EF 是 4 米26 （6 分）有这样一个问题：探究函数 y= （x 1） （x 2） （x 3）+x 的性质（1）先从简单情况开始探究：当函数 y= （x 1）+x 时， y 随 x 增大而 增大 （填“增大”或“减小”） ；当函数 y= （x 1） （x 2）+x 时，它的图象与直线 y=x 的交点坐标为 （1，
20、1） ，（2，2） ；（2）当函数 y= （x1） （ x2） （x 3）+x 时，下表为其 y 与 x 的几组对应值x 0 1 2 3 4y 3 1 2 3 7 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： y 随 x 的增大而增大 【考点】二次函数的图象；H3：二次函数的性质【解析】 （1）y= （ x1）+x= x ，k= 0，y 随 x 增大而增大，故答案为：增大；解方程组 得： ， ，所以两函数的交点坐标为（1，1） ， （2，2） ，故答案为：（1，1） ， （2，2） ；（2）该
21、函数的性质：y 随 x 的增大而增大；函数的图象经过第一、三、四象限；函数的图象与 x 轴 y 轴各有一个交点等，故答案为：y 随 x 的增大而增大27 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴正半轴交于 A，B两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C（1）利用直尺和圆规，作出抛物线 y=x2+mx+n 的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（2）若OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 为抛物线对称轴上的一点，则 PA+PC 的最小值为 3 【考点】二次函数综合题【解析】 （1）如图
22、，直线 l 为所作；（2）OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，即 OB=OC=3，C （0，3） ，B（3，0） ，把 C（ 0，3） ，B（3，0）分别代入 y=x2+mx+n 得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x24x=3；（3）连接 BC 交直线 l 于 P，如图，则 PA=PB，PC+PA=PC+PB=BC，此时 PC+PA 的值最小，而 BC= OB=3 ，PA+PC 的最小值为 3 故答案为 3 28 （7 分）已知四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G（1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF则 DECD = C
23、FAD（填“”或“=”或“” ） ；（2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当 B 与EGC 满足什么关系时，使得 DECD=CFAD 成立？并证明你的结论；（3）如图 3，若 BA=BC=3，DA=DC=4，BAD=90，DECF 则 的值为 【考点】四边形综合题【解答】 （1）解：DECD=CFAD ，理由是：四边形 ABCD 是矩形，A=FDC=90，CF DE，DGF=90 ，ADE+CFD=90，ADE +AED=90，CFD=AED，A=CDF，AED DFC， = ，DECD=CFAD，故答案为：=（2）当B+EGC=180时，DECD=CFAD 成立证明：四边
24、形 ABCD 是平行四边形，B= ADC ，AD BC，B+A=180，B+EGC=180，A=EGC=FGD，FDG=EDA，DFG DEA， = ，B= ADC ，B+EGC=180，EGC+DGC=180，CGD=CDF，GCD=DCF，CGD CDF， = ， = ，DECD=CFAD，即当B+EGC=180时，DECD=CFAD 成立（3）解： = 理由是：过 C 作 CNAD 于 N，CM AB 交 AB 延长线于 M，连接 BD，设 CN=x，BAD=90 ，即 ABAD，A=M=CNA=90，四边形 AMCN 是矩形，AM=CN，AN=CM，在BAD 和 BCD 中BAD BCD（SSS） ，BCD=A=90，ABC+ADC=180 ，ABC+CBM=180 ，MBC= ADC，CND= M=90，BCM DCN， = ， = ，CM= x，在 RtCMB 中，CM= x， BM=AMAB=x3，由勾股定理得：BM 2+CM2=BC2，（x3） 2+（ x） 2=32，x=0（舍去） ，x= ，CN= ，A=FGD=90 ，AED+AFG=180，AFG+NFC=180，AED= CFN，A=CNF=90，AED NFC， = = ，故答案为：
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