【易错题】青岛版九年级数学上册《第二章 解直角三角形》单元检测试题（教师用）

1、 第 1 页 共 18 页【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第二章 解直角三角形 单元检测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.在 RtABC 中 ,C=90,若 AC=2,BC=1,则 tanA 的值是（ ） A. B. 2 C. D. 12 55 52【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】利用用正切概念求即可. .tanA=BCAC=12故选 A2.把 RtABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍, 则锐角 A 的正弦函数值( ) A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的 3 倍 D. 不能确定13【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解

2、答】解：在 RtABC 中，设C 为直角，则 sinA= ， BCAB当把 RtABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍,则 sin A= ,3BC3AB=BCABsin A 的值不变。故答案为：A。【分析】考查正弦函数的定义，在直角三角形中，每条边的长度同时扩大相同的倍数，正弦值不变。3.（2016包头）如图，点 O 在ABC 内，且到三边的距离相等若 BOC=120，则 tanA 的值为（ ）A. B. C. D. 333 32 22【答案】A 【考点】角平分线的性质，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：点 O 到ABC 三边的距离相等，BO 平分 ABC，CO 平分ACB，A=180

3、（ABC+ ACB）=1802 （ OBC+OCB）=1802（180BOC）=1802 （180 120）=60，第 2 页 共 18 页tanA=tan60= ，3故选 A【分析】由条件可知 BO、CO 平分 ABC 和ACB ，利用三角形内角和可求得 A，再由特殊角的三角函数的定义求得结论本题主要考查角平分线的性质，三角形内角和定理，正切三角函数的定义，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键4.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东 方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） 40A. 南偏西 50 B. 南偏西 40 C. 北偏东 50 D. 北偏东 40【答案】B 【考点】解直角三角

4、形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：在海上，灯塔位于一艘船的北偏东 40方向，那么这艘船位于这个灯塔的南偏西40方向故答案为： B【分析】画出灯塔位于一艘船的北偏东 40 度 方向，再在这艘船处画方位图即可知这艘船位于这个灯塔的方向。5.如图所示的四条射线中，表示北偏东 60的是（ ）A. 射线 OAB. 射线 OBC. 射线 OCD. 射线 OD【答案】A 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：表示北偏东 60的是射线 OA故选：A【分析】利用方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向，进而得出答案6. 为锐角，且关于 x 的一元二次方程 有两

5、个相等的实数根，则 =（ ） x2-22sinx+1=0第 3 页 共 18 页A. 30 B. 45 C. 30或 150 D. 60【答案】B 【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：方程化为一般形式为：x 22 sinx+1=0， 关于 x 的一元二次方程 x22 2 2sinx+1=0 有两个相等的实数根，=（2 sin） 24=0，即 sin2= ，212解得，sin= ，sin = （舍去）22 22=45故选 B【分析】因为方程有两个相等的实数根，则=22 4（ m）=0，解关于 sin 的方程，求出 sin 的值，再据此求出 的值即可7.某人沿着有一定坡度的

6、坡面走了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 6 米，则他水平前进的距离为（ ）米 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C 【考点】解直角三角形的应用 【解析】 【 分析 】 根据某人沿着有一定坡度的坡面走了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 6 米，利用勾股定理求得水平距离【解答】某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米此时他与水平地面的垂直距离为 6 米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为： =8 米102-62故选：C【 点评 】 此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出8.已知正三角形的边长为 12，则这个正三角形外接圆

7、的半径是（ ） A. B. C. D. 23 3 33 43【答案】D 【考点】垂径定理的应用，正多边形和圆，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】：解：如图所示 连接 OB，过点 O 作 ODBC 于点 D，又 BC=12，第 4 页 共 18 页BD= BC=6，12ABC 是等边三角形，OBD=30 ， OB= = =4BDcos OBD632 3故答案为：D .【分析】根据垂径定理得出 BD 的长度，然后根据正三角形的性质得出 OBD=30， 然后根据锐角三角函数的定义得出 OB 的长度。 9.已知 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，AC8，BC6，则 cosBCD 的值是（ ）

8、 A. B. C. D. 45 34 43 35【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】先根据题意画出图形，再根据同角的余角相等得到BCD= A，然后根据勾股定理求得AB 的长，最后根据锐角三角函数的概念即可求得结果。CD 是 RtABC 斜边 AB 边上的高，BCD+ACD =A+ACD =90BCD=A在 RtABC 中，AC=8，BC=6，AB= =10AC2+BC2cosBCD=cosA=ACAB=45故选 A.【点评】解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，注意三角函数值只与角的大小有关。10.如图，三内角皆小于 120的三角形，分别以 AB,BC,CA 为边，向

9、三角形外侧做正三角形 ABD,ACE,BCF,然后连结 AF,BE,CD,这三线交于一点 O，那么下列结论中 ADCABE； AMD第 5 页 共 18 页OMB；cosCOE= ； AOB=AOC=BOC=120正确的个数是12A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【 分析 】 根据全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质逐项分析即可【解答】ADB，AEC 是等边三角形，AD=AB，AE=AC， DAB=EAC=60，DAC=DAB+BAC，EAB=EAC+BAC，DAC=B

10、AE，在DAC 和 BAE 中，ADABDAC BAEACAEADCABE，故正确；ADCABE，ADC=ABE，第 6 页 共 18 页AMD=OMB，AMDOMB，故正确；AMDOMB，DAM=BOM=60，COE=BOM=60，cosCOE= ，故正确；12由可知：COE=BOM=60 ，AOB=AOC=BOC=120，故 正确；故选 D【 点评 】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及 60 度角的锐角三角函数值，题目的解答环环相扣，题目设计新颖独特二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.sin260+cos260tan45=_ 【答案】0 【考点】特殊角的三角

11、函数值 【解析】【解答】解：原式=（ ） 2+（ ） 21=012故答案为：0【分析】将特殊角的三角函数值代入求解12.在 RtABC 中， C=90，若 AC=5，tanA=2，则 BC=_ 【答案】10 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：tanA= ，BCACBC=ACtanA=52=10故答案是：10【分析】根据已知条件 tanA=2= 可求 BC 的长。BCAC13.如图，当小明沿坡度 i=1：3 的坡面由 A 到 B 行走了 100 米，那么小明行走的水平距离 AC=_米（结果可以用根号表示）【答案】30 10【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 第 7 页 共 18

12、 页【解析】【解答】解：小明沿坡度 i=1：3 的坡面由 A 到 B 行走了 100 米，设 BC=x，则 AC=3x，故 x2+（ 3x） 2=1002 ， 解得：x=10 ，10那么小明行走的水平距离 AC=30 （m）10故答案为：30 10【分析】设 BC=x 米，由坡度 i=1：3 可得 AC=3x 米，在 RtABC 中由勾股定理可求得 x 的值，即可得答案.14.如图，边长为 2 的等边ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为_【答案】 334【考点】三角形中位线定理，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】过点 D 作 DFBC 于点 FABC 是边长为 4 的等边

13、三角形，AB=BC=AC=4， B=60，又 DE 为中位线，DE= BC=2，BD= AB=2，DEBC，12 12DF=BDsinB=2 = ，32 3四边形 BCED 的面积为： DF（DE+BC ）= （2+4 ）=3 12 12 3 3故答案是：3 3【分析】过点 D 作 DFBC 于点 F根据等边三角形的性质得出 AB=BC=AC=4，B=60 ，根据三角形的中位线定理得出 BD,DE 的长，及 DEBC，在 RtBDF 中，根据正弦函数的定义，由 DF=BDsinB，得出 DF 的长，然后根据梯形的面积计算公式即可得出答案。15.已知菱形的边长为 3，一个内角为 60，则该菱形的

14、面积是_ 【答案】 932【考点】等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 第 8 页 共 18 页【解析】【解答】解：如图所示：连接 AC，过点 A 作 AMBC 于点 M，菱形的边长为 3，AB=BC=3，有一个内角是 60，ABC=60，ABC 是等边三角形，AM=ABsin60= .332此菱形的面积为：3 = .332 932【分析】如图所示：连接 AC，过点 A 作 AMBC 于点 M，首先根据菱形的性质及等边三角形的判定判断出ABC 是等边三角形，根据正弦函数的定义由 AM=ABsin60得出 AM 的长，再根据菱形的面积等于底乘以高即可得出答案。16.如图，在边长为 1 的小

15、正反形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为_ 【答案】 34【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图： ，tanB= = ADBD34故答案是： 34【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案17.在直角三角形 ABC 中， ACB=90，D、E 是边 AB 上两点，且 CE 所在直线垂直平分线段 AD，CD 平分BCE，BC=2 ，则 AB=_3第 9 页 共 18 页【答案】4 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：CE 所在直线垂直平分线段 AD，CE 平分 ACD，ACE=DCECD 平分BCE ，DCE=DCBACB=90，AC

16、E= ACB=30，13A=60，AB= =4BCsin60=2332故答案为：4【分析】由 CE 是线段 AD 的垂直平分线，根据等腰三线合一的性质，可得 CE 平分ACD，而 CD 平分BCE，可得ACE= ACB=30，由三角函数可求得 AB 的值。1318.BD 为等腰ABC 的腰 AC 上的高，BD1 ，tanABD ，则 CD 的长为_. 3【答案】 、 或 2+ 3 2- 333【考点】解直角三角形 【解析】【解答】如图 1：BD=1，tanABD= 3 AD= 3， AB=AC=2 CD=2- 3如图 2：第 10 页 共 18 页BD=1，tan ABD= 3 AD= 3，

17、AB=AC=2 CD=2+ 3如图 3：BD=1，tanABD= 3 ABD=60 D=90 A=30又 AC=BC BCD=60 BD=1 CD= 33综上述， 、 或 CD=2+ 3 2- 333故答案为： 、 或 2+ 3 2- 333【分析】此题有 3 种情况，第一种情况，等腰三角形 ABC 的顶角 A 是锐角时，由解直角三角形可以求出CD 的长；第二种情况，等腰三角形 ABC 的顶角 A 是钝角时，由解直角三角形可以求出 CD 的长；第三种情况，等腰三角形 ABC 的顶角 C 是钝角时，由解直角三角形可以求出 CD 的长。19.（ 2017贵港）如图，点 P 在等边 ABC 的内部，

18、且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60得到 PC，连接 AP，则 sinPAP的值为_ 【答案】 35第 11 页 共 18 页【考点】等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质 【解析】【解答】解：连接 PP，如图， 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60得到 PC，CP=CP=6， PCP=60，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC 为等边三角形，CB=CA，ACB=60，PCB=PCA，在PCB 和PCA 中， PC=PC PCB= PCACB=CAPCBPCA，PB=PA=10，62+82=102 ， PP2+AP2=PA2 ， APP为直角

19、三角形， APP=90，sinPAP= = = PPPA 61035故答案为 35【分析】连接 PP，如图，先利用旋转的性质得 CP=CP=6，PCP=60，则可判定 CPP为等边三角形得到PP=PC=6，再证明PCBPCA 得到 PB=PA=10，接着利用勾股定理的逆定理证明APP为直角三角形，APP=90，然后根据正弦的定义求解20.如图，某景区的两个景点 A、B 处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿 MN 方向水平飞行进行航拍作业，MN 与 AB 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 C 处时、测得景点 A 的俯角为 45，景点 B 的俯角为知 30，此时 C 到地面的距离 CD 为 10

20、0 米，则两景点 A、B 间的距离为_米（结果保留根号）【答案】100+100 3【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用仰角俯角问题 第 12 页 共 18 页【解析】【解答】解：MCA=45，NCB=30，ACD=45，DCB=60 ， B=30CD=100 米，AD=CD=100 米，DB= =100 米，3CD 3AB=AD+DB=100+100 （米）3故答案为：100+100 3【分析】由已知可得出ACD=45，DCB=60，B=30再根据 CD 的长，利用解直角三角形分别求出AD、BD 的长，就可得出结果。三、解答题（共 9 题；共 60 分）21.计算： |-1|-128-(5

21、- )+4cos45【答案】解： ，|-1|-128-(5- )+4cos45= ，1-1222-1+422= 2【考点】零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果22.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽 5 米，坝高 20 米，斜坡 AB 的坡比为 1：2.5，斜坡 CD 的坡比为 1：2 ，求大坝的截面面积【答案】解：斜坡 AB 的坡度 i=1：2.5， ，BEAE= 12.5斜坡 CD 的坡度 i=1：2， ，CFDF=12BE=20 米

22、，AE=50 米，DF=40 米，EF=BC，BC=5 米，EF=5 米，AD=AE+EF+DF=50+5+40=95 米S 梯形 ABCD= (AD+BC)BE= 10020=1000(平方米) 12 12【考点】解直角三角形的应用，解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【分析】坡度是垂直距离与水平距离的比，坡度 (高程差/ 水平距离). 本题考查了解直角三角形的应用.第 13 页 共 18 页23.如图，从热气球 C 处测得地面 A,B 两点的俯角分别为 ， ，此时热气球 C 处所在位置到地30 45面上点 A 的距离为 400 米.求地面上 A，B 两点间的距离.【答案】解: 过点 C

23、 作 于点 DCD AB由题意得 , A= ECA=30 B= FCB=45在 RtACD 中, , sinA=CDACcosA=ADACCD=AC = =400 =200(m) sinA 400sin3012AD= AC = =400 =200 （m）cosA 400cos3032 3在 RtBCD 中 , tanB= CDBDBD= = =200 (m)CDtanB 200tan45AB=AD+BD= m(2003+200)答：地面上 A，B 两点间的距离为 m . (2003+200)【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】 过点 C 作 CDAB 于点 D，先根据从热气

24、球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45可求出B 与 A 的度数，再由直角三角形的性质求出 AD 与 BD 的长，根据 AB=AD+BD 即可得出结论.24.如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离（参考第 14 页 共 18 页数据： 2.449，结果保留整数）6【答案】解：作 PCAB 交于 C 点，由题意可得APC=30 ， BPC=45，AP=80（海里）在 RtAPC 中，PC=PAcos APC=4

25、0 （海里）3在 RtPCB 中，PB= 98（海里）PCcos BPC= 403cos45=406答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是 98 海里 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】构造直角三角形，作 PCAB 交于 C 点；由方位角易知APC=30， BPC=45，则根据解直角三角形的知识解答即可25.如图，某人由西向东行走到点 A，测得一个圆形花坛的圆心 O 在北偏东 60，他继续向东走了 60 米后到达点 B，这时测得圆形花坛的圆心 O 在北偏东 45，已知圆形花坛的半径为 51 米，若沿 AB 的方向修一条笔直的小路（忽略小路的宽度），则此小路会通过圆形

26、花坛吗？请说明理由（参考数据 1.73， 31.41）2第 15 页 共 18 页【答案】解：此小路会通过圆形花坛理由：过点 O 作 ODAC，交 AB 延长线于 D设 OD 为 x 米，在 RtOBD 中，OBD=9045=45BD=OD=x 米在 RtOAD 中，OAD=9060=30AD= = x，xtan30 3AD=AB+BD， x=60+x，3x= =30（ +1）51，603-1 3此小路会通过圆形花坛 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过点 O 作 ODAC，交 AB 延长线于 D在 RtOBD 中和在 RtOAD 中，根据三角函数求出 AD,BD 就可以表示出 OD

27、，根据 AB 等于 60，就得出一个关于 OD 的方程，求得 OD，从而判断出小路是否会通过圆形花坛26.如图，小明的家在某住宅楼 AB 的最顶层（ABBC），他家的后面有一建筑物 CD（CD / AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的 A 处测得建筑物 CD 的底部 C 的俯角是 43，顶部 D 的仰角是25，他又测得两建筑物之间的距离 BC 是 28 米，请你帮助小明求出建筑物 CD 的高度（精确到 1 米）（参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47；sin430.68，cos430.73，tan430.93 ）【答案】解：过点 A 作 AECD，

28、垂足为点 E，第 16 页 共 18 页由题意得，AE= BC=28，EAD25 ，EAC43，在 RtADE 中， ， ，tan EAD=DEAE DE=tan2528=0.4728 13.2在 RtACE 中， ， ，tan EAC=CEAE CE=tan4328=0.9328 26 （米），DC=DE+CE=13.2+26 39答：建筑物 CD 的高度约为 39 米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】过点 A 作 AECD，解直角三角形求出 DE 和 CE，即可求出 CD27.如图，教室窗户的高度 AF 为 2.5 米，遮阳蓬外端一点 D 到窗户上椽的距离为 AD，某

29、一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角BPC 为 30，PE 为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为 3米，试求 AD 的长度（结果带根号） 【答案】解：过点 E 作 EGAC 交 PD 于 G 点， EG=EPtan30= =1，四边形 BFEG 是平行四边形，BF=EG=1，即 AB=AFBF=2.51=1.5，在 RtABD 中， （米），AD 的长为 米 【考点】解直角三角形的应用 第 17 页 共 18 页【解析】【分析】由题意可知，在三角形 ABD 中，已知D=入射角=30 ，求 AD，因此必须求出 AB 或BD，但是和 DB 相关联的知识点没有，必须求出 AB，而 AF

30、=2.5 为已知，因此必须要有 BF 的值，在做EGAC 后，四边形 BFEG 为平行四边形，所以 EG=BF，综上所述，EG 的长为关键，在直角三角形 PEG 中，EG=EPtan30=1，AB=AF BF=AFEG=1.5，在直角三角形 ABD 中 AD= ，故可求得 AD 的值ABtan3028.小丽为了测旗杆 AB 的高度，小丽眼睛距地图 1.5 米，小丽站在 C 点，测出旗杆 A 的仰角为 30，小丽向前走了 10 米到达点 E ， 此时的仰角为 60，求旗杆的高度 【答案】解：如图，ADG=30，AFG=60，DAF=30，AF=DF=10，在 RtFGA 中，AG=AFsinAF

31、G=10 =5 ，AB=1.5+5 答：旗杆 AB 的高度为（1.5+5 ）米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】关键三角形外角的性质求得DAF=30，得出 AF=DF=10，在 RtFGA 中，根据正弦函数求出 AG的长，加上 BG 的长即为旗杆高度第 18 页 共 18 页29.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是 10 米，CBDB ， 坡面 AC 的倾斜角为 45 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度为 i= ：3 若新坡角下需留 3 米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10 米的建筑物是否需要拆除？（参考数据： 1.414， 1.73

32、2）【答案】解：需要拆除，理由为：CBAB ， CAB=45，ABC 为等腰直角三角形，AB=BC=10 米，在 RtBCD 中，新坡面 DC 的坡度为 i= ：3，即CDB=30，DC=2BC=20 米，BD= 米，AD=BD-AB=（ 10 -10）米 7.32 米，3+7.32=10.3210 ，需要拆除 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形 ABC 为等腰直角三角形，求出 AB 的长，在直角三角形BCD 中，根据新坡面的坡度求出BDC 的度数为 30，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半求出 DC 的长，再利用勾股定理求出 DB 的长，由 DB-AB 求出 AD 的长，由 AD+3 与 10 比较即可得到结果