1、 第 1 页 共 20 页【易错题解析】沪科版九年级数学下册 第 21 章 二次函数与反比例函数 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.抛物线 的顶点坐标是（ ） y=12(x-2)2-3A. B. C. D. (2,3) (2,-3) (-2,3) (-2,-3)【答案】B 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】因为 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为y=12(x-2)2-3（2 ， 3）故选 B2.已知抛物线 y=（m+1 ）x 2+2 的顶点是此抛物线的最高点，那么 m 的取值范围是（ ） A. m0 B. m1 C. m1 D. m1【答
2、案】D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】解：抛物线 y=（m+1）x 2+2 的顶点是此抛物线的最高点，抛物线开口向下，m+10，m 1，故答案为：D【分析】根据抛物线 y=（m+1）x 2+2 的顶点是此抛物线的最高点，知抛物线开口向下，从而知道抛物线的二次项系数小于零得出 m+10，解不等式即可。3.下列四个点中，在反比例函数 的图象上的是( ) y= -6xA. （3， 2） B. （3 ，2） C. （2 ，3） D. （ 2，3 ）【答案】A 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【 分析 】 根据反比例函数中 k=xy 的特点进行解答即可【解答】A、3 （
3、-2）=-6， 此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；B、32=6-6， 此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、 23=6-6， 此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、（-2）（-3 ）=6-6，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误故选：A第 2 页 共 20 页【 点评 】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数 y= 中，k=xy 为定值是解答此题kx的关键4.在反比例函数 的图象的每一个分支上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ） y=k-1xA. k 1 B. k0 C. k1 D. k1【答案】A 【考点】反比例函数的性质 【
4、解析】【解答】解：根据题意，在反比例函数 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，y=k-1x即可得 k10 ，解得 k 1故答案为：A【分析】因为反比例函数的图象的每一个分支上，y 都随 x 的增大而减小，所以由反比例函数的性质可得k1 0，解得 k1。5.已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ） A. a0，b0，c0 B. a0，b0，c0 C. a0 ，b0，c0 D. a、b、c 都小于 0【答案】C 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】解：如图，抛物线开口方向向下，则 a0 抛物线对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b
5、异号，即 b0抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0综上所述，a0，b 0，c 0故选：C【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴判断 a、b 的符号第 3 页 共 20 页6.若反比例函数 的图象经过点(m,3m)，其中 m0，则此反比例函数的图象在（ ） y=kxA. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限【答案】B 【考点】反比例函数的图象 【解析】 【 分析 】 将（m，3m)代入 y= ，即可判断出 k 的符号，从而判断出函数的图象所在象限kx【解答】将（m，3m)代入 y=
6、得，kx3m= ，kmk=3m2 0，因此反比例函数的图象在一，三象限故答案为 B【 点评 】 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，同时要熟悉反比例函数的性质7.已知反比例函数 y= 的图象在第二、四象限，则 a 的取值范围是（ ） a-2xA. a2 B. a2 C. a2 D. a2【答案】C 【考点】反比例函数的性质 【解析】 【 分析 】 本题考查反比例函数的图象和性质，此图象位于二、四象限，则根据 k0 求解【解答】反比例函数 y= 的图象在第二、四象限，根据反比例函数的图象和性质，a-20，a-2x则 a2故选 C【 点评
7、】 本题考查了反比例函数的性质：、当 k0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限、当 k0 时，在同一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大8.已知抛物线 y=ax2+bx+3 在坐标系中的位置如图所示，它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，点 P 是其对称轴 x=1 上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：2a+b=0；x=3 是 ax2+bx+3=0 的一个根；PAB 周长的最小值是 +3 其中正确的是（ ） 10 2第 4 页 共 20 页A.仅有B.仅有C.仅有D.【答案】D 【考点】二次函数的
8、应用 【解析】【解答】解： 根据图象知，对称轴是直线 x= =1，则 b=2a，即 2a+b=0b2a故正确；根据图象知，点 A 的坐标是（ 1，0），对称轴是 x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3 ，0），所以 x=3 是 ax2+bx+3=0 的一个根，故 正确；如图所示，点 A 关于 x=1 对称的点是 A，即抛物线与 x 轴的另一个交点连接 BA与直线 x=1 的交点即为点 P，则PAB 周长的最小值是（BA+AB）的长度B（0， 3），A（3，0 ），BA=3 即PAB 周长的最小值是 3 + 2 2 10故正确综上所述，正确的结论是：
9、故选 D【分析】根据对称轴方程求得 a、b 的数量关系； 根据抛物线的对称性知抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标是 3；利用两点间直线最短来求PAB 周长的最小值9.RtABC 在平面坐标系中摆放如图，顶点 A 在 x 轴上，ACB=90 ，CBx 轴，双曲线 经y=kx(k 0)过 CD 点及 AB 的中点 D，S BCD=4，则 k 的值为（ ） A. 8 B. 8 C. 10 D. 10【答案】B 第 5 页 共 20 页【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【解析】【解答】解：设 OA=a，AE=b，则 C 点坐标（a， ），B 点坐标（a+b， ） AD=BD，ka kaSBCD
10、=SACD=4，SACB=8= ACBC= （ ）b12 12 ka得 bk=16a，B 点坐标（a+b， ）ka点 D 在抛物线上， D 点坐标（ b+a， ）12 12 ka则（ b+a）（ ）=k，12 12 ka则 b=2a，解 ，bk= -16ab=2a得 k=8故选 B【分析】OA=a，AE=b，则 C 点坐标（a， ），B 点坐标（b， ），根据 SBCD=SACD=4，得出 Ska kaACB=10= ACBC= （ ）b 得出 bk=20a，先求得 D 的坐标，根据点 D 在双曲线上，得出（ b+a）12 12 ka 12（ ）=k，则 b=2a，结合，即可求得 k 的值12
11、 ka10.二次函数 的部分图象如图所示，图象过点(1 ，0) ，对称轴为直线y=ax2+bx+c(a 0)x2，则下列结论中正确的个数有( )4 b0； ；若点 A(3， )，点a 9a+3b+c 1【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】由图象可以看出,二次函数开口向下，对称轴为直线 ，x=1在对称轴左侧， 随 的增大而增大.y x在对称轴右侧， 随 的增大而减小.y x当 时， 随 的增大而减小. x1 y x故答案为： x1.【分析】先看函数图像的开口，再看函数图像的对称轴即可判断函数对应的增减性.15.将一抛物线先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，得到的抛物
12、线的解析式是 y=x22x，则原抛物线的解析式是_ 【答案】y=x 23 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】解：一抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得抛物线的表达式为y=x22x，抛物线的表达式为 y=x22x=（ x1） 21，左移一个单位，下移 2 个单位得原函数解析式 y=（x1+1） 212，即y=x23故答案为：y=x 23【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案第 9 页 共 20 页16.如图，直线 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象交于点 A（1，2）、B（ 2，1 ），则当取_时， mx m
13、xkx+b 【答案】2x0 或 x1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】解：由图象可知，当 x 2 时， kx+b， 当 2x0 时， kx+b，mx mx当 0x1 时， kx+b，mx当 x1 时， kx+bmx故答案为：2 x0 或 x1【分析】根据函数图象可以明确 x 2，2 x0，0 x1 ，x1 时直线 y=kx+b 与反比例函数 y= 对应mx的函数值的大小，从而可以解答本题17.若抛物线 y=ax2+c 与 y=2x2 的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0， 2），则该抛物线的函数表达式是_ 【答案】y= 2x22 【考点】待定系数法求二次函数解析
14、式 【解析】【解答】解：根据题意得：y=2x 2+c，把（0，2）代入得：c=2，则该抛物线解析式为 y=2x22故答案为：y= 2x22【分析】根据两抛物线形状相同，开口方向相反，求出 a 的值，再将顶点坐标代入求出 c 的值，即可确定出解析式18.抛物线 y=x2+bx+c 的最高点为（1 ，3），则 b+c=_ 【答案】0 第 10 页 共 20 页【考点】二次函数的最值 【解析】【解答】解：抛物线 y=x2+bx+c 的最高点为（1，3 ）， ，解得 - b-2= -1-3= -1-b+c，b= -2c=2b+c=0故答案为：0【分析】根据抛物线 y=x2+bx+c 的最高点为（ 1，
15、3 ）可知 x= =1，当 x=1 时，y= 3，分别求出 b、c 的b2a值，进而可得出结论19.数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如 y=ax2+bx+c 的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数 a、b、c 称为该抛物线的特征数，记作：特征数a、b、c，（请你求）在研究活动中被记作特征数为1、4、3的抛物线的顶点坐标为_ 【答案】（2， 1） 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解： 特征数为1 、 4、3，抛物线解析式为 y=x24x+3=（x 2） 21，抛物线顶点坐标为（2 ，1），故答案为：（2， 1）【分析】由条件可求得抛物线解析式，化为顶点式
16、可求得答案20.如图，点 A 是双曲线 y=- 在第二象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB9x为底作等腰ABC，且 ACB=120，点 C 在第一象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C始终在双曲线 上运动，则 k 的值为_。y=kx【答案】3 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值 第 11 页 共 20 页【解析】【解答】连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰
17、ABC，且 ACB=120，COAB，CAB=30，则AOD+ COE=90，DAO+AOD=90，DAO=COE，又ADO=CEO=90，AODOCE， =tan60= ，ADEO=ODCE=OAOC 3 = =3，SAODSEOC(3)2点 A 是双曲线 y=- 在第二象限分支上的一个动点，9xSAOD= |xy|= ，12 92SEOC= ，即 OECE= ，32 12 32k=OECE=3，故答案为：3【分析】连接 CO，过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E，根据双曲线的对称性及等腰三角形的性质得出 COAB， CAB=30，根据平角的定义得出 AOD+C
18、OE=90，根据直角三角形两锐角互余得出DAO+ AOD=90，根据同角的余角相等得出 DAO=COE，从而判断出 AODOCE，根据三角形三角形的对应边成比例及正切函数的定义，特殊锐角三角函数值得出 ,进而根据ADEO=ODCE=OAOC=tan60= 3相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 SAOD SEOC=3，根据反比例函数 k 的几何意义得出 SAOD， 进而得出 SEOC， 从而 k 的值。三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.张华同学在一次做电学实验时，记录下电流 I（安）与电阻 R（欧）有如表对应关系： R 2 4 8 10 16 I 16 8 4 3.2 2 第 12
19、 页 共 20 页通过描点连线，观察并求出 I 与 R 之间的函数关系式【答案】解：如图， 由图可知 I 与 R 之间满足反比例函数关系，设 I= ，将（2，16）代入得：k=32，故 I= 【考点】反比例函数的应用 【解析】【分析】描点连线后发现函数是反比例函数，利用待定系数法求出函数的解析式22.如图，一块矩形草地的长为 100m，宽为 80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，这时草坪的面积为 y（m 2）求 y 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围 【答案】解：设中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，草坪的面积为 y（m 2）， 根据题意得出：y=10080
20、80x100x+x2=x2180x+8000（0 x80） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案第 13 页 共 20 页23.抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点 P,使 SABP= SABC,若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 12【答案】解：（1）设抛物线的顶点形式为 y=a（x-1） 2+4，将 A（3，0 ）代入得：0=4a+4，即 a=-1，则抛物线解析式为 y=-（x-1） 2+4=-x2+2x+3；（2
21、）存在这样的 P 点，设 P（a，-a 2+2a+3），设直线 AB 解析式为 y=kx+b，将 A（3，0 ），B（0，3）代入得： ，3k+b=0b=3 解得： ，k= -1b=3 直线 AB 解析式为：y=-x+3，SABP= SABC ， 且两三角形都以 AB 为底边，12P 到直线 AB 的距离等于 C 到直线 AB 距离的 ，12C（1， 4）到直线 AB 的距离 d= = ，1+4-32 2P 到直线 AB 的距离 d= = ，即|-a 2+3a|=1，|a-a2+2a+3-3|2 22整理得：a 2-3a-1=0 或 a2-3a+1=0，解得：a= 或 a=3132 352当
22、a= 时，-a 2+2a+3=- +3+ +3=- + = ；3+132 22+6134 13 132 121-132当 a= 时，-a 2+2a+3=- +3- +3= + = ；3-132 22-6134 13 132 121+132当 a= 时，-a 2+2a+3=- +3+ +3= ；3+52 14+654 5 5-52当 a= 时，-a 2+2a+3=- +3- +3= .3-52 14-654 5 5-52则满足题意的 P 坐标为（ , ）；（ , ）；（ , ）；（ , ） 3+132 1-132 3-132 1+132 3+52 5-52 3-52 5-52【考点】二次函数的性
23、质，待定系数法求二次函数解析式，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点形式为 y=a（x-1） 2+4，将 A 坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式；（2 ）存在，设出 P（a，-a 2+2a+3），直线 AB 解析式为 y=kx+b，将 A 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AB 解析式，根据三角形 ABP 面积为三角形 ABC 面积的一半，由两三角形都以 AB 为底边，得到C 到直线 AB 的距离为 P 到直线 AB 距离的 2 倍，利用点到直线的距离公式列出关于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的值，即可确定出满足题意 P 的坐
24、标第 14 页 共 20 页24.如图，已知 A（4，n），B（1，4 ）是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y= 的图象的两个交点mx（1 ）求反比例函数和一次函数的解析式；（2 ）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积；（3 ）求不等式 kx+b 0 的解集（请直接写出答案）mx【答案】解：（1） 反比例函数 y= （m0）过点 B（1，4 ），mxm=1（4）=4，y= ，4x将 x=4，y=n 代入反比例解析式得：n=1，A（4， 1），将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得： ，k+b= -4-4k+b=1解得： ，k= -1b= -3y=x3；（2
25、）在直线 y=x3 中，当 y=0 时，x= 3，C（3，0），即 OC=3，SAOB=SAOC+SCOB= （31+34 ）= ；12 152（3 ）不等式 kx+b 0 的解集是 4x0 或 x1 mx【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【分析】（1）将 B 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值，即可确定出反比例解析式；将 A 坐标代入反比例解析式求出 n 的值，确定出 A 的坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2 ）对于直线 AB，令 y=0 求出 x 的值，即可确定出 C 坐标，三角形 AOB 面积=三角形 AO
26、C 面积+三角形第 15 页 共 20 页BOC 面积，求出即可；（3 ）由两函数交点 A 与 B 的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集25.如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点，且与 x 轴交于 A（2 ，0）（1 ）求此二次函数解析式及顶点 B 的坐标；（2 ）在抛物线上有一点 P，满足 SAOP=3，直接写出点 P 的坐标【答案】解：（1）将 A（2，0）、O（0，0 ）代入解析式 y=x2+bx+c，得 c=0，4 2b+c=0，解得 c=0，b=2，所以二次函数解析式：y=x 22x，顶点 B 坐标 （ 1，1）；（2 ） AO=2，S AOP=3，P 点的纵
27、坐标为：3，x22x=3，当x 22x=3 是此方程无实数根，当 x22x=3 时，解得：x 1=1，x 2=3，P1 （3 ， 3）， P2（1 ，3） 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）把 A（ 2，0）、O（0，0 ）代入解析式 y=x2+bx+c，可得出二次函数解析式，即可得出 B 的坐标；（2 ）利用三角形的面积可得出 P 点的纵坐标，可求出点 P 的横坐标，即可得出点 P 的坐标26.如图，RtABC 中， C=90，BC=6，AC=8点 P，Q 都是斜边 AB 上的动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动，BP=
28、AQ点 D，E 分别是点 A，B 以 Q，P 为对称中心的对称点， HQAB 于 Q，交 AC 于点 H当点 E 到达顶点 A 时，P，Q 同时停止运动设 BP 的长为 x，HDE 的面积为 y（1 ）求证：DHQABC；第 16 页 共 20 页（2 ）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值；（3 ）当 x 为何值时， HDE 为等腰三角形？【答案】解：（1） A、D 关于点 Q 成中心对称，HQ AB， HQD= C=90，HD=HA， HDQ= A， DHQABC（2 ） 如图 1，当 0x 2.5 时，ED=10-4x，QH=AQtan A= x，34此时 y= (10-4x
29、) x=- x2+ x.12 34 32 154当 x= 时，最大值 y= 54 7532如图 2，当 时，2.5x 5ED=4x-10，QH=AQtan A= x，34此时 y= (4x-10) x= x2- x.12 34 32 154当 x=5 时，最大值 y= 754y 与 x 之间的函数解析式为 y=-32x2+154x(0x 2.5)32x2-154x(2.5x 5) y 的最大值是 754（3 ） 如图 1，当 0x 2.5 时，第 17 页 共 20 页若 DE=DH，DH=AH= = x， DE=10-4x，QAcos A5410-4x= x，x= 54 4021显然 ED=
30、EH，HD=HE 不可能；如图 2，当 时，2.5x 5若 DE=DH，4x-10= x，x= ；54 4011若 HD=HE，此时点 D，E 分别与点 B，A 重合，x=5；若 ED=EH，则EDH HDA， ， ，x= EDDH=DHAD4x-1054x =54x2x 320103当 x 的值为 , ,5, ,时，HDE 是等腰三角形 40214011320103【考点】二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1 ）由两个对应角相等，满足了两个三角形相似的条件。（2 ）根据函数解析式可以求得函数最大值。27.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交
31、于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 A 的坐标为（ 1，0），与y 轴交于点 C（ 0，3），作直线 BC动点 P 在 x 轴上运动，过点 P 作 PMx 轴，交抛物线于点 M，交直线BC 于点 N，设点 P 的横坐标为 m（1 ）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式； （2 ）当点 P 在线段 OB 上运动时，若 CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时，求 m 的值； （3 ）当以 C、 O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形时，求 m 的值 【答案】（1）解：把点 A（ 1，0），点 C（0 ，3）代入抛物线 y=x2+bx+c，得 ，解-1-b+c=
32、0c=3 得 ，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3；b=2c=3 令x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3，点 B 的坐标（ 3，0），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 C（0，3），B 的坐标（3 ，0）代入，得 ，解得： b=33k+b=0 第 18 页 共 20 页，k= -1b=3 直线 BC 的解析式为 y=x+3（2 ）解：CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形，CMx 轴，即点 M 的纵坐标为 3，把 y=3 代入 y=x2+2x+3，得 x=0 或 2，点 M 不能与点 C 重合，点 P 的横坐标为 m=2（3 ）解：抛物线的解析式为 y=x2+2x+3
33、，P 的横坐标为 mM（m，m 2+2m+3），直线 BC 的解析式为 y=x+3N（m ， m+3），以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形，MN=OC=3，m2+2m+3（m+3）=3 ，化简得 m23m+3=0，无解，或（m+3）（ m2+2m+3）=3，化简得 m23m3=0，解得 m= ，3212当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形时，m 的值为 3212【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象，待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）把 A、C 代入抛物线，求出抛物线方程，将 y=0 代入抛物线方程，求出
34、B 点坐标，设一次函数解析式，将 B、C 的坐标代入求出一次函数。（2）因 CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形，将 M 点的纵坐标等于 3 代入抛物线方程，得 x=0 或 2，又因点 M 不能与点 C 重合，所以点 P 的横坐标为m=2。（3 ）设出 M 的坐标，M （m，m 2+2m+3），又因以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形，MN=OC=3 ，求出 m 的值。28.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（a0），经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=2，AOB=120（1 ）求这条抛物线的表达式； （2
35、 ）连接 OM，求AOM 的大小； 第 19 页 共 20 页（3 ）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标 【答案】（1）解：过点 A 作 AEy 轴于点 E，AO=OB=2，AOB=120，AOE=30，OE= ，AE=1，3A 点坐标为：（1， ）， B 点坐标为：（2 ，0），3将两点代入 y=ax2+bx 得：，a-b= 34a+2b=0解得： ， a= 33b= -233抛物线的表达式为：y= x2 x；33 233（2 ）解：过点 M 作 MFOB 于点 F， y= x2 x= （x 22x）= （x 22x+11）= （x 1） 2 ，33 233
36、 33 33 33 33M 点坐标为：（1， ），33tanFOM= = ，331 33FOM=30，AOM=30+120=150；（3 ）解：当点 C 在 x 轴负半轴上时，则 BAC=150，而 ABC=30，此时C=0 ，故此种情况不存在；当点C 在 x 轴正半轴上时，AO=OB=2，AOB=120，ABO=OAB=30，AB=2EO=2 ，3当ABC 1AOM， ，AOAB=MOBC1MO= = ，FM2+FO2233第 20 页 共 20 页 ，223=232BC1解得：BC 1=2， OC1=4，C1 的坐标为：（4，0）；当C 2BAAOM， ，BC2AO=ABMO ，BC22=
37、23233解得：BC 2=6， OC2=8，C2 的坐标为：（8，0）综上所述，ABC 与AOM 相似时，点 C 的坐标为：（4， 0）或（8，0） 【考点】二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，二次函数图像与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】（1）过点 A 作 AEy 轴。根据 AOB=120即可得出 AOE=30，由 AO 的长度，即可求出点 A 的坐标，点 B 坐标也可求出，将点 A 和点 B 坐标代入抛物线表达式中，即可求出 a 和 b 的数值，既而得出抛物线的表达式。（2 ）过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，根据二次函数解析式，即可求出点 M 的坐标，既而得出 MF和 OF 的长度，求FOM 的正切值，根据正切的数值，即可得出 FOM 的度数，所以就可以求出AOM 的度数。（3 ）当 C 点在 x 轴负半轴时，作图此时 C 的度数为 0，由题可知不符合条件，即 C 点在 x 轴的正半轴。分类讨论，根据相似三角形的对应边成比例，所以当ABC 1AOM 时，即可求出 C 点的坐标；当C2BAAOM 时，对应成比例，所以 C 点的坐标可求出。
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