1、 第 1 页 共 12 页【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.若一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数解，则 m 的取值范围是（ ） A. m-1 B. m1 C. m4 D. m12【答案】B 【考点】根的判别式 【解析】 【 分析 】 由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可得到 m 的取值范围【解答】一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数解，b2-4ac=22-4m0，解得：m1，则 m 的取值范围是 m1故选：B【 点评 】 此题考查了一元二次方程解
2、的判断方法，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0)的解与 b2-4ac 有关，当b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时，方程无解2.用配方法解方程， 下列配方正确的是（ ） x2+4x=6A. B. C. D. (x+2)2=10 (x+4)2=22 (x+2)2=8 (x+2)2=6【答案】A 【考点】解一元二次方程配方法 【解析】【分析】由题意方程两边都加上一次项一半的平方，再根据完全平方公式分解因式即可.【解答】 x2+4x=6故选 A。x4+4x+4=6+4(x+2)2=10【点评】本题属于基础应用题，
3、只需学生熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，即可完成。3.方程 3x24=2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，4，2 B. 3，2 ，4 C. 3，2 ，4 D. 2，2 ，0【答案】B 【考点】一元二次方程的定义 【解析】【解答】解：方程 3x24=2x 可变形为方程 3x2+2x4=0，二次项系数是 3、一次项系数是 2、常数项是4 ，故选：B第 2 页 共 12 页【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常
4、数项4.解方程 4（3x+2） 2=3x+2 时，较恰当的解法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法【答案】D 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】 【 分析 】 提公因式即可得出答案【 解答 】 方程 4（3x+2) 2=3x+2 变形得 4（3x+2) 2-（3x+2)=0，其中公因式是（3x+2)，所以最适合的解法是提公因式因式分解法故选 D【 点评 】 本题考查了一元二次方程的解法的应用，主要考查学生的理解能力5.已知一元二次方程 ，下列判断正确的是（ ）。 x2-2x+1=0A. 该方程无实数根 B. 该方程有一个实数根C. 该方程有两个不相等
5、的实数根 D. 该方程有两个相等的实数根【答案】D 【考点】根的判别式 【解析】【分析】一元二次方程 ，因为 ，x2-2x+1=0 =b2-4ac=(-2)2-411=0所以该方程有两个相等的实数根。所以选 D。【点评】本题考查一元二次方程，要求考生掌握一元二次方程的判别式，能通过判别式判断一元二次方程根的情况。6.某超市一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%【答案】C 【考点】一元二次方程的应用 【解析】设这两个月的营业额增长的百分率是 x200（1+x)
6、2=288（1+x) 2=1.441+x0，1+x=1.2，x=0.2=20% 故选 C7.关于 x 的一元二次方程 x2+3x=0 的根的说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根【答案】D 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：=b 24ac=32410=90，方程有两个不相等的实数根，第 3 页 共 12 页故选 D【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出0 时，方程有两个不相等的实数根，当 =0 时，方程有两个相等的实数根，当0 时，方程没有实数根确定住 a，b，c 的值，代入公式判断出的符号8.
7、用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A. x2+2x99=0 化为（ x+1） 2=100 B. m2-7m-4化为 (m-72)2=654C. x2+8x+9=0 化为（x+4） 2=25 D. 3x2-4x-2=0化为 (x-23)2=109【答案】C 【考点】解一元二次方程配方法 【解析】【解答】解：A、由原方程，得 x2+2x=99，等式的两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 1，得（x+1 ） 2=100；故本选项正确；B、由原方程，得m27m=4，等式的两边同时加上一次项系数7 的一半的平方 ，得494；(m-72)2=654故本选项正确；C、由原方程，得x2+8x=9，
8、等式的两边同时加上一次项系数 8 的一半的平方 16，得（x+4 ） 2=7；故本选项错误；D、由原方程，得3x24x=2，化二次项系数为 1，得x2 x= 43 23等式的两边同时加上一次项系数 的一半的平方 ，得43 49；(x-23)2=109故本选项正确故选 C第 4 页 共 12 页【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方9.已知二次函数 y=x2-mx+m-2 的图象与 x 轴有（ ）个交点 A. 1 个 B. 2 个 C. 无交点 D. 无法确定【答案】B 【考点】根的判别式，抛物线与 x
9、轴的交点 【解析】 【 分析 】 根据一元二次方程 x2-mx+m-2=0 的根的判别式的符号进行判定二次函数 y=x2-mx+m-2 的图象与 x 轴交点的个数【解答】二次函数 y=x2-mx+m-2 的图象与 x 轴交点的纵坐标是零，即当 y=0 时，x 2-mx+m-2=0，=（-m) 2-4（m-2)=（m-2) 2+40，一元二次方程 x2-mx+m-2=0 有两个不相等是实数根，即二次函数 y=x2-mx+m-2 的图象与 x 轴有 2 个交点故选 B【 点评 】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0)的交点与一元二次方程 ax2
10、+bx+c=0 根之间的关系=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点10.已知关于 x 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 a 的x2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或a= -2 a0 a= -2 a0 a- 2 a0【答案】C 【考点】根的判别式 【解析】【分析】将原方程变形为|x-3| 2+（a-2）|x-3|-2a=0 ，求出方程的，分为两种情况，=0，0 ，代入后求
11、出 a 的范围即可【解答】x 2-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0，（x-3） 2+（a-2）|x-3|-2a=0 ，这是一个关于|x-3| 的一元二次方程，原方程有且仅有两个不相等的实根，|x-3|只有一个大于 0 的实数根（因为当|x-3|0，无解；当|x-3|=0，有 1 个解；当|x-3| 0，有 2 个解），=（a-2 ） 2-4（ -2a）=（a+2 ） 2 ， 当=0 时，|x-3|有唯一解；=0，a=-2；此时原方程为|x-3| 2-4|x-3|+4=0，|x-3|=2，x=5， x=1；第 5 页 共 12 页|x-3|的一个根大于 0，另一个根小于 0，0，a-2，
12、x1x20，根据根与系数的关系得：-2a0，a 0，综合上述，a 的取值分、范围是 a0 或者 a=-2，故选 C二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.关于 x 的一元二次方程 kx2+2x-1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_. 【答案】k-1 且 k0 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】一元二次方程 kx2x1=0 有两个不相等的实数根，=b4ac=4+4k0，且 k0，解得：k1 且 k0.故答案为 k1 且 k0.【分析】首先根据方程是一元二次方程得到二次项系数 k0，其次根据两个不相等的实数根，可得到 b2-4ac0，综合可得到二次项系数
13、k 的取值范围。12.已知两个数的差为 3，它们的平方和等于 65，设较小的数为 x，则可列出方程_ 【答案】 x2+(x+3)2=65【考点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【解答】由较小的数为 x，可知较大的数为 x+3，故它们的平方和为 x2+(x+3)2再根据它们的平方和是 65 可得 x2+(x+3)2=65，故答案为：x 2+(x+3)2=65.【分析】设最小的数，根据题意可知较大的数，然后算得它们的平方和，使其等于 65 即可得方程。13.已知 2 是关于 的一元二次方程 的一个根，则该方程的另一个根是 _ x x2+4x-p=0【答案】-6 【考点】一元二次方程的根与系数
14、的关系 【解析】【解答】2 是关于 的一元二次方程 的一个根， x x2+4x-p=0 2+x1= -4,该方程的另一个根是-6 【分析】 由根与系数的关系可求解。 x1= -6.14.（ 2017淄博）已知 ， 是方程 x23x4=0 的两个实数根，则 2+3 的值为_ 【答案】0 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得 +=3， =4，所以原式=a（ +）3第 6 页 共 12 页=33=0故答案为 0【分析】根据根与系数的关系可得 +=3， =4 代入原式计算得出答案.15.已知 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根，则 a2+2ab+b2 的值为_ 【答
15、案】1 【考点】因式分解运用公式法，一元二次方程的根 【解析】【解答】解：x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根，1+a+b=0，a+b=1，a2+2ab+b2=（a+b） 2=1故答案为：1【分析】将 x=1 代入原方程，可得出 a+b=1，再将代数式利用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值。16.（ 2015内江）已知关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根分别是 x1 ， x2 ， 且满足 + =3，则 k 的值是1x11x2_ 【答案】2 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：3x 2+2x11=0 的两个解分别为 x1、 x2 ， x1+x2=6，x 1x2=
16、k，+ = = =3，1x11x2x1+x2x1x2 6k解得：k=2，故答案为：2【分析】找出一元二次方程的系数 a，b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值17.关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为_ 【答案】m 94【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根，a=1，b=3，c=m =b24ac=（3） 241m0，解得 m ，94第 7 页 共 12 页故答案为：m 94【分析】若一元二次方程有两不
17、等根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围18.解一元二次方程 x2+2x-3=0 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程_。 【答案】x-1=0 或 x+3=0 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】（x-1）（x+3）=0，x-1=0 或 x+3=0故答案为 x-1=0 或 x+3=0【分析】把方程左边分解，则原方程可化为 x-1=0 或 x+3=019.若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条x (x-2)(x2-4x+m)=0边的长，则 的取值范围是_. m【答案】3m4 【考点】一元二次方
18、程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：关于 x 的方程（x-2）（x 2-4x+m）=0 有三个根，x-2=0，解得 x1=2；x2-4x+m=0， =16-4m0，即 m4，x2=2+ 4-mx3=2- 4-m又 这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为 x2 ， x1+x3 x2；解得 3m4 ，m 的取值范围是 3m4故答案为：3m4【分析】利用积为 0 的因数特点，可得出 x-2=0 或 x2-4x+m=0，进而求出三个根，利用三角形构成条件，利用两根之和关系式，求出 m 的范围.20.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年 10 月份的 7000 元/m
19、2 下降到 12 月份的 5670元/m 2 ， 则 11、12 两月平均每月降价的百分率是 _%。 【答案】10 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】设 11、12 两月平均每月降价的百分率是 x ， 则 11 月份的成交价是 7000-7000x=7000（1-x），12 月份的成交价是 7000（1-x）（1-x）=7000（1-x） 2 ， 由题意，得7000（1-x） 2=5670，（ 1-x） 2=0.81，x1=0.1，x 2=1.9（不合题意，舍去）第 8 页 共 12 页故答案为：10%【分析】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，
20、正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.解方程：（2x+3） 225=0 【答案】解：移项得，（2x+3） 2=25，开方得，2x+3=5 ，解得 x1=1，x 2=4 【考点】直接开平方法解一元二次方程 【解析】【分析】先移项，写成（x+a） 2=b 的形式，然后利用数的开方解答22.已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m1=0 有两个不相等的实数根（1 ）求 m 的取值范围；（2 ）设 x1、x 2 方程的两个实数根，请你为 m 选取一个合适的整数，求 +x1x2 的值 x21+x22【答案】解：（1）根据题意得 =424
21、（m1）0 ，解得 m5；（2 ）当 m=1 时，方程化为 x2+4x=0，则 x1+x2=4，x 1x2=0，所以 +x1x2=（x 1+x2） 2x1x2=（4 ） 20=16 x21+x22【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到 =424（m 1）0，然后解不等式即可；（2 ）在（1 ）的范围内取 m=1，则根据根与系数的关系得到 x1+x2=4，x 1x2=0，再把 x1x2 变形为x21+x22（x 1+x2） 2x1x2 ， 然后利用整体代入的方法计算23.如图，一架长 2.5 米的梯子 AB 斜靠在竖直的墙
22、AC 上，这时 B 到墙 AC 的距离为 0.7 米（1 ）若梯子的顶端 A 沿墙 AC 下滑 0.9 米至 A1 处，求点 B 向外移动的距离 BB1 的长；第 9 页 共 12 页（2 ）若梯子从顶端 A 处沿墙 AC 下滑的距离是点 B 向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙 AC 下滑的距离是多少米？ 【答案】（1） AB=2.5m，BC=O.7m，AC=A1C=AC-AA1=2.4-0.9=1.5m，B1C=BB1=B1C-BC=0.5m；（2 ）梯子从顶端 A 处沿墙 AC 下滑的距离是 x，则点 B 向外移动的距离的一半为 2x，由勾股定理得：（2.4-x） 2+（ 0.7+2x）
23、2=2.52 ， 解得：x= ， 答：梯子沿墙 AC 下滑的距离是 米 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】（1）根据题意可知 C=90，AB=2.5m，BC=0.7m，根据勾股定理可求出 AC 的长度，根据梯子顶端 B 沿墙下滑 0.9m，可求出 A1C 的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出 B1C 的长度，进而求出 BB1 的长度（2 ）可设点 B 向外移动的距离的一半为 2x，则梯子从顶端 A 处沿墙 AC 下滑的距离是 x，根据勾股定理建立方程，解方程即可24.某学校为美化校园，准备在长 35 米，宽 20 米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请
24、全校学生参与方案设计，现有 3 位同学各设计了一种方案，图纸分别如图 l、图 2 和图 3所示（阴影部分为草坪）请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解甲方案设计图纸为图 1，设计草坪的总面积为 600 平方米乙方案设计图纸为图 2，设计草坪的总面积为 600 平方米丙方案设计图纸为图 3，设计草坪的总面积为 540 平方米 【答案】解：设道路的宽为 x 米依题意得：（35 2x）（202x）=600；第 10 页 共 12 页设道路的宽为 x 米依题意得：（35x）（20x ）=600；设道路的宽为 x 米依题意得：（352x）（20x ）=540 【考点】一元二次方程的应用 【解析】
25、【分析】设道路的宽为 x 米长应该为 352x，宽应该为 202x；那么根据草坪的面积为600m2 ， 即可得出方程如果设路宽为 xm，草坪的长应该为 35x，宽应该为 20x；那么根据草坪的面积为 600m2 ， 即可得出方程如果设路宽为 xm，草坪的长应该为 352x，宽应该为 20x；那么根据草坪的面积为 540m2 ， 即可得出方程25.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每天可售出 20 件，为了迎接“五一” 国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件.
26、 （1 ）设每件童装降价 x 元时，每天可销售_件，每件盈利_元；（用 x 的代数式表示 （2 ）每件童装降价多少元时，平均每天赢利 1200 元； （3 ）要想平均每天赢利 2000 元，可能吗？请说明理由. 【答案】（1）（20+2x ）；（40x）（2 ）（20+2x）（40x ）=1200，解得 x1 =20 ，x 2 =10 ，答：每件童装降价 20 元或 10 元。（3 ）（20+2x）（40x ）=2000 ，800+60x-2x2=2000，化简得 x2-30x+600=0，则 b2-4ac=900-24000，此方程无解，故不可能做到平均每天盈利 2000 元。 【考点】一元
27、二次方程的应用 【解析】【分析】（1）每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件，姥降价 x 元，平均可多售 2x 件，则每天可销售（20+2x ）件，每件盈利（40-x ）元；（2 ）列方程得（20+2x ）（40x）=1200；（3 ）列方程得（20+2x ）（40x）=2000 ，解方程可知该方程无解.26.2017 年 6 月 17 日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的 4000 多名骑游爱好者齐聚夏都延庆各种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为 9000 人，六月份的骑游人数约为 16000 人，求该
28、骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到 0.01） 第 11 页 共 12 页【答案】解：设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 x， 根据题意得：9000（1+x） 2=16000，解得：1+x= ，x1=0.33=33%， x2=0.67（舍去）答：该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 33% 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 x，根据四月份及六月份的骑游人数，可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论27.泰兴鑫都小商品市场以每副 60 元的价格购进 800 副羽毛球拍九月份以单价 100 元销售，售出了 200副
29、十月份如果销售单价不变，预计仍可售出 200 副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低 5 元，可多售出 10 副，但最低销售单价应高于购进的价格十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为 50 元设十月份销售单价降低 x 元（1 ）填表：月份 九月 十月 清仓销售单价（元） 100 50销售量（件） 200（2 ）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利 9200 元，那么十月份的销售单价应是多少元？【答案】解：（1）填表如下：时间 九月 十月 清仓时销售单价（元） 100 100x 50销售量（件）200 200+2x 800
30、200（200+2x）（2 ）根据题意，得100200+（100 x）（200+2x）+50800200（200+2x）60800=9200解这个方程，得 x1=20 x2=70当 x=20 时，100x=8050 答：第十个月的单价应是 80 元 【考点】一元二次方程的应用 第 12 页 共 12 页【解析】【分析】（1）根据题意直接用含 x 的代数式表示即可；（2 ）利用“获利 9200 元” ，即销售额 进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍28.如图，已知，在直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+8 与 x 轴、y 轴分别交于点 A
31、、C，点 P 从 A 点开始以 143个单位/秒的速度沿 x 轴向右移动，点 Q 从 O 点开始以 2 个单位/ 秒的速度沿 y 轴向上移动，如果 P、Q 两点同时出发，经过几秒钟，能使PQO 的面积为 8 个平方单位com【答案】 解：直线 AC 与 x 轴交于点 A（6 ，0），与 y 轴交于点 C（0 ，8），OA=6，OC=8 设经过 x 秒钟，能使 PQO 的面积为 8 个平方单位，则 RtPQO 的高 OQ 为 2x 当 时，点 P 在线段 OA 上，底 OP 为 6x ， 可列方程 ，解得： ；当 时，点 P 与点 O 重合或在线段 OA 的延长线上，底 OP 为 x6，可列方程 ，解得： ，而 不合题意舍去；综上所述，经过 2 秒，4 秒或 秒能使PQO 的面积为 8 个平方单位. 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】分类讨论思想是数学中的一个重要的思想
浙公网安备33030202001339号