1、 第 1 页 共 22 页【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第 24 章 解直角三角形 单元测试卷一、单选题（共 10 题；共 29 分）1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 cos 的值是（ ）A. B. C. D. 34 43 35 45【答案】D 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】如图所示：AC=3，BC=4，AB=5，cos= BCAB=45故选：D2.如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ）RtABC C=90 AB=10 AC=8 sinAA. B. C. D. 35 45 34 43【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在 R
2、tABC 中，AB=10、AC=8 ，BC= ，AB2-AC2= 102-82=6sinA= .BCAB=610=35故答案为：A【分析】首先根据勾股定理算出 BC 的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。3.若点 B 在点 A 的北偏东 30 度，则点 A 在点 B 的（ ） 第 2 页 共 22 页A. 南偏西 30 度 B. 北偏东 60 度 C. 南偏西 60 度 D. 西南方向【答案】A 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：如图，则点 A 在点 B 的南偏西 30 度故选 A【分析】此题是对方向角的考查，若点 B 在点 A 的北偏东 30 度，要求点 A 在点
3、B 的方向，则以点 B 为原点建立直角坐标系即可求解4.在正方形网格中， 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） ABCA. B. C. D. 12 22 32 33【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据格点的特征可得B=45，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果 .由图可得 cosB=cos45= ，故选 B.22【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.5.如图，以原点 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A， B 两点，P 是 上一点（不与 A，B 重合），AB连接 OP，设POB=，则点 P 的坐标是（ ）A. （s
4、in，sin） B. （cos，cos） C. （cos，sin ） D. （sin，cos）【答案】C 【考点】坐标与图形性质，解直角三角形 第 3 页 共 22 页【解析】【解答】过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在 RtOPQ 中，OP=1 ，POQ=，sin= ，cos= ，即 PQ=sin，OQ=cos，PQOP OQOP则 P 的坐标为（ cos，sin），故答案为：C【分析】过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，然后依据锐角三角函数的定义可求得 OQ、PQ 的长，从而可得到点 P 的坐标.6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D 处后进球已知小明与篮框底的距离 B
5、C=5 米，眼睛与地面的距离 AB= 米，视线 AD 与水平线的夹角为，已知 tan= ， 则点 D 到地面的距离 CD 是（ ）1.7310A. 2.7 米 B. 3.0 米 C. 3.2 米 D. 3.4 米【答案】C 【考点】矩形的判定与性质，解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形 AECB 是矩形CE=AB=1.7，AE=BC=5， DEA=90tan=DEAE=310DE5=310解之：DE=1.5DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2故答案为：C【分析】根据题意可得出四边形 AECB 是矩形，从而可求出 CE、AE 的长，再利用解直角三角形求出
6、DE 的长，然后根据 DC=DE+CE，可求得结果。第 4 页 共 22 页7.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD AB，cosBCD= ，BD=1，则边 AB 的长度是（ ）23A. B. C. 2 D. 910 109 95【答案】D 【考点】解直角三角形 【解析】【分析】在直角三角形中解题，根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理求出三角形的边长。【解答】cosBCD= ，则设 CD=2x，BC=3x ，23根据勾股定理得，1 2+（2x) 2=（3x) 2， x= 55由于BCD=BAC，所以设 AC=2y， AB=3y，根据勾股定理得，（3y) 2-（2y) 2=（3 )2
7、，可得 y= 。所以 AB= 3= 55 35 35 95故选 D【点评】图中的三个三角形两两相似，于是CAD 的余弦就是BCD 的余弦，据此结合根据勾股定理解答。8.如图，在 RtABC 中，C90, A30, E 为 AB 上一点，且 AEEB 41 ，EFAC 于 F ， 连结 FB ， 则 tanCFB 的值等于（ ）A. B. C. D. 33 233 533 53【答案】C 【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】 【 分析 】 tanCFB 的值就是直角 BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x，则 BC 与 CF 就可以用 x 表示出来就可以求解【解
8、答】根据题意：在 RtABC 中，C=90，A=30，EFAC，EFBC，CFAC=BEABAE：EB=4：1，第 5 页 共 22 页 =5，ABEB ，AFAC=45设 AB=2x，则 BC=x，AC= x3在 RtCFB 中有 CF= x，BC=x35则 tanCFB= = BCCF535故选：C【 点评 】 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边9.（2017绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆
9、的顶端 E，标记好脚掌中心位置为 B，测得脚掌中心位置 B 到镜面中心 C 的距离是 50cm，镜面中心 C 距离旗杆底部 D 的距离为 4m，如图所示已知小丽同学的身高是 1.54m，眼睛位置 A 距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆 DE 的高度等于（ ） A. 10m B. 12m C. 12.4m D. 12.32m【答案】B 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m， ABCEDC，则 = ，ABEDBCDC即 = ，1.5DE0.54解得：DE=12，故选：B【分析】根据题意得出ABCEDC ，进而利用相似三角形的性质得出答
10、案10.如图，在 RtABC 中， AB=CB， BOAC，把 ABC 折叠，使 AB 落在 AC 上，点 B 与 AC 上的点 E 重合，展开后，折痕 AD 交 BO 于点 F，连接 DE、 EF下列结论： tanADB=2； 图中有 4 对全等三角形；若将 DEF 沿 EF 折叠，则点 D 不一定落在 AC 上； BD=BF； S 四边形 DFOE=SAOF ， 上述结论中正确第 6 页 共 22 页的个数是（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C 【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义 【解析】【 分析 】 根据折叠的知识，锐角正切值的定
11、义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可【解答】由折叠可得 BD=DE，而 DCDE ， DCBD， tanADB2，故错误；图中的全等三角形有ABF AEF， ABDAED， FBDFED，（由折叠可知)OBAC，AOB= COB=90，在 RtAOB 和 RtCOB 中，AB CBBOBORtAOBRtCOB（HL)，则全等三角形共有 4 对，故正确；AB=CB，BOAC，把 ABC 折叠，ABO=CBO=45，FBD=DEF，AEF=DEF=45，将DEF 沿 EF 折叠，可得点 D 一定在 AC 上，故 错误；OBAC，且 AB=CB，BO 为ABC 的平分线，即 AB
12、O=OBC=45，由折叠可知，AD 是 BAC 的平分线，即 BAF=22.5，又BFD 为三角形 ABF 的外角，BFD=ABO+BAF=67.5，易得BDF=180-45-67.5=67.5，BFD=BDF，BD=BF，故正确连接 CF，AOF 和COF 等底同高，SAOF=SCOF ， AEF=ACD=45，EFCD，第 7 页 共 22 页SEFD=SEFC ， S 四边形 DFOE=SCOF ， S 四边形 DFOE=SAOF ， 故正确；正确的有 3 个，故选：C【 点评 】 综合考查了有折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成
13、面积相等的 2 部分；两条平行线间的距离相等二、填空题（共 11 题；共 33 分）11.计算 tan30tan45=_ 3【答案】1 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：原式= 1=1，333故答案为：1【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案12.计算（1） 2005| 2|+（ ） 12sin60的值为_ 313【答案】6 【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 【解析】【解答】解：原式= 1（2 ）3 2 332=12+ 3 3 3=6故答案为：6【分析】-1 的奇数次幂是它本身，负数的绝对值是它的相反数，
14、一个数的-1 次幂等于它的倒数，记住特殊锐角值，注意运算顺序。第 8 页 共 22 页13.如图，在ABC 中，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，且 DC=5cm，则 AB=_ 【答案】10cm 【考点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：ACB=90 ，点 D 是 AB 的中点， AB=2CD=10cm，故答案为：10cm【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可14.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若C=90， B=30，AC=1 ，则 BB的长为_【答案】4 【考点】含 30 度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】在 RtAB
15、C 中，B=30，AC=1 ，AB=2AC=2，根据中心对称的性质得到 BB=2AB=4.故答案为：4.【分析】先利用直角三角形 30角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求 BB的长。15.已知等腰三角形的其中两边长分别为 4，9，则这个等腰三角形的周长为_ 【答案】22 【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 【解析】【解答】当 4 为底时，其它两边都为 9，9、9、 4 可以构成三角形，三角形的周长为 22；当 4 为腰时，其它两边为 9 和 4，4+4=89，不能构成三角形，故舍去.故答案为：22.【分析】分类讨论：当 4 为底时，其它两边都为 9；当 4 为腰时，其它两边为
16、 9 和 4；然后根据三角形三边的关系判断能否构成三角形，若能利用三角形周长计算方法计算出结果。16.如图所示，一皮带轮的坡比是 1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地 10 米的平台，那么该货物经过的路程是_ 米第 9 页 共 22 页【答案】26 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，由题意得：斜坡 AB 的坡比 i=1：2.4，AE=10 米，AEBD，i= = ， AEBE12.4BE=24 米，在 RtABE 中，AB= =26（米）AE2+BE2故答案为：26【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案17.世纪中学九年级（1）班开展数学实践
17、活动，小李沿着东西方向的公路以 50m/min 的速度向正东方向行走，在 A 处测得建筑物 C 在北偏东 60方向上，20min 后他走到 B 处，测得建筑物 C 在北偏西 45方向上，则建筑物 C 到公路 AB 的距离为_ 【答案】500（ 1）m 3【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：作 CDAB 于 D 设 AD=x，则 BD=5020x=1000xEAC=60，CAB=9060=30在 RtBCD 中，FBC=45，CBD=BCD=45，CD=DB=1000x在 RtACD 中，CAB=30，CD=tan30AD，即 DB=CD=tan30AD=1000x= x，
18、33解得：x=500（ 3 ），3 3第 10 页 共 22 页故 CD=500（3 ） =500（ 1）m333 3故答案为：500（ 1）m3【分析】作 CDAB 于 D，构造出 RtACD 与 RtBCD，求出 AB 的长度根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系，利用特殊角的三角函数值求解18.在扇形纸片 AOB 中，AOB=90，OA=4，将扇形纸片 AOB 按如图所示折叠，使对折后点 A 与点 O 重合，折痕为 DE，则 的长度为_BE【答案】 23【考点】含 30 度角的直角三角形，弧长的计算 【解析】【解答】连接 OE，将扇形纸片 AOB 按如图所示折叠，使对折后点 A 与点
19、O 重合，折痕为 DE，OD OA OE，EDO90，12DEO30，DOE60，AOB90，EOB30，弧 BE 的长度 30 4180 23故答案为： 23【分析】在直角三角形中 30对应的边是斜边的一半，所以DEO=30，得出 EOB=30，通过弧长公式=nr180。第 11 页 共 22 页19.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，在 RtABC 中，ACB=90，AB=4， AC=2，D 是 BC 的中点，点 M 是 AB 边上一点，当四边形 ACDM 是“ 等邻边四边形”时，BM 的长为_ 【答案】2 或 3 或 135【考点】含 30 度角的直角三角形，勾股定
20、理 【解析】【解答】解：当 AM=AC 时，如图 1 所示 AB=4，AC=2 ，BE=ABAE=42=2；当 DM=DC 时，过点 D 作 DEAB 于 E，如图 2 所示在 RtABC 中， ACB=90，AB=4，AC=2，BC= =2 ，B=30AB2-AC2 3D 是 BC 的中点，BD=CD=DM= 3在 RtBDE 中，BD= ， B=30， BED=90，3DE= BD= ，BE= = 12 32 BD2-DE2 32DB=DM，DEBM，BM=2BE=3；当 MD=MA 时，如图 3 所示BE= ，AB=4，32AE= 52设 EM=x，则 AM= x52在 RtDEM 中，
21、 DE= ， DEM=90，EM=x，32DM2=DE2+EM2= +x2 34MD=MA， +x2=（ x） 2 ， 34 52解得：x= ，1110BM=BE+EM= + = 32 1110135综上所述：当四边形 ACDM 是“ 等邻边四边形”时，BM 的长为 2 或 3 或 135故答案为：2 或 3 或 135第 12 页 共 22 页【分析】分 AM=AC、DM=DC、MD=MA 三种情况考虑，当 AM=AC 时，由 AC、AB 的长度即可得出 BM 的长度；当 DM=DC 时，过点 D 作 DEAB 于 E，通过解直角三角形可得出 BE 的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出
22、 BM 的长度；当 MD=MA 时，设 EM=x，则 AM= x，利用勾股定理表示出 DM2 的值，52结合 MD=MA 即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值，进而即可得出 BM 的长度综上即可得出结论20.如图，如图，点 A（3，m）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为1，tan1= ，则 m 的值是23_【答案】2 【考点】坐标与图形性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：作 ABx 轴于点 BA 的坐标是（3，m），OB=3，AB=m又 tan1= = ，即 = ，ABOB23 m3 23m=2故答案是：2【分析】本题考查了正切的定义以及平面直角坐标系，作 ABx
23、 轴于点 B，根据正切函数的定义即可求出所求结论21.如图： DAE=ADE=15， DEAB，DFAB，若 AE=8，则 DF 等于_ 第 13 页 共 22 页【答案】4 【考点】角平分线的性质，含 30 度角的直角三角形 【解析】【解答】解：作 DGAC，垂足为 G DEAB，BAD=ADE，DAE=ADE=15，DAE=ADE=BAD=15，DEG=152=30，ED=AE=8，在 RtDEG 中， DG= DE=4，12DF=DG=4故答案为：4【分析】作 DGAC，根据 DEAB 得到 BAD=ADE，再根据DAE=ADE=15得到DAE= ADE=BAD，求出DEG=152=30
24、，再根据 30的角所对的直角边是斜边的一半求出 GD 的长，然后根据角平分线的性质求出 DF三、解答题（共 8 题；共 58 分）22.计算：| 2|+2cos45+（3.14） 0（1） 2015 2【答案】解：原式=2 + +1+12 2=4 【考点】实数的运算 【解析】【分析】分别进行绝对值的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂等运算，然后合并23.图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图， 是可以伸缩的起重臂，其转动点 离地面 AC A BD的高度 为 .当起重臂 长度为 ，张角 为 时，求操作平台 离地面的高度AH 3.4m AC 9m HAC 118 C（结果保留小数点后一
25、位；参考数据： ， ， ）.sin28 0.47cos28 0.88tan28 0.53第 14 页 共 22 页【答案】如图，过点 C 作 CEDH 交于点 E，过点 A 作 AFCE 交于点 F，又 AHBD，四边形 AFEH 是矩形，HAF=90，EF=AH=3.4m，CAF=CAH-HAF=118-90=28，在 RtACF 中，AC=9m，CAF=28，CF=ACsinCAF=9sin2890.47=4.23（m），CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m） .答：操作平台 离地面的高度为 7.6m C【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】求 C 离地面 BD 的高度，则需
26、要作 CEBD，即求 CE；过 A 作 AFCE，则 CE=CF+EF，易得 EF=AH，再由解直角三角形在 RtACF 中，求出 CF 即可24.如图，某河大堤上有一棵树 ED，ED CD，并且 CD 与水平地面 AB 平行，小明在 A 处测得树顶 E 的仰角为 45，然后沿着坡度为 1：2 的斜坡 AC 攀行 20 米，在坡顶 C 处又测得树顶 E 的仰角为 76，求树 ED 的高度（精确到 1 米）（参考数据：sin760.97，cos76=0.24，tan764.01， =2.236）5【答案】解：过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CGAB 于点 G，坡度为 1：2，CG
27、：AG=1：2，AG：AC=2： ，5AC=20 米，第 15 页 共 22 页AG=8 米，CG=4 米，5 5设 CD=x 米，ECD=76，ED=CDtan76=4.01x（米），EDCD，CD AB，点 E，D，F 共线，EAF=45，tanEAF=tan45= =1，EFAF =1，4.01x+4585+xx2.99 米，ED=4.012.9912（米）答：树 ED 的高度是 12 米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CGAB 于点 G，根据坡度比求出 AG 和 CG，设CD=x 米，再根据正切值表示出 ED，根据
28、EAF=45 ，求出 x 的值，再把 x 的值代入即可得出答案25.如图所示，A 、B 之间是一座山，一条高速公路要通过 A、B 两点，在 A 地测得公路走向是北偏西 11132如果 A、B 两地同时开工，那么在 B 地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？ 【答案】解：在 B 地按北偏东 6828施工，就能使公路在山腹中准确接通 指北方向相互平行，A 、B两地公路走向形成一条直线，这样就构成了一对同旁内角，A+B=180，（两直线平行，同旁内角互补），可得在 B 地按北偏东 18011132=6828施工 第 16 页 共 22 页【考点】平行线的性质，解直角三角形的应用方
29、向角问题 【解析】【分析】根据方位角的概念，和平行线的性质求解26.（ 2015青岛）小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为45，35已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m，请求出热气球离地面的高度（结果保留整数）（参考数据：sin35 ，cos35 ，tan35 ）712 56 710【答案】解：作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x，由题意得，ABD=45 ，ACD=35，在 RtADB 中， ABD=45，DB=x，在 RtADC 中，ACD=35 ，tanACD= ，ADCD = ，xx+100710
30、解得，x233m 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x，表示出 DB 和 DC，根据正切的概念求出 x的值即可【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题.27.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点 A 处安置测倾器，量出高度 AB=1.5m，测得旗杆顶端 D 的仰角DBE=32 ，量出测点 A 到旗杆底部C 的水平距离 AC=20m，根据测量数据，求旗杆 CD 的高度（参考数据： sin320.53，cos32第 1
31、7 页 共 22 页0.85，tan320.62）【答案】解：由题意得 AC=20 米，AB=1.5 米，DBE=32，DE=BEtan32200.62=12.4 米，CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.513.9（米）答：旗杆 CD 的高度约 13.9 米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】根据题意得 AC=20 米，AB=1.5 米，过点 B 做 BECD，交 CD 于点 E，利用 DBE=32，得到 DE=BEtan32后再加上 CE 即可求得 CD 的高度28.如图 1，已知 为正方形 的中心，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， O ABCD OA F O
32、D E OF=2OA，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 角得到 （如图 2）连结 、 OE=2OD EF FOE O FOE AE BF（）探究 与 的数量关系，并给予证明；AE BF（）当 ， 时，求： =30 AB=2 的度数； AEO 的长度 BF【答案】解：如图:（）正方形 ABCD 中，OA=OD=OB，又 OF=2OA，OE=2OD，OE=OF，则 OE=OF，在AOE和BOF中，第 18 页 共 22 页AOEBOF OE=OF AOE= BOFOA=OBAE=BF；（）延长 OA 到 M，使 AM=OA，则 OM=OE正方形 ABCD 中，AOD=90，AOE=9030=60，OM
33、E是等边三角形，又 AM=OA，AEOM，则EAO=90，AOE=90=60，在直角AOE 中，AEO=90AOE=30；AOE=90=60，EOF=90，AOF=30，又AOB=90，BOF=60，又 等腰直角 AOB 中，OB= AB= ，22 2在 RtABE中得到 AE= OA= ，3 6又 BF=AEBF= 6【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（）由正方形的性质可证明AOEBOF，进而得出结论；（）延长 OA 到 M，使 AM=OA，则 OM=OE由正方形的性质和已知可得OME是等边三角形，进而在直角AOE中可求出AEO 的度数；先求出
34、BOF=60，在等腰直角 AOB 中利用三角函数可求出 OB 的长，在 RtABE中利用三角函数可求出 AE的长，从而可得 BF的长.第 19 页 共 22 页29.如图 1，ABCD 为正方形，直线 MN 分别过 AD 边与 BC 边的中点，点 P 为直线 MN 上任意一点，连接PB、PC 分别与 AD 边交于 E、F 两点，PC 与 BD 交于点 K，连接 AK 与 PB 交于点 G（1 ）探索发现 当点 P 落在 AD 边上时，如图 2，试探究 PB 与 AK 的位置关系以及 PB、PK、AK 三者的数量关系（直接写出无需证明）； （2 ）延伸拓展 当点 P 落在正方形外，如图 1，以上
35、两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由； （3 ）应用推广 如图 3，在等腰 RtABD 中，其中 BAD=90，腰长为 3， M、N 分别为 AD 边与 BD 边的中点，K 为线段DN 中点，F 为 AD 边上靠近于 D 的三等分点连接 KF 并延长与直线 MN 交于点 P，连接 PB 分别与AD、AK 交于点 E、G试求四边形 EFKG 的周长及面积 【答案】（1）解：PBAK， PB=PK+AK；理由：如图 2 中，点 P 在 MN 上，根据对称性易得PBC=2 且 PB=PC，又ABK=CBK=45，在BKA 和BKC 中，ABKCBK， BA=BC BKA
36、= BKCBK=BK第 20 页 共 22 页2=3 且 AK=CK，PBC=3又PBC+4=90，3+4=90，即 PBAKPB=PC=PK+CK=PK+AK（2 ）以上两个结论仍然成立，理由如下：如图 1 中，点 P 在 MN 上，根据对称性易得PBC=2 且 PB=PC，又ABK=CBK=45，在BKA 和BKC 中，ABKCBK， BA=BC BKA= BKCBK=BK2=3 且 AK=CK，PBC=3又PBC+4=90，3+4=90，即 PBAKPB=PC=PK+CK=PK+AK（3 ）如图 3 中，过点 B 作 AD 的平行线交 PK 延长线与点 C，连接 CD第 21 页 共 2
37、2 页FDBD，FDKCBK又 DK：BK=1 ： 3，FD：BC=1：3FD：AD=1：3，BC=ADBCAD 且 ABAD 且 AB=AD，四边形 ABCD 为正方形PB=PK+AK，即（PE+BE）=（PF+FK）+AK ，又 PE=PF，BE=FK+AK在 RtEAB 中， AE=1，AB=3，BE= = AE2+AB2 10AGBE（上一问结论），RtAGERtBGA，且相似比为 1：3 ，设 EG=t，AG=3t，BG=9t，BE=10t= ，10 t=1010四边形 EFKG 的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK） AG+EG=EF+BEAG+EG=1+10t3t+
38、t=1+8t= 1+4510过点 K 作 AD 垂线，垂足为 H，HKAB 且 DK： DB=1：4 ，KH= AB= ，14 34S 四边形 EFGH=SAFKSAEG= AFKH AGEG= 2 3tt= 12 12 12 3412 35【考点】全等三角形的应用，相似三角形的应用 第 22 页 共 22 页【解析】【分析】探索发现 PBAK，PB=PK+AK，只要证明3= 4=90即可证明 PBAK，由ABKCBK，结合 PB=PC 即可解决问题延伸拓展 以上两个结论仍然成立，证明方法类似上面应用推广 如图 3 中，过点 B 作 AD 的平行线交 PK 延长线与点 C，连接 CD，利用上面结论结合条件即可解决问题
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