1、第 3 讲 运动图象 追及和相遇问题考纲要求 考情分析 命题趋势1.匀变速直线运动的图象2追及和相遇问题2016全国卷，21高考考查本讲内容既有选择题，也有计算题对运动图象的考查，既有单独命题，也有与追及和相遇问题相结合命题；常考查追及和相遇问题中相距最近或最远的条件及相遇的条件1直线运动的 xt 图象(1)意义：反映了直线运动的物体_位移_随_时间_变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率大小：表示物体速度的_大小_.斜率的正负：表示物体速度的_方向_.(3)两种特殊的 xt 图象若 xt 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于_静止_状态(如图所示甲图线)若 xt 图象是一条倾斜
2、的直线，说明物体在做_匀速直线_运动(如图所示乙图线)2直线运动的 vt 图象(1)意义：反映了直线运动的物体_速度_随_时间_变化的规律(2)图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小：表示物体_加速度_的大小斜率的正负：表示物体_加速度_的方向(3)两种特殊的 vt 图象匀速直线运动的 vt 图象是与横轴 _平行_的直线(如图所示甲图线)匀变速直线运动的 vt 图象是一条 _倾斜_的直线(如图所示乙图线)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的_位移_.若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为_正方向_；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位
3、移方向为_负方向_.3追及和相遇问题(1)两类追及问题若后者能追上前者，追上时，两者处于_同一位置_，且后者速度一定不小于前者速度若追不上前者，则当后者速度与前者_相等_时，两者相距最近(2)两类相遇问题同向运动的两物体追及，追上时即相遇相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇1判断正误(1)xt 图象表示物体的运动轨迹( )(2)xt 图象和 vt 图象都不能描述曲线运动( )(3)vt 图象上两图线的交点表示两物体速度相等，不代表相遇( )(4)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等( )(5)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽
4、车相撞( )(6)两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐变小( )2甲、乙两物体均做直线运动，它们在某段时间内的位移 x 随时间 t 变化的图象如图所示，则在 0t 1 时间内，下列判断正确的是 ( D )A甲物体做加速运动B甲、乙两物体运动方向相同C甲的平均速度比乙的平均速度大D甲、乙两物体的平均速度大小相等3上海 F1 车赛于 2014 年 4 月 18 日至 20 日在上海奥迪国际赛车场举行其中有甲、乙两赛车从同一起跑线上同时启动并且沿平直路面同向前进，在 t0 到 tt 1 时间内，它们的速度随时间变化的图象如图所示则下列说法正确的是( B )At 1 时刻，乙车从后面追上甲车B
5、t 1 时刻，两车第一次相距最远Ct 1 时刻，两车的加速度刚好相等D0 到 t1 时间内，乙车的平均速度大于甲车的平均速度一 xt 图象与 vt 图象的区别xt 图象 v t 图象轴 横轴为时间 t，纵轴为位移 x 横轴为时间 t，纵轴为速度 v线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度 表示加速度面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置 表示初速度特殊点拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等例 1(2018陕西汉中期末)在平直的公路上行驶的 a 车和 b 车，其位移时间图象分别为图中直线
6、 a 和曲线 b，已知 b 车的加速度恒定且 ab2 m/s2，当 t3 s 时，直线 a 和曲线 b 刚好相切，求 t0 s 时 a 车和 b 车的距离 x0.解析 由题图可知 a 车做匀速直线运动的速度va m/s 2 m/s，8 23当 t3 s 时，直线 a 和曲线 b 刚好相切，即此时 b 车的速度vbv a2 m/s.设 b 车的初速度为 vb，对 b 车有 vba btv b，解得 vb8 m/s.从 t0 时刻起经过 3 s，a 车和 b 车的位移分别为a 车的位移 xav at6 m，b 车的位移 xb t15 m ，vb vb2因 t3 s 时，a 车和 b 车到达同一位置
7、，则 t0 s 时 a 车和 b 车的距离为 x0x ax b9 m.答案 9 m运动图象中的易错点(1)对 xt 图象，图线在纵轴上的截距表示 t0 时物体的位置，对 vt 或 at 图象，图线在纵轴上的截距并不表示 t0 时物体的位置(2)在 vt 图象中，两条图线的交点不表示两物体相遇，而是表示两者速度相同(3)两条图线在 v 轴上的截距不同，不少同学误认为两物体的初始位置不同，位置是否相同应根据题中条件确定二 追及、相遇问题讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题1抓住一个条件，两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追
8、不上或( 两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到2能否追上的判断方法常见情形：物体 A 追物体 B，开始二者相距 x0，则(1)A 追上 B 时，必有 xAx Bx 0，且 vAv B(2)要使两物体恰好不相撞，必有 xAx Bx 0，v Av B例 2(2018江苏镇江模拟)甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v18 m/s，乙车在后，速度为 v216 m/s，当两车相距 x08 m 时，甲车因故开始刹车，加速度大小为 a12 m/s 2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大
9、？解析 如图所示，当速度相同时，阴影面积 x 表示两者位移之差，若 x x0，则不会相撞，由几何关系得 x x 0，v2 v1t2解得 t2 s.由 v1a 1tv 2a 2t 得 a26 m/s 2，故乙车的加速度至少为 6 m/s2 才能避免两车相撞答案 6 m/s 2追及和相遇问题的求解方法(1)解题思路 分 析 物 体运 动 过 程 画 运 动示 意 图 找 两 物 体 位 移 、时 间 、速 度 关 系 列 位 移 和 速度 、时 间 方 程(2)解题技巧紧抓“一图三式” ，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件如“刚好
10、” “恰好”“最多” “至少”等往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析1如图所示，是小滑块 A、B 从足够长的斜面上滑下的 vt 图象，已知 t0 时刻 A在 B 后 30 m 处，则从 t0 时刻起 A 追上 B 所需的时间为 ( D )A1 s B3 sC5 s D6 s解析 由题图知，B 的加速度 a4 m/s2，B 经时间 t03 s 停止运动，此时xAxB，则12两车未相撞，且最近距离 xx Ax 0x B5 m.答案 不会相撞 5 m追及、相遇问题的两种典型情况(1)匀加速运动的物体
11、追匀速或匀减速运动的物体一定能追上，追上前，v Av B时，两者相距最远(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体v Av B时：若已超越则相遇两次；若恰好追上，则相遇一次；若没追上，则此时相距最近例 1(15 分) 一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的 vt 图象如图所示求：(1)摩托车在 020 s 这段时间的加速度大小 a；(2)摩托车在 075 s 这段时间的平均速度大小 .v 答题送检 来自阅卷名师报告错误致错原因扣分(1)对平均速度的概念理解错误，误认为平均速度是速度的平均值8规范答题 解析 (1)摩托车在 020 s 这段时间的加速度a m/s21.5 m/s 2；vt
12、 3020(2)摩托车在 075 s 这段时间的位移大小等于 vt 图象中图线和 t 轴所围的面积x (4520)7530 m1 500 m ，1275 s 内摩托车的平均速度v m/s20 m/s.xt 1 50075答案 (1)1.5 m/s 2(7 分) (2)20 m/s(8 分)1甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶在 t0 到 t t1 的时间内，它们的 vt 图象如图所示在这段时间内( A )A汽车甲的平均速度比乙的大B汽车乙的平均速度等于v1 v22C甲、乙两汽车的位移相同D汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析 由 vt 图象知，在 0 t1 时间内，甲的位
13、移大于乙的位移，选项 C 错误；由 v知，甲的平均速度比乙的大，故选项 A 正确；如图所示，汽车乙的 vt 图象中，实现与xt坐标轴所围的面积小于上方虚线与坐标轴所围的面积，故汽车乙的平均速度小于 ，v1 v22选项 B 错误；vt 图象中的斜率表示加速度，甲、乙图线上各点切线斜率的绝对值均逐渐减小，故加速度的大小都逐渐减小，选项 D 错误2(多选) 由于公路维修只允许单车道通行t 0 时，甲车在前，乙车在后，相距x0100 m，速度均为 v030 m/s，从此时开始两车按图所示规律运动，则下述说法正确的是( AC )A两车最近距离为 10 mB两车最近距离为 100 mC两车一定不会相遇D两
14、车一定会相遇解析 如图所示为甲、乙两车的速度图象，由图象可知，t6 s 时两车共速，在此之前，乙车速度一直比甲车大，如果 t6 s 时两车不相遇，就不会相遇，由图象面积可以算出，06 s 内，x 甲 67.5 m， x 乙 157.5 m ，x 乙 x 甲 90 mx 0100 m ，故两车不会相遇，选项 A、C 正确1(多选) 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 vt 图象如图所示已知两车在 t3 s 时并排行驶，则( BD )A在 t1 s 时，甲车在乙车后B在 t0 时，甲车在乙车前 7.5 mC两车另一次并排行驶的时刻是 t2 sD甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为 4
15、0 m解析 根据 vt 图，甲、乙都沿正方向运动 t3 s 时，甲、乙相遇，v 甲 30 m/s，v 乙 25 m/s，由位移和 vt 图面积对应关系，0 3 s 内位移 x 甲 45 m，x 乙 52.5 m故 t0 时，甲乙相距 x1x 乙 x 甲 7.5 m，即甲在乙前方 7.5 m，选项 B 正确.01 s 内，x 甲 110 m 5 m，x 乙 1(1015) m12.5 m， x2x 乙 x 甲 12 127.5 m，说明 t1 s 时甲、乙第一次相遇选项 A、C 错误甲、乙两次相遇地点之间的距离为 xx 甲 x 甲 45 m5 m40 m ，所以选项 D 正确2质点做直线运动的速
16、度时间图象如图所示，该质点( D )A在第 1 秒末速度方向发生了改变B在第 2 秒末加速度方向发生了改变C在前 2 秒内发生的位移为零D第 3 秒末和第 5 秒末的位置相同解析 由题图可知 02 s 内，速度为正，运动方向未改变，2 s 末时，位移最大，vt 图线斜率表示加速度，1 3 s 图线斜率未改变，故第 2 s 末加速度方向没有变化，选项 A、B 、C 错误；由 vt 图线与时间轴所围面积表示位移知，第 3 s 末和第 5 s 末质点位置相同，选项 D 正确3小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向下列速
17、度 v 和位置 x 的关系图象中，能描述该过程的是( A )解析 小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为 h，则速度大小与位移的关系满足 v22g( hx) ，选项 A 正确课时达标 第 3 讲解密考纲 主要考查对运动图象(特别是 vt 图象)的理解和应用，追及和相遇问题中相距最近或最远的条件以及相遇的条件1质点做直线运动的速度时间图象如图所示，该质点( D )A在第 1 秒末速度方向发生了改变B在第 2 秒末加速度方向发生了改变C在前 2 秒内发生的位移为零D第 3 秒末和第 5 秒末的位置相同
18、解析 由题图可知 02 s 内，速度为正，运动方向未改变，2 s 末时，位移最大，vt 图线斜率表示加速度，1 3 s 图线斜率未改变，故第 2 s 末加速度方向没有变化，选项 A、B 、C 错误；由 vt 图线与时间轴所围面积表示位移知，第 3 s 末和第 5 s 末质点位置相同，选项 D 正确2(多选) 如图，直线 a 和曲线 b 分别是在平直公路上行驶的汽车 a 和 b 的位移时间(xt )图线由图可知( BC )A在时刻 t1，a 车追上 b 车B在时刻 t2，a、b 两车运动方向相反C在 t1 到 t2 这段时间内， b 车的速率先减少后增加D在 t1 到 t2 这段时间内，b 车的
19、速率一直比 a 车的大解析 t 1 时刻，两车都在沿 x 正方向运动，该时刻前，b 车的位置坐标小，b 车在 a 车的后面，所以 t1 时刻是 b 追上 a，选项 A 错误；t 2 时刻， a 车继续沿 x 正方向运动，而 b 车向 x 负方向运动，二者运动方向相反，选项 B 正确；在位移时间图象中，图线斜率的绝对值表示速度的大小，t 1 到 t2 时间内，b 的斜率绝对值先减小后增大，故 b 车的速率先减小后增大，选项 C 正确；t 1 到 t2 时间内，曲线 b 的斜率绝对值大小存在比 a 的斜率绝对值大的时间段，也存在比 a 斜率绝对值小的时间段，选项 D 错误3甲、乙两汽车在一平直公路
20、上同向行驶在 t0 到 t t1 的时间内，它们的 vt 图象如图所示在这段时间内( A )A汽车甲的平均速度比乙的大B汽车乙的平均速度等于v1 v22C甲、乙两汽车的位移相同D汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析 在 vt 图象中，图线与时间轴所包围的面积表示运动物体的位移由图象可知，汽车甲的位移大于汽车乙的位移，选项 C 错误；由 v 可知，汽车甲的平均速度比乙的大，xt选项 A 正确；汽车的运动不是匀变速运动，平均速度不等于 ，选项 B 错误；在v1 v22vt 图象中，图线的斜率表示加速度，根据图象知，甲、乙两汽车的加速度都是逐渐减小的，选项 D 错误4(2017
21、河南六市一联)A、B 两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的 vt 图象如图所示在 t0 时刻，B 在 A 的前面，两物体相距 7 m，B 物体做匀减速运动的加速度大小为 2 m/s2.则 A 物体追上 B 物体所用时间是( D )A5 s B6.25 sC7 s D8 s解析 B 物体减速到零所需的时间t s5 s，0 vBa 0 10 2xB (v0)t 105 m25 m，12 12A 物体在 5 s 内的位移 xAv At45 m 20 m ，xAxB7，所以 B 物体在停止运动后被追上设 A 物体追上 B 物体所用时间为 t0，则vAt0725，t0 s8 s ，故选项 D 正确3
22、245(2017山西太原模拟)( 多选) 某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离直升机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的 vt 图象如图所示，则下列关于他的运动情况分析正确的是( ABC )A010 s 加速度向下，1015 s 加速度向上B010 s 、10 15 s 内都在做加速度逐渐减小的变速运动C010 s 内下落的距离大于 100 mD1015 s 内下落的距离大于 75 m解析 由题图可知 010 s 的加速度方向为正，大小逐渐减小，1015 s 的加速度方向为负，大小也逐渐减小，则选项 A、B 正确；由图象的面积，可得 010 s 的位移大于 100 m,1015 s
23、 的位移小于 75 m，则选项 C 正确，选项 D 错误6(2017宁夏银川模拟)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，060 s 内汽车的加速度随时间变化的 at 图象如图所示则该汽车在 060 s 内的速度随时间变化的 vt 图象为( B )解析 010 s 内汽车做初速度为零的匀加速直线运动，10 s 末速度增加到 20 m/s；10 40 s 内汽车以 20 m/s 的速度做匀速直线运动； 4060 s 内汽车做匀减速直线运动，60 s 末速度减为零，故选项 B 正确7两个质点 A、B 放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的 vt 图象如图所示，对 A
24、、B 运动情况的分析，下列结论正确的是( D )AA、B 加速时的加速度大小之比为 21，A、B 减速时的加速度大小之比为 11B在 t3t 0 时刻， A、B 相距最远C在 t5t 0 时刻， A、B 相距最远D在 t6t 0 时刻，A、B 相遇解析 由 vt 图易知 A、B 加速时的加速度大小之比为 101，减速时加速度大小之比为 11，选项 A 错误；在 2t03t 0 之间两图线有一交点，该时刻两者相距最远，选项B、C 错误；t 6t0 时两图线与 t 轴所围面积相等，即两者相遇，选项 D 正确8(多选) 从同一地点出发，甲、乙两个物体沿同一方向做直线运动的速度时间图象如图所示，则(
25、AC )A两物体相遇的时间是 2 s 和 6 sB乙物体先向前运动 2 s，随后向后运动C两个物体相距最远的时刻是 4 s 末D 4 s 后甲在乙前面解析 前 2 s 甲、乙位移均为 4 m，前 6 s 甲、乙位移均为 12 m，故选项 A 正确；乙前 6 s 一直向前运动，故选项 B 错误；由题图可知，前 4 s 内两图线与坐标轴所围面积差最大，4 s 末甲、乙相距最远，选项 C 正确，4 s 后乙在甲前面，直到 6 s 时两物体相遇，故选项 D 错误9(多选) 将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔 2 s，它们运动的 vt 图象分别如直线甲、乙所示，则
26、( BD )At2 s 时，两球的高度差一定为 40 mBt4 s 时，两球相对于各自拋出点的位移相等C两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等D甲球从拋出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等解析 vt 图线与时间轴所围面积表示小球的位移，由图可知，t 2 s 时，甲球相对其抛出点高度为 40 m，乙球恰要抛出，因为甲、乙抛出点位置高度不同，故选项 A 错误；t4 s 时，甲已过最高点返回至距抛出点 40 m 处，乙已上升到距其抛出点 40 m 处，选项B 正确；因甲、乙抛出点距地面高度不同，故在空中运动时间不同，选项 C 错误；上升至最高点的时间 t ，因甲、乙的初速度相同，故选项 D 正确v0
27、g10.折线 ABCD 和曲线 OE 分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移时间图象，如图所示，t2 s 时，两图线相交于 C 点下列说法正确的是 ( B )A两个物体同时、同地、同向出发B第 3 s 内，甲、乙运动方向相反C2 s4 s 内，甲做减速运动，乙做加速运动D2 s 末，甲、乙未相遇解析 物体同时、同向出发，但不是同地出发，选项 A 错误；第 3 s 内甲物体 xt 图线的斜率为负，向负方向运动，乙物体 xt 图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，选项 B 正确；2 s 4 s 内，甲向负方向做匀速直线运动，乙向正方向做加速运动，选项 C 错误；2 s 末，甲、乙的位置相同
28、，甲、乙相遇，选项 D 错误11斜面长度为 4 m，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度 v0 从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离 x 与初速度二次方 v 的关系图象( 即 xv 图象)如图所示20 20(1)求滑块下滑的加速度大小(2)若滑块下滑的初速度为 5.0 m/s，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？解析 (1)由 v 2ax 推知，图线“斜率”为 ，根据图象可知， ，所以2012a 12a 1 m4 m2s 2滑块下滑的加速度大小 a2 m/s 2，方向沿斜面向上(2)由图象可知，当滑块的初速度为 4 m/s 时，滑块刚好滑到斜面最低点，故滑块下滑的初速度为 5.0 m/s 时能滑到
29、斜面最低点设滑块在斜面上的滑动时间为 t，则xv 0t at2，解得 t1 s，t4 s( 舍去) 12答案 (1)2 m/s 2 (2)1 s12甲、乙两车从相距 110 m 的两地相向运动，它们的 vt 图象如图所示，忽略车掉头所需时间(1)求 t4 s 时甲、乙两车各自的位移大小；(2)通过计算说明两车是否相遇如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的最小距离解析 (1)由 vt 图象可知，甲向乙做匀减速运动，加速度大小 a14 m/s 2，乙向甲先做加速运动后做减速运动，加速度大小分别为a210 m/s 2 和 a230 m/s 2，t4 s 时甲的位移大小为 x1v 0
30、t a1t248 m，12乙的位移大小为 x2 430 m60 m.12(2)乙车 t4 s 时掉头开始做与甲同向的初速度为零的匀加速运动，甲、乙两车此时相距x 110 mx 1x 22 m，甲的速度大小为 v1v 0a 1t 4 m/s.假设两车从 t4 s 时再经 t1 时间能够相遇，乙的位移大小 x2 a2t ，12 21甲的位移大小 x1v 1t1 a1t ，12 21两车相遇应满足 x2x 1x ，联立并整理得 17t 4t 120，由判别式可知方程无解，所以假设不成立，两车不能21相遇设从 t4 s 时再经 t2 时间两车速度相等，即两车相距最近，有 a2t 2v 1a 1t2，可得t2 s，217即两车间最小距离 xmin a2t x 1.76 m 12 2 (v1t2 12a1t2)答案 (1)48 m 60 m (2)1.76 m
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