1、北京市东城区 2018 届九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可 解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误； D、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 错 误 故选：A【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 中 心 对 称 图 形 与 轴 对 称 图 形 的 概 念 轴 对 称 图 形 的 关 键 是寻找对称
2、轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心， 旋 转 180 度后两部分重合2. 边 长 为 2 的正方形内接于 M，则M 的半径是（ ）A1 B2 C D【分析】连 接 OB，CO， 在 RtBOC 中 ， 根 据 勾 股 定 理 即 可 求 解 解 ： 连 接 OB，OC， 则 OC=OB，BC=2，BOC=90，在 RtBOC 中，OC= 故选：C【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 正 多 边 形 和 圆 ， 本 题 需 仔 细 分 析 图 形 ， 利 用 勾 股 定 理 即可解决问题3. 若要得到函数 y=（x+1） 2+2 的图象，只需将函数 y=x2 的图象（
3、 ）A 先 向 右 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 2 个单位长度B 先 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 2 个单位长度C 先 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 2 个单位长度D 先 向 右 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 2 个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由 a 值不变即可找出结论解 ： 抛 物 线 y=（ x+1） 2+2 的 顶 点 坐 标 为 （ 1， 2） ， 抛 物 线 y=x2 的顶点坐标为（0 ，0） ， 将 抛 物 线 y=x2 先 向 左 平 移 1 个
4、 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 2 个 单 位 长 度 即 可 得 出 抛物 线 y=（x+1 ） 2+2故选：B【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 函 数 图 象 与 几 何 变 换 ， 通 过 平 移 顶 点 找 出 结 论 是 解 题 的关键4. 点 A（ x1， y1） ， B（x 2， y2） 都在反比 例函数 的图象上 ， 若 x1 x20， 则（ ）Ay 2y 10 By 1y 20 Cy 2y 10 Dy 1y 20【分析】由 k=20，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果解：k=20， 此 函 数 图 象 的 两 个 分 支 分 别
5、 位 于 一 、 三 象 限 ， 且 在 每 一 象 限 内 y 随 x 的 增 大 而减小，x 1x 20 ， 点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）位于第三象限，y 2y 10，故选：C【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 点 ， 熟 知 反 比 例 函 数 图 象 上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键5. A，B 是 O 上的两点， OA=1， 的长是 ，则AOB 的度数是（ ）A30 B60 C90 D120【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可解：OA=1， 的长是 ， ，解得：n=60
6、，AOB=60， 故选：B【 点 评 】 本 题 考 查 扇 形 的 弧 长 公 式 的 应 用 ， 关 键 是 通 过 弧 长 公 式 求 出 圆 心 角 的 度数6. DEF 和ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是 OA，OB ， OC 的中点，若DEF 的面积是 2，则ABC 的面积是（ ）A2 B4 C6 D8【分析】 根据点 D， E， F 分别是 OA， OB， OC 的中点知 = ， 由位似图形性质得 =（ ） 2， 即 = ，据此可得答案解：点 D， E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点， = ，DEF 与ABC 的相似比是 1：2， =（ ） 2
7、，即 = ，解得：S ABC=8， 故选：D【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 三 角 形 中 位 线 定 理 、 位 似 的 定 义 及 性 质 ， 掌 握 面 积 的 比等于相似比的平方是解题的关键7. 已知函数 y=x 2+bx+c，其中 b0，c0，此函数的图象可以是（ ）A BC D【分析】根据已知条件“a0、b0、c0”判断出该函数图象的开口方向、与 x和 y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象 解：a=10，b0，c 0，该函数图象的开口向下， 对称轴是 x= 0， 与 y 轴的交 点在 y 轴的负半轴上 ； 故选：D【 点 评 】 本 题 考 查 了 二
8、 次 函 数 图 象 与 系 数 的 关 系 根 据 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 系 数符 号 判 断 抛 物 线 开 口 方 向 、 对 称 轴 、 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 抛 物 线 与 x 轴 交 点的 个 数 8. 小 张 承 包 了 一 片 荒 山 ， 他 想 把 这 片 荒 山 改 造 成 一 个 苹 果 园 ， 现 在 有 一 种 苹 果树苗，它的成活率如下表所示：移 植 棵 数 （ n） 成活数（m ） 成活率（m/n ）移植棵数（ n）成活数（m ） 成活率（m/n ）50 47 0.940 1500 1335 0.890270 235 0.870 35
9、00 3203 0.915400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902下面有四个推断：当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概率是 0.890； 随 着 移 植 棵 数 的 增 加 ， 树 苗 成 活 的 频 率 总 在 0.900 附 近 摆 动 ， 显 示 出 一 定 的 稳定 性 ， 可 以 估 计 树 苗 成 活 的 概 率 是 0.900；若小张移植 10 000 棵这种树苗，则可能成活 9 000 棵；若小张移植 20 000 棵这种树苗，则一定成活 18 000
10、棵 其中合理的是（ ）A B C D【 分 析 】 随 着 移 植 棵 数 的 增 加 ， 树 苗 成 活 的 频 率 总 在 0.900 附 近 摆 动 ， 显 示 出 一定 的 稳 定 性 ， 可 以 估 计 树 苗 成 活 的 概 率 是 0.900，据此进行判断即可解：当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是 0.890，故错误； 随 着 移 植 棵 数 的 增 加 ， 树 苗 成 活 的 频 率 总 在 0.900 附 近 摆 动 ， 显 示 出 一 定 的 稳定 性 ， 可 以 估 计 树 苗 成 活 的 概 率 是 0.900，故正
11、确；若小张移植 10 000 棵这种树苗，则可能成活 9 000 棵，故正确； 若 小 张 移 植 20 000 棵 这 种 树 苗 ， 则 不 一 定 成 活 18 000 棵 ， 故 错 误 故选：C【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 频 率 估 计 概 率 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 明 确 概 率 的 定 义 ， 大 量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9. 已知在ABC 中，C=90，cosA= ，
12、AB=6，那么 AC= 2 【分 析】根据 三角函 数的定 义，在 直角 三角形 ABC 中，cosA= ，即 可求得 AC的长解：在ABC 中，C=90， cosA= ， cosA= ，AB=6 ， AC= AB=2，故答案为 2【 点 评 】 本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 中 三 角 函 数 的 应 用 ， 要 熟 练 掌 握 好 边 角 之 间 的关系10. 若抛物线 y=x2+2x+c 与 x 轴没有交点，写出一个满足条件的 c 的值： 2 【分析】根据抛物线 y=x 2+2x+c 与 x 轴没有交点得出 b24ac=2 241 c0， 求出不等式的解集，再取一个范围内的
13、数即可解 ： 因 为 要 使 抛 物 线 y=x2+2x+c 与 x 轴 没 有 交 点 ， 必 须 b24ac=2 241c0， 解得：c1 ，取 c=2，故答案为：2【 点 评 】 本 题 考 查 了 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 ， 能 根 据 已 知 得 出 关 于 c 的 不 等 式 是 解此 题 的 关 键 11. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 若 点 B 与 点 A 关 于 点 O 中 心 对 称 ， 则 点 B的坐标为 （2，1） 【分析】根 据 中 心 对 称 定 义 结 合 坐 标 系 确 定 B 点 位 置 即 可 解：A （2，1）
14、， 点 B 与 点 A 关 于 点 O 中心对称， 点 B 的坐标为（ 2， 1） ，故 答 案 为 ： （2 ，1） 【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 中 心 对 称 ， 关 键 是 掌 握 把 一 个 图 形 绕 着 某 个 点 旋 转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心12. 如 图，AB 是 O 的弦 ，C 是 AB 的中 点， 连接 OC 并延 长交 O 于点 D 若CD=1，AB=4，则O 的半径是 【分析】连 接 OA， 根 据 垂 径 定 理 求 出 AC 的 长 ， 由 勾 股 定 理 可 得 出 OA
15、的 长 解 ： 连 接 OA，C 是 AB 的中点， AC= AB=2，OCAB，OA 2=OC2+AC2，即 OA 2=（OA 1） 2+22，解 得 ， OA= ， 故答案为： 【点评】本 题 考 查 的 是 垂 径 定 理 及 勾 股 定 理 ， 根 据 垂 径 定 理 判 断 出 OC 是 AB 的垂直平分线是解答此题的关键13. 某 校 九 年 级 的 4 位 同 学 借 助 三 根 木 棍 和 皮 尺 测 量 校 园 内 旗 杆 的 高 度 为 了 方便 操 作 和 观 察 ， 他 们 用 三 根 木 棍 围 成 直 角 三 角 形 并 放 在 高 1m 的 桌 子 上 ， 且 使
16、旗 杆 的 顶 端 和 直 角 三 角 形 的 斜 边 在 同 一 直 线 上 （如图） 经 测 量 ， 木 棍 围 成 的 直角 三 角 形 的 两 直 角 边 AB， OA 的 长 分 别 为 0.7m，0.3m， 观 测 点 O 到旗杆的 距离 OE 为 6m， 则 旗 杆 MN 的高度为 15 m【 分 析 】 由 平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线 与 其 他 两 边 相 交 ， 所 构 成 的 三 角 形 与 原 三角形相似可得ABO NEO， 利 用 对 应 边 成 比 例 可 得 旗 杆 MN 的高度解：ABNE ，ABONEO， ，即 ，解得：NE=14，MN=1
17、4+1=15，故答案为：15【 点 评 】 考 查 相 似 三 角 形 的 应 用 ； 用 到 的 知 识 点 为 ： 平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例14. O 是 四 边 形 ABCD 的 外 接 圆 ， AC 平分B AD， 则 正 确 结 论 的 序 号 是 AB=AD； BC=CD； ； BCA=DCA； 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可解 ： ACB 与 ACD 的 大 小 关 系 不 确 定 ， AB 与 AD 不 一 定 相 等 ， 故 本 结 论错 误 ；AC 平分BAD
18、，BAC=DAC ，BC=CD，故本结论正确；ACB 与ACD 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本结论错误；BCA 与DCA 的大小关系不确定，故本结论错误；AC 平分BAD，BAC=DAC ， ，故本结论正确 故答案为【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等15. 已知函数 y=x22x3，当1xa 时，函数的最小值是 4，则实数 a 的取值范围是 a1 【分析】结合函数 y=x 22x 3 的图象和性质，及已知中当 1xa 时函数的最小值为4，可得实数 a 的取值范围解 ： 函 数 y
19、=x2 2x 3=（ x 1） 2 4 的 图 象 是 开 口 朝 上 且 以 x=1 为对称轴的抛物线，当且仅当 x=1 时，函数取最小值4，函数 y=x 22x3，当1xa 时，函数的最小值是 4，a 1 ，故答案为：a1【 点 评 】 本 题 考 查 的 知 识 点 是 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 ， 熟 练 掌 握 二 次 函 数 的 图 象和性质，是解答的关键16. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 A（ 8， 0） ， C（ 0， 6） ， 矩 形 OABC的对角 线交于点 P， 点 M 在经过 点 P 的函数 y= 的图象 上运动，k
20、 的值为 12 ，OM 长的最小值为 【分 析】先根 据 P（ 4，3） ，求 得 k=43=12，进 而得出 y= ，再 根据双 曲线的对称性可得， 当点 M 在第一象限角平分线上时， OM 最短， 即当 x=y 时， x= ， 解得 x=2 ，进而得到 OM 的最小值解：A （8，0） ，C （0，6） ， 矩 形 OABC 的 对 角 线 交 于 点 P，P （4，3） ，代入函数 y= 可得，k=4 3=12， y= ，点 M 在经过点 P 的函数 y= 的图象上运动，根据双曲线的对称性可得，当点 M 在第一象限角平分线上时， OM 最短，当 x=y 时，x= ，解得 x=2 ， 又x
21、0， x=2 ，M （2 ， 2 ） ， OM= =2 ，故 答 案为：12，2 【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 以 及 矩 形 的 性 质 ， 解 题时 注 意 ： 矩 形 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 它 有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点三 、 解 答 题 （本 题 共 68 分 ， 第 17-24 题 ， 每 小 题 5 分 ， 第 25 题 6 分 ， 第 26-27，每小题 5 分，第 28 题 8 分）17 （5 分）计算：2c os302
22、s in45+3tan60+|1 |【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可解 ： 原式=2 2 +3 + 1，= +3 + 1，=4 1【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值18 （5 分） 已知等腰 AB C 内接于O ，AB =AC， BOC=100，求A BC 的顶角和底角的度数【 分 析 】 画 出 相 应 图 形 ， 分 ABC 为 锐 角 三 角 形 和 钝 角 三 角 形 2 种 情 况 解 答 即 可 解 ： （1 ）圆 心 O 在AB C 外部，在优弧 BC 上任选一点 D，连接 BD，CD BDC= BOC=50，BAC=180 BDC=1
23、30；AB=AC，ABC=（180 BAC）2=25；（2）圆心 O 在ABC 内部BAC= BOC=50，AB=AC，ABC=（180 BAC）2=65【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 三 角 形 圆 周 角 定 理 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 分 情 况 探 讨 是 解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半； 圆内接四边形的对角互补19 （ 5 分） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ADB C， ABB C， 点 E 在 AB 上 ， DEC=90（ 1） 求证：ADE BEC（ 2） 若 AD=1，BC=3，AE=2， 求 AB
24、的长【 分 析 】 （1）由 ADBC 、AB BC 可得出A=B=90，由等角的余角相等可得出ADE=BEC，进而即可证出 ADE BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出 BE 的长度，结合 AB=AE+BE 即可求出 AB的长度（ 1） 证明：AD BC，ABBC ，ABAD，A= B=90，ADE+AED=90DEC=90，AED+BEC=90，ADE= BEC，ADE BEC（ 2） 解：ADE BEC， = ，即 = ， BE= ， AB=AE+BE= 【 点 评 】 本 题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 以 及 平 行 线 的 性 质 ， 解 题 的
25、关 键 是 ：（1） 利用相似三角形的判定定理找出A DEB EC； （2 ） 利 用 相 似 三 角 形 的性 质 求 出 BE 的长度20 （5 分）在AB C 中，B =135，AB = ，B C=1（ 1） 求ABC 的面积；（ 2） 求 AC 的长【 分 析 】 （1）延 长 CB， 过 点 A 作 ADBC， 利 用 三 角 函 数 求 出 AD，根据三角形的面积公式计算即可；（ 2） 等 腰 直 角 三 角 形 的 判 定 与 性 质 得 到 AD=DB=2， 进 一 步 得 到 DC， 再 根 据 勾 股定 理 即 可 求 解 解 ： （1 ）延 长 CB， 过 点 A 作 A
26、DB C，ABC=135 ，ABD=45 ，在 Rt ABD 中，AB= ，ABD=45，AD=ABsin45=2 ，ABC 的面积= BCAD=1；（2）ABD=45 ，D=90，ABD 是等腰直角三角形，AD=2 ，DB=2，DC=DB+BC=2+1=3 ，在 RtACD 中，AC= = 【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键21 （5 分）北 京 2018 新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学） 、体育九门课程语文、数学、外 语 、 体 育 为 必 考 科 目 历 史 、 地 理 、 思 想 品 德
27、、 物 理 、 生 化 （生物和化学） 五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门（ ） 写出所有选考方案（只写选考科目） ；（ ） 从 （ 1） 的 结 果 中 随 机 选 择 一 种 方 案 ， 求 该 方 案 同 时 包 含 物 理 和 历 史 的 概 率 【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；（2）根据（1）中的所有可能即可求得从（1）的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率解 ： （1 ）由题意可得，所有的可能性是：（物理、历史、地理） 、 （物理、历史、思想品德） 、 （物理、历史、生化） 、（物理、地理、思想品德） 、 （
28、物理、地理、生化） 、 （物理、思想品德、生化） 、（历史、地理、生化） 、 （历史、思想品德、生化） 、 （地理、思想品德、生化） ；（ 2） 从 （ 1） 的 结 果 中 随 机 选 择 一 种 方 案 ， 该 方 案 同 时 包 含 物 理 和 历 史 的 概 率 是，即从 （ 1） 的结果中随机选择一种方案， 该方案同时包含物理和历史的概率是 【 点 评 】 本 题 考 查 列 表 法 与 树 状 图 法 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 明 确 题 意 ， 写 出 所 有 的可能性，求出相应的概率22 （5 分） 如 图 ， 在 RtA BC 中 ， A=90， C=30 将 AB
29、C 绕 点 B 顺时针旋转 60得到 ABC， 其 中 点 A，C分 别 是 点 A， C 的对应点（ ） 作出A BC（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ；（ ） 连 接 AA，求CAA 的度数【分析】（1）直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；（ 2） 直接利用等边三角形的判定方法ABA为 等 边 三 角 形 ， 得 出 进 而 得 出 答 案 解 ： （1 ）如图所示： A BC即为所求；（2）在 Rt ABC 中，C=30，A=90，B=60，ABC由 ABC 旋转所得，ABC ABC，BA=BA，BAC=BAC=90，ABA为等腰三角形， 又ABC=60 ，ABA
30、为等边三角形，BAA=60 ，CAA=BAC+BAA=150【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 旋 转 变 换 以 及 等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 正 确 得 出 对 应点位置是解题关键23 （5 分） 如 图 ， 以 40m/s 的 速 度 将 小 球 沿 与 地 面 成 30角 的 方 向 击 出 时 ， 小 球的 飞 行 路 线 是 一 条 抛 物 线 如 果 不 考 虑 空 气 阻 力 ， 小 球 的 飞 行 高 度 h（单 位 ： m）与 飞 行 时 间 t（单位：s）之 间 具 有 函 数 关 系 h=20t5t 2（ 1） 小球飞行时间是多少时，小球最
31、高？最大高度是多少？（ 2） 小 球 飞 行 时 间 t 在 什 么 范 围 时 ， 飞 行 高 度 不 低 于 15m？【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（2）画图象可得 t 的取值解 ： （1 ）h =5t 2+20t=5 （t 2 ） 2+20，当 t=2 时，h 取得最大值 20 米；答：小球飞行时间是 2s 时，小球最高为 20m；（2）由题意得：15=20t 5t 2， 解得：t 1=1，t 2=3，由图象得：当 1t3 时，h15，则小球飞行时间 1t3 时，飞行高度不低于 15m【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 应 用 ， 主 要 考 查 了
32、 二 次 函 数 的 最 值 问 题 ， 以 及 利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键24 （ 5 分）在平 面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+4 与反比例 函数 y= （ k0）的图象交于点 A（3，a）和点 B （ 1） 求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 和 点 B 的坐标；（ 2） 直 接 写 出 不 等 式 2x+4 的解集【 分 析 】 （1）把 A（3， a）代 入 y=2x+4， 可 得 A（3，2） ， 把 A（3， 2）代入 y= ，可得反比例函数的表达式为 y= ，再联立两个函数的解析式， 解 方 程 组 即 可 得 到 B 的坐标；
33、（2）在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 两 个 函 数 的 图 象 ， 反 比 例 函 数 落 在 一 次 函 数 图 象下方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式 2x+4 的解集解 ： （1 ）把 A（3，a ）代 入 y=2x+4， 可 得 a=2，A （3，2） ，把 A（ 3，2）代入 y= ，可得 k=6，反比例函数的表达式为 y= 解方程组 ，得 或 ，B （1，6 ） ；（2）在平面直角坐标系中画出直线 y=2x+4 与双曲线 y= ，如图 由 图 象 可 知 ， 不 等 式 2x+4 的解集为3x0 或 x1【 点 评 】 此 题 考 查 了 反 比 例 函 数 与
34、 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ： 求 反 比 例 函 数 与 一 次 函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键25 （ 6 分 ） 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=AC， 以 AB 为 直 径 的 O 与 边 BC， AC 分 别交 于 点 D，EDF 是O 的 切 线 ， 交 AC 于 点 F（ 1） 求证：DFAC；（ 2） 若 AE=4，DF=3， 求 tanA【 分 析 】 （ 1） 连 接 OD， 作 OGAC 于 点 G， 推 出 ODB= C； 然 后 根 据
35、 DFAC ，DFC=90，推出ODF=DFC=90，即可证明；（2）过 O 作 OGAC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可（ 1） 证 明 ： 如 图 ， 连 接 OD， 作 OGAC 于 点 G，OB=OD，ODB=B， 又AB=AC，C=B，ODB=C，DFAC，DFC=90，ODF=DFC=90，DFAC；（ 2） 过 O 作 OGAC，由垂径定理可知：OG 垂直平分 AE，AGO=90，AG=2，由（1）可知：四边形 ODFG 为矩形，OG=DF=3，在 RtAGO 中，tanA= 【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 切 线 的 性 质 和 应 用 ， 等 腰 三 角 形 的
36、 性 质 和 应 用 ， 以 及 解直角三角形的应用，要熟练掌握26 （ 7 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物 线 y=mx22m x+n（m0） 与 x 轴交于 点 A，B ， 点 A 的坐标为（ 2 ，0） （ 1） 写出抛物线的对称轴；（ 2） 直线 y= x4mn 过点 B，且与抛物线的另一个交点 为 C分别求直线和抛物线所对应的函数表达式； 点 P 为 抛 物 线 对 称 轴 上 的 动 点 ， 过 点 P 的 两 条 直 线 l1： y=x+a 和 l2： y= x+b 组成 图 形 G 当 图 形 G 与 线 段 BC 有 公 共 点 时 ， 直 接
37、 写 出 点 P 的 纵 坐 标 t 的取值范围【 分 析 】 （ 1） 由 给 定 的 抛 物 线 的 表 达 式 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 即 可 找 出 抛 物 线 的对称轴；（2）根据抛物线的对称性可得出点 B 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出 m、n 的值，此问得解； 联 立 直 线 及 抛 物 线 的 函 数 关 系 式 成 方 程 组 ， 通 过 解 方 程 组 可 求 出 点 C 的 坐 标 ， 利 用 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 求 出 直 线 l2 过 点 B、 C 时 b 的 值 ， 进
38、而 可 得出 点 P 的 坐 标 ， 再 结 合 函 数 图 象 即 可 找 出 当 图 形 G 与 线 段 BC 有 公 共 点 时 ， 点 P 的 纵 坐 标 t 的取值范围解 ： （1 ）抛 物 线 所 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=mx22m x+n，抛物线的对称轴为直线 x= =1（2）抛物线是轴对称图形，点 A、B 关于直线 x=1 对称 点 A 的坐标为（2，0） ， 点 B 的坐标为（4，0 ） 抛物线 y=mx22mx +n 过点 B，直线 y= x4mn 过点 B， 直 线 所 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= x 2， 抛 物 线 所 对 应 的 函 数
39、 表 达 式 为 y= x2+x+4联立两函数表达式成方程组， ，解得： ， 点 B 的坐标为（4，0 ） ，点 C 的坐标为（ 3， ） 当 直 线 l2：y= x+b 1 过 点 B 时 ， 0= 4+b1， 解得：b 1=4， 此 时 直 线 l2 所 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= x+4， 当 x=1 时，y=x+4=3， 点 P1 的坐标为（1 ，3） ；当直线 l2：y= x+b 2 过点 C 时， =3+b2， 解 得 ： b2= ，此时直线 l2 所对应的函数表达式为 y=x ， 当 x=1 时，y=x = ，点 P2 的坐标为（1 ， ） 当图形 G 与线段 BC
40、 有公共点时，点 P 的纵坐标 t 的取值范围为 t 3【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 性 质 、 一 次 （二次） 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 以及 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 ， 解 题 的 关 键 是 ： （ 1） 利 用 二 次 函 数 的 性 质 找 出 抛 物线 的 对 称 轴 ； （ 2） 利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的 坐 标 特 征 ， 找 出 关 于 m、 n 的二元一次方程组； 利用一次函数图象上点的 坐 标 特 征 求 出 直 线 l2 过 点 B、C 时 点 P 的坐标27 （7 分）如 图 1，在
41、ABC 中， ACB=90，AC =2，B C=2 ，以点 B 为圆心 ， 为 半 径 作 圆 点 P 为 B 上 的 动 点 ， 连 接 PC， 作 PCPC， 使 点 P落 在 直线 BC 的上方，且满足 PC：PC=1： ，连接 BP，AP（ 1） 求BAC 的度数，并证明APCBPC；（ 2） 若 点 P 在 AB 上时，在图 2 中画出APC ；连接 BP，求 BP的长；（ 3） 点 P 在运动过程中，BP是 否 有 最 大 值 或 最 小 值 ？ 若 有 ， 请 直 接 写 出 BP取得最大值或最小值时PBC 的度数；若没有，请说明理由【分析】（1）利用锐角三角函数求出BAC，先判
42、断出 = ，再判断出PCA=PCB，即可得出结论；（ 2） 利用垂直和线段的关系即可画出图形；先求出PAC ，进而得出PAB=90 ，再利用相似求出 AP，即可得出结论；（ 3） 先 求 出 AP=1 是 定 值 ， 判 断 出 点 P在 以 点 A 为 圆 心 ， 1 为半径的圆上，即可得出结论解： （1 ）在 RtAB C 中，A C=2，B C=2 ，tanBAC= = ， BAC=60；， = = ，PC PC，PCP=ACB=90，PCA=PCB，APC BPC；（2）如图 1 所示；如图 2，由（1）知，BAC=60，ABC=90 BAC=30，AB=2AC=4，APC BPC，
43、PAC= PBC=30， ，点 P 在 AB 上， BP= ，AP=1；连接 PB，PAB=CAP +BAC=30+60=90，在 Rt PAB 中，AP=1，AB=4，根据勾股定理得，BP= = ；（3）由（1）知，APCBPC， ，AP=1 是定值，点 P是在以点 A 为圆心，半径为 AP=1 的圆上，如图 3，点 P在 BA 的延长线上，此时，BP取得最大值，PAC=180 BAC=60，APC BPC，PAC=PBC=120，BP取得最大值时，PBC=120；如图 4，点 P在线段 AB 上时，BP取得最小值，APC BPC，PBC= BAC=60，BP取得最小值时，PBC=60【 点
44、 评 】 此 题 是 圆 的 综 合 题 ， 主 要 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 锐 角 三 角 函数 ， 直 角 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 圆 的 性 质 ， 判 断 出 APCBPC 是解本题的关键28 （8 分） 对 于 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 的 点 M 和 图 形 G， 若 在 图 形 G 上存在一点 N， 使 M，N 两 点 间 的 距 离 等 于 1， 则 称 M 为 图 形 G 的和睦点（1） 当 O 的半径为 3 时，在点 P1（1，0） ，P 2（ ，1） ，P 3（ ， 0） ，P 4（5，0）中，O 的和睦点
45、是 P 2、P 3 ；（ 2） 若 点 P（4，3）为O 的和睦点，求O 的 半 径 r 的取值范围；（ 3） 点 A 在 直 线 y=1 上 ， 将 点 A 向 上 平 移 4 个 单 位 长 度 得 到 点 B， 以 AB 为边 构造正方形 ABCD， 且 C， D 两点都在 AB 右侧 已知点 E（ ， ） ， 若线段 OE 上 的 所 有 点 都 是 正 方 形 ABCD 的 和 睦 点 ， 直 接 写 出 点 A 的 横 坐 标 xA 的取 值 范 围 【 分 析 】 （ 1） 分 别 以 点 P1， P2， P3， P4 为 圆 心 ， 1 为 半 径 画 圆 ， 若 与 O 有 交 点 ， 则 P 是，O 的和睦点；（ 2） 如 图 2 中 ， 连 接 OP 直 线 OP 交 以 P 为 圆 心 半 径 为 1 的 圆 于 A、 B 满 足 条件 的 O 必 须 与 以 P 为 圆 心 半 径 为 1 的 圆 相 交 或 相 切 ， 当 OA=4 时 ， 得 到 r 的最 小 值 为 4，
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