1、【期末专题】 二次函数 解答题培优试题1某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1元，每星期要少卖出 10件已知商品的进价为每件 40元（1）若每件涨价 x元，每周卖出 y件，求 y与 x的函数关系式；（2）若每周可获利 w元，求 w与 x的函数关系式；（3）如何定价才能使利润最大？并求出最大利润2如图，已知抛物线过点 A（4，0） ， B（2，0） ， C（0，4） （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 M是抛物线 AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 M的坐标3某公司计划安排 25人生产甲、乙两种产品，已知每人每天生产
2、25件甲或15件乙，甲产品每件利润 18元，当参与生产乙产品的工人少于 10人时，乙产品每件利润为 40元，在 4人的基础上每增加 1人，每件乙产品的利润下降 1元，设每天安排 x人生产甲产品，且不少于 4人生产乙产品（1）请根据以上信息完善下表：产品 工人数（人） 每天产量（件） 每件利润（元）甲 x 18乙 （2）请求出销售甲乙两种产品每天的总利润 y关于 x的表达式；（3）请你设计合理的工人分配方案，使得每天的利润最大化，并求出这个最大利润4某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品成本为30元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，当x40 时
3、， y300；当 x55 时， y150（1）求 y与 x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于 240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600元，试确定该工艺品销售单价的范围5如图 1，抛物线 C1： y ax2+bx+1的顶点坐标为 D（1，0）且经过点（0，1） ，将抛物线 C1向右平移 1个单位，向下平移 1个单位得到抛物线 C2，直线y x+c，经过点 D交 y轴于点 A，交抛物线 C2于点 B，抛物线 C2的顶点为P（1）求
4、抛物线 C1的解析式；（2）如图 2，连结 AP，过点 B作 BC AP交 AP的延长线于 C，设点 Q为抛物线上点 P至点 B之间的一动点，连结 BQ并延长交 AC于点 F，当点 Q运动到什么位置时， S PBDS BCF 8？连接 PQ并延长交 BC于点 E，试证明： FC（ AC+EC）为定值6在平面直角坐标系中，已知抛物 线 y1 x24 x+4的顶点为 A，直线y2 kx2 k（ k0） ，（1）试说明直线是否经过抛物线顶点 A；（2）若直线 y2交抛物线于点 B，且 OAB面积为 1时，求 B点坐标；（3）过 x轴上的一点 M（ t，0） （0 t2） ，作 x轴的垂线，分别交 y
5、1， y2的图象于点 P， Q，判断下列说法是否正确，并说明理由：当 k0 时，存在实数 t（0 t2）使得 PQ3当2 k0.5 时，不存在满足条件的 t（0 t2）使得 PQ37随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆我市某旅行社推出“辽阳葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用 y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元旅行社收到的团队总报名费用为 w（元） （1）直接写出当 x20 时， y与 x之间的函数关系式及自变量 x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为 3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团
6、队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？8如图，抛物线 y ax2+3x+c经过 A（1，0） ， B（4，0）两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P在第一象限的抛物线上，且点 P的横坐标为 t，过点 P向 x轴作垂线交直线 BC于点 Q，设线段 PQ的长为 m，求 m与 t之间的函数关系式，并求出 m的最大值；（3）在 x轴上是否存在点 E，使以点 B， C， E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出 E点坐标；如果不存在，请说明理由9某企业投资 1000万元引进一条农产品生产线，若 不计维修、保养费用，预计投产后每年可创 330万元
7、，该生产线投产后，从第一年到第 x年的维修、保养费用累计为 y（万元） ，且 y ax2+bx（ a0） ，若第一年的维修、保养费为 20万元，第二年的为 40万元（1）求 y与 x之间的函数表达式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？10某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的 售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22元时，销售量为 36本；当销售单价为 24元时，销售量为32本（1）求出 y与 x的函数关系式；（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文
8、具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？11瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街，瓦子街某商场经营的某个品牌童装，购进时的单价是 60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是 80元时，销售量是 200件，销售单价每降低 1元，就可多售出20件（1）求出销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于 76元且不高于 80元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？12某商场以每件 30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m（
9、件）与每件的销售价 x（元）满足一次函数关系 m1623 x（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润 y（元）与每件销售价 x（元）之间的函数关系式（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到 500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由13已知，抛物线 y ax2+2ax+c与 y轴交于点 C，与 x轴交于 A， B两点，点 A在点 B左侧点 B的坐标为（1，0） ， OC3 OB（1）求抛物线的解析式；（2）当 a0 时，如图所示，若点 D是第三象限方抛物线上的动点，设点 D的横坐标为 m，三角形 ADC的面积为 S，求出 S与 m的函数关系式，并直接写出自变量 m的取值范围；
10、请问当 m为何值时， S有最大值？最大值是多少14定义：点 Q到图形 W上每一个点的距离的最小值称为点 Q到图 形 W的距离例如，如图 1，正方形 ABCD满足 A（1，0） ， B（2，0） ， C（2，1） ， D（1，1） ，那么点 O（0，0）到正方形 ABCD的距离为 1（1）如果 P是以（3，4）为圆心，2 为半径的圆，那么点 O（0， 0）到 P的距离为 ；（2）求点 M（3，0）到直线了 y x+4的距离：如果点 N（0， a）到直线 y x+4的距离为 2，求 a的值；（3）如果点 G（0， b）到抛物线 y x2的距离为 3，请直接写出 b的值15服装厂批发某种服装，每件成
11、本为 65元，规定不低于 10件可以批发，其批发价 y（元/件）与批发数量 x（件） （ x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示（1）求 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出 x的取值范围；（2）设服装厂所获利润为 w（元） ，若 10 x50（ x为正整数） ，求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？16如图，已知二次函数 y ax2+bx+c的图象与 x轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴相交于点 C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若 P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一 点， PH x轴于点 H，与BC交于点
12、M，连接 PC设点 P的横坐标为 t求线段 PM的最大值； S PBM： S MHB1：2 时，求 t值；当 PCM是等腰三角形时，直接写点 P的坐标参考答案1解：（1）根据题意得： y30010 x；（2）根据题意得： w（6040+ x） （30010 x）10 x2+100x+600010（ x5） 2+6250；（3） w（6040+ x） （30010 x）10 x2+100x+600010（ x5） 2+6250；当 x5 时， y有最大值，最大值为：6250此时售价为：60+565 元答：每件定价为 65元时利润最大，最大利润为 6250元2解：（1）设抛物线解析式为 y a（
13、x+2） （ x4） ，把 C（0，4）代入得 a2（4）4，解得 a ，抛物线解析式为 y （ x+2） （ x4） ，即 y x2 x4；（2）连接 AC，则 AC与抛物线所围成的图形的面积为定值，当 ACM的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值，作 MN y轴交 AC于 N，如图甲，设 M（ x， x2 x4） ，由 A（4，0） ， C（0，4）知线段 AC所在直线解析式为 y x4，则 N（ x， x4） ， MN x4（ x2 x4） x2+2x， S ACM S MNC+S MNA 4MN x2+4x（ x2） 2+4，当 x2 时， ACM的面积最大，图中阴影部分的面积最小值，
14、此时 M点坐标为（2，4） 3解：（1）请根据以上信息完善下表：产品 工人数（人） 每天产量（件） 每件利润（元）甲 x 25x 18乙 25 x 15（25 x） 19+x（2） y1825 x+15 （25 x） （19+ x）15 x2+540x+7125（3） y15 x2+540x+712515（ x18） 2+11985，当 x18 时， y取得最大值，最大值为 11985，分配 18个人生产甲产品，7 人生产乙产品时，可以获得最大利润 11985元4解：（1）设 y与 x之间的函数关系式： y kx+b，由题意得： ，解得： y与 x之间的函数关系式为： y10 x+700；（2
15、）由题意，得10 x+700240，解得 x46设利润为 w（ x30） y（ x30） （10 x+700）10 x2+1000x2100010（ x50） 2+4000，100， x50 时， w随 x的增大而增大， x46 时， w 大 10（4650） 2+40003840，答：当销售单价为 46元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840元（3） w15010 x2+1000x210001503600，10（ x50） 2250，解得： x155， x245， a100，当 45 x55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3600元5解：（1）把顶点坐标为 D（1，0）和点（0，1）坐
16、标代入 y ax2+bx+1，解得：抛物线的方程为： y x22 x+1；（2）抛物线 C1向右平移 1个单位，向下平移 1个单位得到抛物抛物线 C1向右平移 1个单位，向下平移 1个单位得到抛物线 C2，则抛物线 C2的方程为： y（ x2） 21 x24 x+3，此时顶点 P坐标为（2，1） ， A（0，1） 、 B（4，3） ，则： S PBD3， S BCF ，设点 Q（ m， m24 m+3） ，把 Q、 B点坐标代入一次函数表达式，解得： BQ所在的直线方程为： y mx+（34 m） ，则： F（ ，1） ， S BCF FC（ yB yC） ，则 m3，点 Q坐 标为：（3，0
17、） ，即：点 Q运动到 x轴时， S PBDSBCF8；如下图所示，过 Q点分别作 AC、 BC的垂线 QM、 QN，设： Q（ t， t24 t+3） ，则 QM CN（ t2） 2， MC QN4 t， QM CE， ，则： ，解得： EC2 t4， QN FC， ，则： FC ，而 AC4， FC（ AC+EC） （4+2 t4）8，为定值6解：（1） y1 x24 x+4（ x2） 2，顶点 A的坐标为（2，0） 当 x2 时， y22 k2 k0，直线经过抛物线顶点 A（2）依照题意画出图形，如图 1所示设点 B的坐标为（ m， n） （ n0） ， S OAB ABn1， n1，
18、m24 m+41，解得： m11， m23，点 B的坐标为（1，1）或（3，1） （3）点 M（ t，0） ，点 P的坐标为（ t， t24 t+4） ，点 Q的坐标为（ t， kt2 k） 当 k0 时：0 t2 时，点 P在点 Q上方，如图 2所示 PQ3， t24 t+4（ kt2 k）3，整理得： t2（4+ k） t+（1+2 k）0 b24 ac（4+ k） 24（1+2 k） k2+120，此方程有解又 t1+t24+ k0， t1t21+2 k0，有两个正根又（ t12）（ t22）30，有一个正根2，在0，2上存在满足条件的 t正确当 k0 时：（ i）若点 P在点 Q下方，
19、如图 3所示 PQ3， t2（4+ k） t+（4+2 k）3， t2（4+ k） t+7+2k0 b24 ac（4+ k） 24（7+2 k） k212，当存在 PQ3 时， k2120， k2 或 k2 （舍去） 当2 k0.5 时，不存在满足条件的 t；（ ii）若点 P在点 Q上方，如图 4所示 PQ3， t2（4+ k） t+（4+2 k）3， t2（4+ k） t+（1+2 k）0 k2+120，此方程有解又 t1+t24+ k0， t1t21+2 k0，有一正一负两根又（ t12）（ t22）30，正根2，在0，2上不存在满足条件的 t综上所述：正确7解：（1）设 y kx+b，
20、把（20，120）和（32，96）代入得： ，解得： ，y与 x之间的函数关系式为： y2 x+160；旅行社规定团队人均报名费用不能低于 88元，当 y88 时，2 x+16088，x36， y与 x之间的函数关系式为： y2 x+160（20 x36） ；（2）2012024003000，由题意得： w xy x（2 x+160）3000，2 x2+160x30000，x280 x+15000，（ x50） （ x30）0，x50 或 30，当 x50 时， y 60，不符合题意，舍去，当 x30 时， y 10088，符合题意，答：报名旅游的人数是 30人；（3） w xy x（2 x+
21、160）2 x2+160x2（ x280 x+16001600）2（ x40） 2+3200，20， x40， w随 x的增大而增大， x36 时， w有最大值为：2（3640） 2+32003168，当一个团队有 36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元8解：（1）抛物线 y ax2+3x+c经过 A（1，0） ， B（4，0） ，把 A、 B两点坐标代入上式，解得： a1， c4，故：抛物线 y x2+3x+4；（2）将 x0 代入抛物线的解析式得： y4， C（0，4） ，把将 B（4，0） ， C（0，4）代入抛物线方程，解得：直线 BC的解析式为： y x+4
22、过点 P作 x的垂线 PQ，如图所示：点 P的横坐标为 t， P（ t， t2+3t+4） ， Q（ t， t+4） PQ t2+3t+4（ t+4） t2+4t m t2+4t（ t2） 2+4（0 t4） 当 t2 时， m的最大值为 4；（3）存在如图所示：当 EC BE时， E在原点 O，此时点 E（0，0） ，当 BC CE时， E在点 B关于 y轴对称点，此时点 E（4，0） ，当 BC BE时， BE4 ，此时 E（44 ，0）即： E（4.0）或（0，0）或（44 ，0） 9解：（1）由题意， x1 时， y20；x2 时， y20+4060，分别代入 y ax2+bx得解得：
23、 y10 x2+10x；（2）设总利润为 W元，则： W330 x100010 x210 x，则 W10 x2+320x100010（ x16） 2+1560，由于当 1 x16 时， W 随的增大而增大，且当 x1、2、3 时， W的值均小于0， x4 时， W1012 2+15601200，即投产 后该企业在第四年就能收回投资10解：（1）设 y与 x的关系式为 y kx+b，把（22，36）与（24，32）代入，得： ，解得： ，则 y2 x+80；（2）由题意可得：w（ x20） （2 x+80）2 x2+120x16002（ x30） 2+200，此时当 x30 时， w最大，即当
24、x30 时， w 最大 2（3030） 2+200200（元） ，答：该纪念册销售单价定为 3 0元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 200元11解：（1）根据题意得， y200+（80 x）2020 x+1800，所以销售量 y件与销售单价 x元之间的函数关系式为y20 x+1800（60 x80） ；（2） w（ x60） y（ x60） （20 x+1800）20 x2+3000x108000，所以销售该品牌童装获得的利润 w元与销售单价 x元之间的函数关系式w20 x2+3000x108000；（3）根据题意得 76 x80，w20 x2+3000x108000 的
25、对称轴为 x 75， a200，抛物线开口向下，当 76 x80 时， w随 x的增大而减小， x76 时， w有最大值，最大值（7660） （2076+1800）4480（元）所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480元12解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（ x30）元，那么 m件的销售利润为 y m（ x30） ，又 m1623 x， y（ x30） （1623 x） ，即 y3 x2+252x4860， x300， x30又 m0，1623 x0，即 x5430 x54所求关系式为 y3 x2+252x4860（30 x54） （2）由（1）得 y3 x2+252x4860
26、3（ x42） 2+432，所以可得售价定为 42元时获得的利润最大，最大销售利润是 432元500432，商场每天销售这种商品的销售利润不能达到 500元13解：（1）点 B的坐标为（1，0） ， OC3 OB，点 C的坐标为（0，3）或（0，3） ，将点 B（1，0） 、 C（0，3）或（0，3）代入 y ax2+2ax+c，或 ，解得： 或 ，抛物线的解析式为 y x22 x+3或 y x2+2x3（2）过点 D作 DE x轴，交 AC于点 E，如图所示 a1，抛物线的解析式为 y x2+2x 3，点 C的坐标为（0，3） 当 y0 时，有 x2+2x30，解得： x13， x21，点
27、A的坐标为（3，0） ，利用待定系数法可求出线段 AC所在直线的解析式为 y x3点 D的横坐标为 m，点 D的坐标为（ m， m2+2m3） ，点 E的坐标为（ m， m3） ， DE m3（ m2+2m3） m23 m， S DE|30| （ m2+3m） （3 m0） 0，且 S （ m2+3m） （ m+ ） 2+ ，当 m 时， S取最大值，最大值为 14解：（1）连接 OP交圆于点 Q，由题意得： OQ为点 O（0，0）到 P的距离，点 P（3，4）则 OP5，则 PQ523，故答案是 3；（2）如下图所示，设：直线为 l的方程为： y x+4，直线与 x轴、 y轴交点的坐标分别为
28、（3，0） 、 （0，4） ，tan M AM ，过点 M作 M M直线 l，则 M M为 M到直线 l的距离，M M MAsin M AM6 ，由题意得：当 N在直线 l下方时，N N2， BN ，则 a4 ，当 N在直线 l上方时， a则 a4+ ，即 a 或 ；（3）当 G在原点下方时， b3，当 G在原点上方时， ，整理得： x4+（12 b） x2+b290，（12 b） 24（ b29）0，解得： b ，故 b3 或 15解：（1）当 10 x50 时，设 y与 x的函数关系式为 y kx+b，得 ，当 10 x50 时， y与 x的函数关系式为 y0.5 x+105，当 x50
29、时， y80，即 y与 x的函数关系式为： y ；（2）由题意可得，w（0.5 x+10565） x0.5 x2+40x0.5（ x40） 2+800，当 x40 时， w取得最大值，此时 w800， y0.540+10585，答：批发该种服装 40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是 800元16解：（1）将 A（1，0） ， B（3，0） ， C（0，3）代入 y ax2+bx+c，得：， 解得： ，二次函数的表达式为 y x2+2x+3 y x2+2x+3（ x1） 2+4，二次函数图象的顶点坐标为（1，4） （2）设直线 BC的表达式为 y mx+n（ m0） ，将 B（3，0） ，
30、C（0，3）代入 y mx+n，得：，解得： ，直线 BC的表达式为 y x+3点 P的横坐标为 t（0 t3） ，点 P的坐标为（ t， t2+2t+3） ，点 M的坐标为（ t， t+3） ， PM t2+2t+3（ t+3） t2+3t（ t ） 2+ ，线段 PM的最大值为 点 P的坐标为（ t， t2+2t+3） ，点 M的坐标为（ t， t+3） ，点 H的坐标为（ t，0） ， PM t2+2t+3（ t+3） t2+3t， MH t+3 PBM和 MHB等高， S PBM： S MHB1：2， MH2 PM，即 t+32 t2+6t，解得： t1 ， t23（不合题意，舍去）
31、，当 S PBM： S MHB1：2 时， t的值为 点 P的坐标为（ t， t2+2t+3） ，点 M的坐标为（ t， t+3） ，点 C的坐标为（0，3） ， PM t2+2t+3（ t+3） t2+3t， CM t， PC t 当 PM PC时，有 t2+3t t ，0 t3，原方程可整理为：2 t40，解得： t2，点 P的坐标为（2，3） ；当 PM CM时，有 t2+3t t，解得： t10（舍去） ， t23 ，点 P的坐标为（3 ，2+4 ） ；当 CM PC时，有 t t ，0 t3，原方程可整理为： t24 t+30，解得： t11， t23（舍去） ，点 P的坐标为（1，4） 综上所述：当 PCM是等腰三角形时，点 P的坐标为（2，3）或（3 ，2+4 ）或（1，4）
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