江西省宜丰重点中学2019届高三12月大联考数学（理）试卷（三）及答案

1、书书书【届高三数学（理）试题第 页（共页）】大 联 考 试 卷数学（理）（试卷总分分 考试时间分钟）题号第卷第卷总分合分人复分人得分第卷（选择题 共分）得分评卷人一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） 已知复数，则在复平面上对应的点在（ ）第一象限第二象限第三象限第四象限G21 G22 G23G24 G21 G22 G23G25 G26 G24G24 G24 G22 G25G27 G28 G24G29 G22 G24 G24 G26 G25G2A G2B G24 G24 G27 G25国庆节期间，滕州市实

2、验小学举行了一次科普知识竞赛活动，设置了一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及纪念奖，获奖人数的分配情况如图所示，各个奖品的单价分别为：一等奖元、二等奖元、三等奖元，四等奖元，纪念奖元，则以下说法中不正确獉獉獉的是（ ）获纪念奖的人数最多各个奖项中二等奖的总费用最高购买奖品的费用平均数为元购买奖品的费用中位数为元若“或”成立的充分条件是“瓙”，则下列推理：“或”瓙；瓙；瓙（或）；瓙且瓙其中正确的个数是（ ）已知数列为等比数列，且是与的等差中项，则首项（ ）已知双曲线（，）的左、右顶点为，点为双曲线上异于，的任意一点，设直线，的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）槡槡设，且，定义函数如下：（），（

3、是偶数），（是奇数），则（）（）（ ）G21G22G21G22G21 G22 G23 G24 G22 G25G26 G22 G25如图，是某几何体的三视图，该几何体的轴截面的面积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）G21 G22G23G24G25G26如图，在平行四边形中，分别是，上的一点，且，则（ ）开始G21 G21 G22G22 G21 G22G23 G24 G25G26G22 G21 G27 G28G22 G23 G22 G29 G22G22 G23 G22 G29 G21G21 G23 G21 G29 G23 G24 G25G2AG22 G21是偶数G21输出G22结束是是否否执行

4、如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）G21G21G22G21G23G21G24G21G21G22G24 G23如图，在长方体中，对角线与平面，的夹角分别为，且槡，槡，则长方体的全面积为（ ）【届高三数学（理）试题第 页（共页）】已知抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上一点，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为槡，若，则抛物线的方程为（ ）题号答案第卷（非选择题 共分）本卷包括必考题和选考题两部分，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为选考题，考生根据要求作答得分评卷人二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分把答案填在题中横线上已知，满足不等式组，则的取值范围是 在各项都为非负数的数列中，且点

5、（，）（，）在双曲线上，令（），数列的前项和为，则 已知，则二项式（）（）展开式中的常数项为 已知函数（），（），则不等式（）的解集为 得分评卷人三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（分）如图，在平面四边形中，槡，（）若，求的长；（）若，求的值G21 G22G23G24（分）如图，四边形为矩形，为的中点，沿将折起到点的位置，使（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值G21 G22G23G24G25G26【届高三数学（理）试题第 页（共页）】（分）已知椭圆：（）的左、右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，为原点，过右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为，且，椭圆的离心

6、率为（）求椭圆的方程；（）设是圆上任一点，由引椭圆两条切线，切点分别为，求证：（分）滕州市公交公司一切为了市民着想，为方便市区学生的上下学，专门开通了学生公交专线，在学生上学、放学的时间段运行，为了更好地掌握发车间隔时间，公司工作人员对滕州二中车站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究，现得到如下数据：间隔时间（分钟）侯车人数（人）调查小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的组数据进行检验；（）从中任选组数据，设为候车时间不超过分钟的数据组的个数，求随机变量的分布列；（）若选取的是前两组数据，请根据后四组数据，求出关于的线性回归方程)；（

7、）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人，则称为最佳回归方程，在（）中求出的回归方程是否是最佳回归方程？若规定一辆公交车的载客人数不超过人，则间隔时间设置为分钟，是否合适？参考公式：，)（）（）（），)【届高三数学（理）试题第 页（共页）】（分）已知函数（），（），（）若函数（）（）在（，上单调递增，求实数的取值范围；（）当时，令（）（）（），是否存在实数（，），使曲线（）在点（，（）处的切线与曲线（）的一条切线垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由请考生在第、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分（分）【选修 坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直

8、线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（）若直线与圆相切，求的值；（）直线与圆相交于不同两点，线段的中点为，求点的轨迹的参数方程（分）【选修 不等式选讲】已知不等式，（）当，时，解不等式；（）当时，不等式对所有实数，都成立，求实数的取值范围你选做的题目是 题（填、）答案：书书书 数学（理） 金学导航大联考金学导航大联考数学（理）参考答案（解析：，集合有个元素，其子集有个，故选）（解析：，（）（槡），则在复平面上对应的点在第四象限，故选）（解析：设参加竞赛的人数为人，由扇形统计图可知，一等奖占，二等奖占，三等奖占，四等奖占，获得纪念奖的人数占，

9、最多，正确；各奖项的费用：一等奖，二等奖，三等奖，四等奖，纪念奖，错误；平均费用为元，正确；由各个获奖的人数的比例知，购买奖品的费用的中位数为元，正确，故选）（解析：由已知得，瓙或，它的逆否命题为真，不正确的序号是，故选）（解析：设数列的公比为，是与的等差中项，即，解得，则（），故选）（解析：由题设知，（，），（，），设（，），则，（，）点在双曲线上，（），则（），化简得，又，则槡，故选）（解析：由题意知，（）（）（）（）（）（），故选）（解析：由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底半径为，下底半径为，设圆台的高为，则轴截面的面积为（），设圆台的外接球的半径为，则由题意得，槡槡，解得，（或

10、槡槡，此时无解），外接球的表面积为：，故选）（解析：四边形是平行四边形，且，又，则，故选）（解析：由程序框图知，否，是，是，否，是，否，输出，故选）（解析：连结，由长方体的性质知，槡槡，则，（），即全，全，故选）G21G22G23G24G25G26G27G28（解析：设圆与轴切于点，直线与圆交于，两点，如图所示，设（，），则，槡，（槡）（），解得，由抛物线的定义知，即，抛物线的方程为，故选） 数学（理） 金学导航大联考G21G22G23G21 G24 G22 G21 G22G22 G21 G23 G21G25 G21 G24 G22 G23 G23G26G21 G25 G24 G22 G24

11、G24，（解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，的最大值即为直线的斜率，最小值为直线的斜率，故取值范围是，）（解析：点（，）（，）在双曲线上，又，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则（），又，槡，则槡槡槡槡槡槡，槡槡槡槡槡）（解析：，（）（）（槡槡），其通项为（槡）（槡）（），令，则，展开式的常数项为（）G21G22G23G24G22 G21 G22 G23 G21 G24 G25G25G22 G21 G26 G21 G24（，）（解析：（），（），（），则（），（）在上单调递减，又（），不等式（）即为（）（），则（），即，由函数和的图象知，当时，不等式成立，故不等式（）的解集为（，

12、）解：（）槡，（槡），（分）G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21，由余弦定理得，则，槡槡；（分）G21 G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）由（）知，由正弦定理得，（分）G21 G21 G21，则（）槡槡槡（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21（）证明：如图，取的中点，的中点，连结，则，又，平面，则，（分）G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G2

13、1 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21为的中点，则，是平面的相交直线，平面，又平面，平面平面；（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）解：在平面内，过点作，则以为原点，以，分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，G21G22G23 G24G25G26G27G28G29G2AG2B 数学（理） 金学导航大联考由题设知，（，），（，槡），（，），（，），（，槡），（，槡），（分）G21 G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21设平面的法向量为（，

14、），由（，）（，槡）（，）（，槡）得，槡槡，取槡，则，平面的一个法向量为（，槡），（分）G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21设直线与平面所成角为，（，槡），槡槡槡，即直线与平面所成角的正弦值为槡（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）解：延长交直线于点，由题设知，且为的中点，（）（），（分）G21 G21 G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21

15、 G21 G21 G21 G21 G21又，则槡，故椭圆的方程为；（分）G21 G21 G21 G21 G21（）证明：当两条切线中的一条的斜率不存在时，不妨设点在第一象限且轴，则点为椭圆的右顶点，（，），点在圆上，（，槡），此时，（，槡）为椭圆的上顶点，；（分）G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21当两条切线的斜率都存在时，设（，），一条切线的斜率为，则过点的切线方程为（），联立（）消去得，（）（）（），直线和椭圆相切，（）（）（），即（），（分）G21 G21 G21则，在圆上，故（分）G

16、21 G21 G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21解：（）由题设知，则（），（），（），（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21随机变量的分布列为：（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）后四组数据是：间隔时间（分钟）侯车人数（人），又，（分）G21 G21 G21)，则)，关于的线性回归方程为)；（分）G21G21 G21 G21 G21 G2

17、1 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）由（）知，当时，)，当时，)，求出的回归方程是最佳回归方程；当时，)，间隔时间设置为分钟合适（分）G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 数学（理） 金学导航大联考解：（）由题设知，（）（），则，函数（）（）在（，上单调递增，在（，上恒成立，即在（，上恒成立，在（，上单调递增，；（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21（）由题设知，（）（），

18、（）（）（）（）（）（）；（分）G21 G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21设（），其定义域为（，），则（）；令（），则，当时，（），（）在（，）上单调递减；当时，（），（）在（，）上单调递增；在（，）上，（）（），即当（，）时，（）；（分）G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21当（，）时，（）（），当且仅当时取等号而对于（），（）（）槡，当且仅当时取得等号（）（），当且仅当，时取等号，故存在，使得结论成立

19、（分）G21 G21 G21 G21 G21解：（）圆的极坐标方程为，的直角坐标方程为，圆心为（，），半径为；直线过点（，），倾斜角为，当时，不合题意，（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21当时，斜率为，则直线的方程为（），即，直线与圆相切，槡，解得，槡，即槡，或；（分）G21 G21 G21（）直线与圆相交于不同两点，由（）知，）（，），设，对应的参数分别为，则，（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21将代入得，则，又点的坐标（，）满足，即，故点的轨迹的参数方程是（为参数，）（，）（分）G21 G21 G21 G21解：（）当，时，不等式为，当时，无解；（分）G21G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21当时，无解；当时，；综上，不等式的解集为；（分）G21 G21 G21（）由柯西不等式得，（）（）（），（），（分）G21则；不等式对所有实数，都成立，或，则或，故实数的取值范围是：（，）（分）G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21