1、 华师大版九年级数学上册期末专题： 第 24 章 解直角三角形 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.在ABC 中， C=90，BC=3，AC=4 ，则 sinA 的值是（ ）A. B. C. D. 34 35 45 432.一个三角形的两边长分别是 3 和 7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 193.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点 A，再在他所在的这一侧选点 B，C，D，使得ABBC，CD BC，然后找出 AD 与 BC 的交点 E如图所示，若测得 BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的
2、宽 AB 等于（ ）A. 120m B. 67.5m C. 40m D. 30m4.等腰三角形的周长为 20cm，腰长为 x cm，底边长为 y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（ ） A. y=20x（0 x 10） B. y=20x（10 x20）C. y=202x（10x 20） D. y=202x（5x10 ）5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡 AB 的坡度为 i=1： ， 坝高 BC=6m，则坡面 AB 的长度（ 3）A. 12m B. 18m C. 6 D. 123 36.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的 P 点，测得
3、 A村的俯角为 30，B 村的俯角为 60（如图）则 A，B 两个村庄间的距离是（ ）米A. 300 B. 900 C. 300 D. 300 2 37.如图，小明晚上由路灯 A 下的点 B 处走到点 C 处时，测得自身影子 CD 的长为 1 米，他继续往前走 3 米到达点 E 处（即 CE=3 米），测得自己影子 EF 的长为 2 米，已知小明的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度AB 是（ ）A. 4.5 米 B. 6 米 C. 7.2 米 D. 8 米8.一个三角形的两边长为 2 和 6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 169.如图
4、，斜面 AC 的坡度（CD 与 AD 的比）为 1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点5有一条彩带相连若 AB=10 米，则旗杆 BC 的高度为（ ）A. 5 米 B. 6 米 C. 8 米 D. （3+ ）米510.如图，在ABCD 中，AB AD=32，ADB=60 ，那么 cos的值等于（ ）A. B. C. D. 3-66 3+326 3+66 3+226二、填空题（共 10 题；共 33 分）11.小凡沿着坡角为 30的坡面向下走了 2 米，那么他下降_米 12.已知一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则该等腰三角形的周长是_ 13.如图是一个中心对
5、称图形，A 为对称中心，若C=90， B=30，AC=1 ，则 BB的长为_14.如图, 在直角坐标系中,P 是第二象限的点 ,其坐标是(x,8),且 OP 与 x 轴的负半轴的夹角 的正切值是 ,43则 x=_,cos=_.15.在 RtABC 中， C=90，如果 AC=4，sinB= ， 那么 AB=_ 2316.高 4 m 的旗杆在水平地面上的影子长 6 m，此时测得附近一个建筑物的影长 24 m，则该建筑物的高是_m. 17.tan_ =0.766718.如图： DAE=ADE=15， DEAB，DFAB，若 AE=8，则 DF 等于_19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放
6、，已知 AC=BC= +1，D=60，则两条斜边的交点 E3到直角边 BC 的距离是_20.已知当 x1=a，x 2=b，x 3=c 时，二次函数 y= x2+mx 对应的函数值分别为 y1 ， y2 ， y3 ， 若正整数12a， b，c 恰好是一个三角形的三边长，且当 abc 时，都有 y1y 2y 3 ， 则实数 m 的取值范围是_ 三、解答题（共 8 题；共 57 分）21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛 A 附近沿正东方向航行，船在 B 点时测得钓鱼岛 A 在船的北偏东60方向，船以 50 海里/时的速度继续航行 2 小时后到达 C 点，此时钓鱼岛 A 在船的北偏东 30方向请问船继
7、续航行多少海里与钓鱼岛 A 的距离最近？22.小宇想测量位于池塘两端的 A、B 两点的距离他沿着与直线 AB 平行的道路 EF 行走，当行走到点 C处，测得ACF=45，再向前行走 100 米到点 D 处，测得BDF=60若直线 AB 与 EF 之间的距离为 60 米，求 A、B 两点的距离23.如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 米的点 D（点 D 与楼底 C 在同一水平上）3出发，沿斜面坡度为 i=l： 的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53 ，求3 楼房 AC 的高度（参考数据：sin53 = , cos53 = , t
8、an53 = ， 1.732，结果精确到 0.1 米）45 35 43 324.如图，平台 AB 高为 12m，在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45，底部点 C 的俯角为 30，求楼房 CD 的高度（ =1.7）325.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚 B 点先乘坐缆车到达观景平台 DE 观景，然后再沿着坡脚为 29的斜坡由 E 点步行到达“ 蘑菇石”A 点， “蘑菇石”A 点到水平面 BC 的垂直距离为1890m如图，DEBC，BD=1800m，DBC=80，求斜坡 AE 的长度（结果精确到 0.1m，可参考数据sin290.4848，sin800.9
9、848，cos290.8746，cos800.1736）26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度他们首先从 A 处安置测倾器，测得塔顶 C 的仰角CFE=21，然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处，此时测得仰角 CGE=37，已知测倾器高1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔 CD 的高度（参考数据：sin37 ，tan37 ，sin21 ，tan21 ）35 34 925 3827.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解如图，将矩形 ABCD 的四边 BA、CB、DC、AD 分别延长至 E、F、G、H
10、，使得 AECG，BFDH ，连结EF、FG、 GH、HE（1 ）求证：四边形 EFGH 为平行四边形； （2 ）若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且FEB 45，tanAEH2，求 AE 的长 28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的 B处沿南偏西 60方向前进实施拦截，红方行驶 1000 米到达 C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45方向前进了相同的距离，刚好在 D 处成功拦截蓝方，求拦截点 D 处到公路的距离（结果不取近似值） 答案解析部分一、单选题1.【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【
11、解答】解：在ABC 中，C=90，AC=4，BC=3，AB= =532+42sinA= ，35故答案为：B【分析】先根据勾股定理算出 AB，再根据正切定义得出结论。2.【答案】D 【考点】三角形三边关系 【解析】【解答】设第三边为 a，根据三角形的三边关系，得：7 3a3+7，即 4a10 ，a 为整数，a 的最大值为 9，则三角形的最大周长为 9+3+7=19故答案为：D【分析】三角形的三边关系为：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边.3.【答案】A 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】ABE=DCE, AEB=CED,ABEDCE, .ABCD=BECEBE=90m，EC=45
12、m ，CD=60m， AB=906045 =120(m)故答案为：A.【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得ABE=DCE, AEB=CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得ABEDCE,可得比例式求解。4.【答案】D 【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：2x+y=20 y=202x，即 x10两边之和大于第三边x 5故答案为：D【分析】本题先由等腰三角形周长 20=2x+y，易得 y 与 x 的函数关系式，再利用两腰之和大于底且腰、底必须是正列出 x 的不等式组，通过解不等式组即可确定自变量 x 的取值范围。5.【答案】A 【考点】解直角三角形的应用 【解
13、析】【解答】解：迎水坡 AB 的坡度为 i=1： ， 坝高 BC=6m，3 =BCAC13即 =6AC13解得 AC=6 ， 3AB= = = = =12m，AC2+BC2 (63)2+62 108+36144故选 A【分析】根据迎水坡 AB 的坡度为 i=1： ， 坝高 BC=6m，可以求得 AC 的长度，从而得到 AB 的长度，3本题得以解决6.【答案】D 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】解：A=30，PBC=60，APB=6030，APB=A，AB=PB在 RtBCP 中， C=90，PBC=60，PC=450 米，所以 PB= 450sin60=9003=300
14、3所以 AB=PB=300 3故选 D【分析】过 P 作 AB 的垂线，垂足是 C，根据两个俯角的度数可知ABP 是等腰三角形，AB=BP，在直角PBC 中，根据三角函数就可求得 BP 的长7.【答案】B 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解：MCAB，DCMDAB， ， 即 ，DCDB=MCAB 1.5AB= 1BC+1NEAB，FNEFAB， ， 即 ，NEAB=EFBF 1.5AB= 2BC+3+2 ， 解得 BC=3，1BC+1= 2BC+3+22 解得 AB=6，1.5AB= 11+3即路灯 A 的高度 AB 为 6m故选 B【分析】由 MCAB 可判断DCMDAB，根据相似
15、三角形的性质得 同理可得 然1.5AB= 1BC+1 1.5AB= 2BC+3+2后解关于 AB 和 BC 的方程组即可得到 AB 的长8.【答案】C 【考点】三角形三边关系 【解析】【解答】第三边的取值范围是大于 4 且小于 8，又第三边是偶数，故第三边是 6则该三角形的周长是 14故选：C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解9.【答案】A 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【解答】解：设 CD=x，则 AD=2x，由勾股定理可得，AC= = x，x2+(2x)2 5AC=3 米，5 x=3 ，5 5x=3 米，CD=3 米，AD=23=
16、6 米，在 RtABD 中，BD= =8 米，102-62BC=83=5 米故选 A【分析】设 CD=x，则 AD=2x，根据勾股定理求出 AC 的长，从而求出 CD、AC 的长，然后根据勾股定理求出 BD 的长，即可求出 BC 的长10.【 答案】A 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】设 AD=2x,则 AB=3x,过点 D 作 DEAB 于点 E,过点 A 作 AFDB 于点 F,因为 ADB=60,所以DF=x,AF= x,3在ABF 中，BF= x,根据三角形的面积公式 S= BDAF= ABDE,所以有 DE= x,612 12 6+13在ADE 中，由勾股定理得
17、 AE= x，所以 cosDAB= ,3-63 3-66故选 A.二、填空题11.【 答案】1 【考点】含 30 度角的直角三角形 【解析】【解答】30 的角所对的直角边等于斜边的一半，他下降 2=1 米.12故答案为：1.【分析】利用 30的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.12.【 答案】15 【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：当腰为 3 时，3+3=6，3、3、 6 不能组成三角形；当腰为 6 时，3+6=96，3、6、 6 能组成三角形，该三角形的周长为=3+6+6=15 故答案为：15【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边，
18、再计算等腰三角形的周长即可.13.【 答案】4 【考点】含 30 度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】在 RtABC 中，B=30，AC=1 ，AB=2AC=2，根据中心对称的性质得到 BB=2AB=4.故答案为：4.【分析】先利用直角三角形 30角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求 BB的长。14.【 答案】-6 ； 35【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：(1)过 P 点作 x 轴的垂线段 PA,垂足为 A，在 RtPAO 中，角 的正切值是 , = 43 PAOA,PA=8,OA=6,即 x=-6.( 2 )在 RtOPA 中,PA=8,OA=6,
19、OP=10. cos = = = 43 OAOP61035故答案为：-6；35【分析】以角 为一角构造一个直角三角形，过 P 点作 x 轴的垂线段 PA,根据角 的正切值，求出 OA 的值，即可求出 x 的值；由勾股定理可得 OP 的长度，再根据余弦函数的定义，可得 cos 的值。15.【 答案】6 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：sinB= ， 23AB=6故答案是：6【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解16.【 答案】16 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】 ，建筑物的高建筑物的影子长 = 旗杆高旗杆影长即 ，建筑物的高 20 =45设建筑物的高是 x 米则 x2
20、0=45解得：x=16 故该建筑物的高为 16 米【分析】根据物长：影长可得比例式求解。17.【 答案】37.5【考点】计算器三角函数 【解析】【解答】解：tan 10.766737.5故答案为：37.5【分析】直接利用计算求出答案18.【 答案】4 【考点】角平分线的性质，含 30 度角的直角三角形 【解析】【解答】解：作 DGAC，垂足为 GDEAB，BAD=ADE，DAE=ADE=15，DAE=ADE=BAD=15，DEG=152=30，ED=AE=8，在 RtDEG 中， DG= DE=4，12DF=DG=4故答案为：4【分析】作 DGAC，根据 DEAB 得到 BAD=ADE，再根据
21、DAE=ADE=15得到DAE= ADE=BAD，求出DEG=152=30，再根据 30的角所对的直角边是斜边的一半求出 GD 的长，然后根据角平分线的性质求出 DF19.【 答案】1 【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：过点 E 作 EH 垂直 BC 于 H。CBD=90，D=60，BCD=30，ACE=60，AC=BC= +1，3BD= ，AB= （ +1），3+13 2 3AEC=BED，BDEACE， = ，BDACBEAE = ，3+133+1 BE2(3+1)-BEBE= ，AE= ，2 6ACB=90，BHEBCA， = ，
22、EHACAEAB = ，EH3+1 62(3+1)EH=1，故答案为 1【分析】过点 E 作 EH 垂直 BC 于 H。AC=BC= ，D=60，根据特殊锐角的三角函数值可以求出3+1BD,AB 的长，进而判断出BDEACE，根据相似三角形对应边成比例得出 BE,AE 的长，再判断出BHEBCA，根据对应边成比例得出 EH 的长。20.【 答案】m 52【考点】三角形三边关系，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】方法一： 解： 正整数 a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且 abc，a 最小是 2，y1y 2y 3 ， 2.5，m212解得 m2.5方法二：解：当 ab c 时，都有
23、 y1y 2y 3 ， 即 ，y1 -12(a+b)m -12(b+c)a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，abc，a+bb+c，m （a+b），12a，b，c 为正整数，a，b，c 的最小值分别为 2、3 、4，m （a+b） （2+3）= ，12 12 52m ，52故答案为：m 52【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 a 最小为 2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在 2、3 之间偏向 2，即小于 2.5，然后列出不等式求解即可三、解答题21.【 答案】解：过点 A 作 ADBC 于 D，根据题意得ABC=30，ACD=60 ，BAC=ACDABC=30，CA=
24、CBCB=502=100（海里），CA=100（海里），在直角ADC 中， ACD=60，CD= AC= 100=50（海里）12 12故船继续航行 50 海里与钓鱼岛 A 的距离最近【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】过点 A 作 ADBC 于 D，则垂线段 AD 的长度为与钓鱼岛 A 最近的距离，线段 CD 的长度即为所求先由方位角的定义得出ABC=30， ACD=60，由三角形外角的性质得出 BAC=30，则CA=CB=100 海里，然后解直角 ADC，得出 CD= AC=50 海里1222.【 答案】解：作 AMEF 于点 M，作 BNEF 于点 N，如右图所示，由题
25、意可得，AM=BN=60 米， CD=100 米， ACF=45，BDF=60，CM= =60 米，DN= = AMtan45 BNtan60=603米， AB=CD+DNCM= =（ ）米，即 A、B 两点的距离是（ 203 100+203-60 40+203 40+203）米【考点】解直角三角形 【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可分别求出 CM、DN 的长，由于AB=CN-CM，从而可以求得 AB 的长。23.【 答案】解：如图作 BNCD 于 N，BMAC 于 M在 RtBDN 中，BD=30，BN：ND=1： ，3BN=15，DN=15 ，3C=CMB=CNB
26、=90，四边形 CMBN 是矩形，CM=BN=15，BM=CN=60 -15 =45 ，3 3 3在 RtABM 中，tan ABM=AMBM=43，AM=60 ，3AC=AM+CM=15+60 118.9 米3【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】要求楼房 AC 的高度，需将 AC 放在直角三角形中即可求解。由题意可作辅助线，作BNCD 于 N， BMAC 于 M，结合已知条件可得四边形 CMBN 是矩形，由矩形的性质可得CM=BN，BM=CN；解直角三角形 ABM 可求得 AM 的长，则 AC=AM+CM 可求解。24.【 答案】【解答】解：如图，过点 B 作 BECD
27、于点 E，根据题意，DBE=45，CBE=30ABAC，CDAC ，四边形 ABEC 为矩形CE=AB=12m在 RtCBE 中，cot CBE= ，BECEBE=CEcot30=12 =12 3 3在 RtBDE 中，由DBE=45，得 DE=BE=12 3CD=CE+DE=12（ +1）32.43答：楼房 CD 的高度约为 32.4m【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解25.【 答案】解：如图，过点 D 作 DFBC 于点 F，延长 DE 交 AC 于点 M，由题意可得：EM AC，
28、DF=MC，AEM=29 ，在 RtDFB 中，sin80= ，则 DF=BDsin80，DFBDAM=ACCM=18901800sin80，在 RtAME 中，sin29= ，AMAE故 AE= = 242.1（m），AMsin291890-1800sin80sin29答：斜坡 AE 的长度约为 242.1m【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【分析】首先过点 D 作 DFBC 于点 F，延长 DE 交 AC 于点 M，进而表示出 DF、AM 的长，再利用 AE= ，求出答案AMsin2926.【 答案】解：由题意知 CDAD，EF ADCEF=90设 CE=x，在 RtCEF
29、中，tanCFE= ，CEEF则 EF= xCEtan CFE= xtan21=83在 RtCEG 中，tanCGE= ，CEGE则 GE= CEtan CGE= xtan37=43xEF=FG+EG， x，83x=50+43x=37.5CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）答：古塔的高度约是 39 米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及到两个直角三角形CEF 、CGE，利用其公共边 CE 构造等量关系，借助 FG=EFGE=50，构造方程关系式求解27.【 答案】（1）证明：在矩形 ABCD 中，AD=BC， BAD=
30、BCD=90.又BF=DH,AD+DH=BC+BF即 AH=CF.在 RtAEH 中，EH= .AE2+AH2在 RtCFG 中，FG= .CG2+CF2AE=CG，EH=FG.同理得，EF=HG.四边形 EFGH 为平行四边形.（2 ）解：在正方形 ABCD 中， AB=AD=1.设 AE=x，则 BE=x+1.在 RtBEF 中，BEF=45.BE=BF.BF=DH,DH=BE=x+1.AH=AD+DH=x+2.在 RtAEH 中，tan AEH=2，AH=2AE.2+x=2x.x=2.即 AE=2. 【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形 【解析】
31、【分析】（1）在矩形 ABCD 中，AD=BC，BAD=BCD=90.根据 BF=DH,得出 AH=CF.根据勾股定理 EH= .FG= .AE2+AH2 CG2+CF2由 AE=CG 得出 EH=FG.EF=HG；从而证明四边形 EFGH 为平行四边形.（2 ）在正方形 ABCD 中，AB=AD=1； 设 AE=x，则 BE=x+1；在 RtBEF 中，BEF=45.得出BE=BF=DH=x+1；AH=AD+DH=x+2.在 RtAEH 中，利用正切即可求出 AE 的长.28.【 答案】解：如图，过 B 作 AB 的垂线，过 C 作 AB 的平行线，两线交于点 E；过 C 作 AB 的垂线，
32、过D 作 AB 的平行线，两线交于点 F ， 则E= F=90，拦截点 D 处到公路的距离 DA=BE+CF 在 RtBCE 中，E=90，CBE=60，BCE=30，BE= BC= 1000=500 米；在 RtCDF 中， F=90， DCF=45，CD=AB=1000 米，CF= CD=500 米，DA=BE+CF=（500+500 ）米，故拦截点 D 处到公路的距离是（ 500+500 ）米 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】过 B 作 AB 的垂线，过 C 作 AB 的平行线，两线交于点 E；过 C 作 AB 的垂线，过 D 作 AB 的平行线，两线交于点 F ， 则E=F=90，拦截点 D 处到公路的距离 DA=BE+CF 解 RtBCE ， 求出 BE= BC= 1000=500 米；解 RtCDF ， 求出 CF= CD=500 米，则 DA=BE+CF=（500+500 ）米
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