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    人教版高中数学必修五:2.4等比数列(一)同步练习(含答案)

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    人教版高中数学必修五:2.4等比数列(一)同步练习(含答案)

    1、2.4 等比数列(一)课时目标1理解等比数列的定义,能够利用定义判断一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式并能简单应用3掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决有关问题1如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q0) 2等比数列的通项公式:a na 1qn1 .3等比中项的定义如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 ,且 G .ab一、选择题1在等比数列a n中,a n0,且 a21a 1,a 49a 3,则 a4a 5 的值为( )A16 B27

    2、C36 D81答案 B解析 由已知 a1a 21,a 3a 49,q 29.q 3(q3 舍),a 4a 5(a 3a 4)q27.2已知等比数列a n满足 a1a 23,a 2a 36,则 a7 等于 ( )A64 B81 C 128 D243答案 A解析 a n为等比数列, q2.a2 a3a1 a2又 a1a 23,a 11.故 a7 12664.3已知等比数列a n中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 等于( )12 a9 a10a7 a8A1 B12 2C32 D322 2答案 C解析 设等比数列a n的公比为 q,a1, a3,2a2 成等差数列,12a3 a

    3、12a 2,a1q2a 12a 1q,q2 2q10,q 1 .2an0,q0,q1 .2 q 2(1 )232 .a9 a10a7 a8 2 24如果1,a,b,c,9 成等比数列,那么( )Ab3,ac9 Bb3,ac9Cb3,ac 9 Db3,ac9答案 B解析 b 2(1)(9) 9 且 b 与首项1 同号,b3,且 a,c 必同号ac b29.5一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为( )A. B. C. D.53 43 32 12答案 A解析 设这个数为 x,则(50 x) 2(20 x )(100x),解得 x25,这三个数 45,75,125,公

    4、比 q 为 .7545 536若正项等比数列a n的公比 q1,且 a3,a 5,a 6 成等差数列,则 等于( )a3 a5a4 a6A. B.5 12 5 12C. D不确定12答案 A解析 a 3a 62a 5,a 1q2 a1q52a 1q4,q3 2q210,(q1)(q 2q1)0 ( q1),q2 q10,q (q 1 的等比数列,若 a4,a 5 是方程 4x28x30 的两根,则a6a 7_.答案 18解析 由题意得 a4 ,a 5 ,q 3.12 32 a5a4a6 a7(a 4a 5)q2( )3218.12 329首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48,第 2n3

    5、项是 192,则 n_.答案 5解析 设公比为 q,则Error! Error!q 24,得 q2.由(2) n1 16,得 n5.10一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是_答案 5 12解析 设三边为 a,aq,aq 2 (q1),则(aq 2)2(aq) 2a 2,q 2 .5 12较小锐角记为 ,则 sin .1q2 5 12三、解答题11已知a n为等比数列,a 32,a 2a 4 ,求a n的通项公式203解 设等比数列a n的公比为 q,则 q0.a2 ,a 4a 3q2q,a3q 2q 2q .2q 203解得 q1 ,q 23.13当 q 时,a 118,13a

    6、n 18 n 123 3n .(13)当 q3 时,a 1 ,29an 3n1 23 n3 .29综上,当 q 时,a n23 3n ;13当 q3 时,a n23 n3 .12已知数列a n的前 n 项和为 Sn,S n (an1) (nN *)13(1)求 a1,a 2;(2)求证:数列 an是等比数列(1)解 由 S1 (a11),得 a1 (a11) ,13 13a1 .又 S2 (a21),12 13即 a1a 2 (a21),得 a2 .13 14(2)证明 当 n2 时,a nS nS n1 (an1) (an1 1),13 13得 ,又 ,anan 1 12 a2a1 12所以

    7、a n是首项为 ,公比为 的等比数列12 12能力提升13设a n是公比为 q 的等比数列,|q|1 ,令 bna n1(n1,2,),若数列 bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中,则 6q_.答案 9解析 由题意知等比数列a n有连续四项在集合54,24,18,36,81中,由等比数列的定义知,四项是两个正数、两个负数,故24,36,54,81,符合题意,则 q ,6q9.3214已知数列a n满足 a11,a n1 2a n1,(1)求证:数列a n1是等比数列;(2)求 an的表达式(1)证明 a n1 2a n1,an 112(a n1), 2.an 1 1an 1an1是等比数列,公比为 2,首项为 2.(2)解 由(1)知a n1是等比数列公比为 2,首项 a112.an 1(a 11)2 n1 2 n.an 2n1.1等比数列的判断或证明(1)利用定义: q (与 n 无关的常数)an 1an(2)利用等比中项:a a nan2 (nN*)2n 12等比数列 an的通项公式 an a1qn1 共涉及 an, a1, q, n 四个量已知其中三个量可求得第四个


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