1、第二章 章末检测 （A）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1a n是首项为 1，公差为 3 的等差数列，如果 an2 011 ，则序号 n 等于( )A667 B668 C669 D671答案 D解析 由 2 01113(n1)解得 n671.2已知等差数列a n中，a 7a 916，a 41，则 a12 的值是 ( )A15 B30 C 31 D64答案 A解析 在等差数列a n中，a 7a 9a 4a 12，a1216115.3等比数列a n中，a 29，a 5243，则a n的前 4 项和为( )A81 B120 C168 D192答案 B解析 由 a5a
2、2q3 得 q3.a1 3，a2qS4 120.a11 q41 q 31 341 34等差数列a n中，a 1a 2a 324，a 18a 19a 2078 ，则此数列前 20 项和等于( )A160 B180 C200 D220答案 B解析 (a 1a 2a 3)(a 18a 19a 20)(a 1a 20)(a 2a 19)(a 3a 18)3(a 1a 20)247854，a1 a2018.S20 180.20a1 a2025数列a n中，a n3n7 (nN )，数列 bn满足 b1 ，b n1 27b n(n2 且 nN )，13若 anlog kbn为常数，则满足条件的 k 值(
3、)A唯一存在，且为 B唯一存在，且为 3 13C存在且不唯一 D不一定存在答案 B解析 依题意，bnb 1 n1 3n3 3n2 ，(127) 13(13) (13)an logkbn3n7log k 3n2(13)3n7(3n2)log k13 n72log k ，(3 3logk13) 13an logkbn是常数，33log k 0，13即 logk31，k3.6等比数列a n中，a 2，a 6 是方程 x234x 640 的两根，则 a4 等于( )A8 B8 C 8 D以上都不对答案 A解析 a 2a 634，a 2a664，a 64，24a20，a 60，a 4a 2q20， a4
4、8.7若a n是等比数列，其公比是 q，且a 5，a 4，a 6 成等差数列，则 q 等于( )A1 或 2 B1 或2 C1 或 2 D1 或2答案 C解析 依题意有 2a4a 6a 5，即 2a4a 4q2a 4q，而 a40，q2 q20，(q2)(q1) 0.q1 或 q2.8设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10S 512，则 S15S 5 等于( )A34 B23 C12 D13答案 A解析 显然等比数列a n的公比 q1，则由 1q 5 q 5 ，S10S5 1 q101 q5 12 12故 .S15S5 1 q151 q5 1 q531 q51 ( 12)31 (
5、12) 349已知等差数列a n的公差 d0 且 a1，a 3，a 9 成等比数列，则 等于( )a1 a3 a9a2 a4 a10A. B. C. D.1514 1213 1316 1516答案 C解析 因为 a a 1a9，所以 (a12d) 2a 1(a18d) 所以 a1d.23所以 .a1 a3 a9a2 a4 a10 3a1 10d3a1 13d 131610已知a n为等差数列，a 1a 3a 5105，a 2a 4a 6 99，以 Sn表示a n的前 n 项和，则使得 Sn达到最大值的 n 是( )A21 B20 C 19 D18答案 B解析 (a 2a 1)( a4a 3)(
6、a 6a 5)3d，991053d.d2.又a 1a 3a 53a 16d105，a 139.S nna 1 dn 240n( n20) 2400.nn 12当 n20 时，S n有最大值11设a n是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为X，Y， Z，则下列等式中恒成立的是( )AXZ2Y BY (YX) Z(Z X ) CY 2 XZ DY( YX)X(Z X)答案 D解析 由题意知 SnX，S 2nY，S 3nZ.又 an是等比数列，Sn， S2nS n，S 3nS 2n为等比数列，即 X，Y X ，Z Y 为等比数列，(YX )2X(ZY)，即 Y22XY
7、 X 2ZXXY，Y2 XYZXX 2，即 Y(Y X)X(Z X)12已知数列 1，则 是数列中的( )122113223114233241 56A第 48 项 B第 49 项C第 50 项 D第 51 项答案 C解析 将数列分为第 1 组一个，第 2 组二个，第 n 组 n 个，即 ， ， ， ，(11) (12，21) (13，22，31) (1n，2n 1，n1)则第 n 组中每个数分子分母的和为 n1，则 为第 10 组中的第 5 个，其项数为56(12 39)550.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13. 1 与 1 的等比中项是_2 2答案 114已
8、知在等差数列a n中，首项为 23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为_答案 4解析 由Error!，解得 d1，a 99a100 10， 1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是_(填写所有正确的序号)答案 解析 中，Error!Error!q (0,1)， 正确a100a99中，Error! a 99a1011，T199a 1a2a198a199(a 1a199)(a99a101)a100a1991001， 正确三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分)17(12 分) 已知 an为等差数列，且 a36，a 60.(1)求a n的通项公式；(2)若等比数列b n满
9、足 b18，b 2a 1a 2a 3，求 bn的前 n 项和公式解 (1)设等差数列a n的公差为 d.因为 a36，a 60，所以Error!解得 a110，d2.所以 an10(n1)22n12.(2)设等比数列b n的公比为 q.因为 b2a 1a 2a 324，b 18，所以8q24，q3.所以数列b n的前 n 项和公式为Sn 4(13 n)b11 qn1 q18(12 分) 已知等差数列 an中，a 3a716，a 4a 60，求a n的前 n 项和 Sn.解 设a n的公差为 d，则Error!即Error!解得Error! 或Error!因此 Sn8nn(n1)n( n9) ，
10、或 Sn8nn(n1)n( n9) 19(12 分) 已知数列log 2(an1) ( nN *)为等差数列，且 a13，a 39.(1)求数列a n的通项公式；(2)证明： 1.1a2 a1 1a3 a2 1an 1 an(1)解 设等差数列log 2(an 1)的公差为 d.由 a13，a 39，得 log2(91) log2(31)2 d，则 d1.所以 log2(an1)1( n1)1n，即 an2 n1.(2)证明 因为 ，1an 1 an 12n 1 2n 12n所以 1a2 a1 1a3 a2 1an 1 an 121 122 123 12n 1 1.12 12n121 12 1
11、2n20(12 分) 在数列 an中，a 11，a n1 2a n2 n.(1)设 bn .证明：数列 bn是等差数列；an2n 1(2)求数列a n的前 n 项和(1)证明 由已知 an1 2a n2 n，得 bn1 1b n1.an 12n 2an 2n2n an2n 1bn 1b n1，又 b1a 11.bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)解 由(1)知，b nn， b nn.a nn2 n1 .an2n 1Sn 122 132 2n2 n1两边乘以 2 得：2S n12 122 2(n1)2 n1 n2 n，两式相减得：S n12 12 22 n1 n2 n2 n1n2 n(
12、1n)2 n1，Sn (n1)2 n1.21(12 分) 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a11，a n1 Sn(n1,2,3，) 12(1)求数列a n的通项公式；(2)当 bnlog (3an1 )时，求证：数列 的前 n 项和 Tn .32 1bnbn 1 n1 n(1)解 由已知Error! (n2)，得 an1 an(n2)32数列 an是以 a2 为首项，以 为公比的等比数列32又 a2 S1 a1 ，12 12 12an a2( )n 2(n2) 32an Error!(2)证明 b nlog (3an1 )log ( )n1 n.32 3232 32 .1bnbn 1
13、 1n1 n 1n 11 nTn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1( )( )( )( )11 12 12 13 13 14 1n 11 n1 .11 n n1 n22(14 分) 已知数列 an的各项均为正数，对任意 nN *，它的前 n 项和 Sn满足Sn (an1)(a n2)，并且 a2，a 4，a 9 成等比数列16(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn(1) n1 anan1 ，T n为数列 bn的前 n 项和，求 T2n.解 (1)对任意 nN*，有 Sn (an1)(a n2)， 16当 n1 时，有 S1a 1 (a11)(a 12) ，16解得 a1
14、1 或 2.当 n2 时，有 Sn1 (an1 1)( an1 2) 16并整理得(a na n1 )(ana n1 3)0.而数列a n的各项均为正数， ana n1 3.当 a11 时，a n13(n1)3n2，此时 a a 2a9 成立；24当 a12 时，a n23(n1)3n1，此时 a a 2a9 不成立，舍去24an 3n2，nN *.(2)T2nb 1b 2b 2na 1a2a 2a3a 3a4a 4a5a 2na2n1a 2(a1a 3)a 4(a3a 5)a 2n(a2n1 a 2n1 )6a 26a 46a 2n6(a 2a 4a 2n)6 18 n26 n.n4 6n 22
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