1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1双曲线 的左焦点坐标为21xyA B C D (,0)(2,0)(1,0)(4,0)2.已知向量 满足 ， 且 ，则 的夹角大小为ab=(t)， ，2,0babbA B C D6435123.已知等差数列 满足 ，公差 ，且 成等比数列，则na10d125, =dA 0 B C D224.直线 被圆
2、截得的弦长为 2，则 的值为+1ykxykA B C D6435.已正六边形的 6 个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A6 B7 C8 D126.已知函数 ，则“ ”是“函数 在区间 上存在零点”的()=lnafx0()fx(1,)A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7.已知函数 ， 是 的导函数，则下列结论中错误的是()sincofxx()gfxA.函数 的值域与 的值域相同()B.若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点0f0()C.把函数 的图像向右平移 个单位，就可以得到函数 的图像()fx2()gxD.函数 和 在区
3、间 上都是增函数()fg(,4)8.已知集合 .若 ，且对任意的 ，,)150,AsttsNtBA(,)abB，均有 ，则集合 B 中元素个数的最大值为(,)xyB()0axbyA25 B49 C75 D99二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9.以抛物线 的焦点 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .24yxF10.执行如下图所示的程序框图，当输入的 M 值为 15，n 值为 4 时，输出的 S 值为 .11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于 的不等式组 表示的平面区域为 ，若点 A（1，-2 ），B （3,0），,
4、xy,42,yxkC（2，-3）中有且仅有两个点在 内，则 的最大值为 .k13.在ABC 中， ，且 ，则 .3bacosABcos14.正方体 的棱长为 1，动点 M 在线段 CC1 上，动点 P 在平面 上，且1ABDC 1ABCD平面 .PM（）当点 M 与点 C 重合时，线段 AP 的长度为 ；（）线段 AP 长度的最小值为 .三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分 13 分）已知函数 ()s()cos2fxacx（）比较 和 的大小；6ff（）求函数 在区间 的最小值.()fx,216（本小题满分 13 分）为迎接 2022 年冬
5、奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在X85X参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（）从图中考核成绩满足 的学生中任取 3 人，设 表示这 3 人重成绩满足70,9XY的人数，求 的分布列和数学期望； 8510Y（）根据以往培训数据，规定当 时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学85(1)0P生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.17（本小题满分 14 分）在四棱锥
6、 中，平面 平面 ，底面 为梯形，PABCDABCDABC，/且 01,2,1P（）求证： ；平 面（）求二面角 B-PD-C 的余弦值；（）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC 上任意一点 F， MF 与 PC都不平行.18（本小题满分 14 分）椭圆 的左焦点为 F，过点 的直线 与椭圆交于不同两点 A,B21xy(2,0)Ml（）求椭圆的离心率； （）若点 B 关于 轴的对称点为 B，求 的取值范围.AB19. （本小题满分 14 分）已知函数 2()xafe（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1()yf(1,)f（）当 时，求证： 对任意 成立.0e0x20（本小题满分
7、13 分）设 n 为不小于 3 的正整数，集合 ，对于集合 中12(,.)0,1,2.nnixinn的任意元素 ，12(,.)nx12,.y记 1(.)nnyxy（）当 时，若 ，请写出满足 的所有元素,03（）设 且 ，求 的最大值和最小值；n， +（）设 S 是 的子集，且满足：对于 S 中的任意两个不同元素 ，有 成， 1n立，求集合 S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 3
8、0 分.9. 10. 11. 12. 13. 14.2(1)4xy23， 0326，三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15解：（）因为 1(),2af()12fa所以 13()()62af因为 ，所以 ，所以0a30()6ff（）因为 ()sincofxx2(1si)a2sinx设 ，所以sin,tx,t所以 21yta其对称轴为 4当 ，即 时，在 时函数取得最小值1ta1t1a当 ，即 时，在 时函数取得最小值404a2816.解：（）设该名学生考核成绩优秀为事件 A由茎叶图中的数据可以知道， 名同学中，有 名同学考核优秀307所以所求概率 约为()PA7（） 的所有可能取值
9、为Y0,123因为成绩 的学生共有 人，其中满足 的学生有 人7,8X8|75|10X5所以 ，381(0)56CPY21358()6CPY，12358() 35810()随机变量 的分布列为Y0123P15656305610561301()02568EY（）根据表格中的数据，满足 的成绩有 个510X6所以 85681.503XP所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17解：（）在平面 中过点 作 ，交 于PCDHDCPH因为平面 平面AB平面DH平面 平面IP所以 平面ABCD因为 平面所以 H又 ，且APHI所以 平面ADPC（）因为 平面 ，所以DAC又 ，H以 为原点， 所在直线分别为
10、轴，建立空间直角坐标系H， ， ,xyz所以 ，(,)(,)(,),()()DAPB02013201因为 平面 ，所以取平面 的法向量为CCD(,)A20ur设平面 的法向量为PB(,)nxyzr因为 ，所以(,),D013210urunPB0ru所以 yzx2令 ，则 ，所以z3,x(,)n32r所以 cos,|ADn25719urr由题知 为锐角，所以 的余弦值为BPCBPC5719（）法一：假设棱 上存在点 ，使得 ，显然 与点 不同BFMPAF所以 四点共面于,PMC所以 ，所以 ，BFAP所以 就是点 确定的平面，所以, P这与 为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证PCD法二：假设
11、棱 上存在点 ，使得BFMPCA连接 ，取其中点AN在 中，因为 分别为 的中点，所以PAC,MN,PACMNPCA因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以 与 重合F所以点 在线段 上，所以 是 ， 的交点 ，即 就是FFB而 与 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法三：假设棱 上存在点 ，使得 ，BCMPCA设 ，所以F 3(1,)(2,10)2FB因为 ，所以MPCA0,P所以有 ，这个方程组无解12032所以假设错误，即问题得证18解：（）因为 ，所以,ab21,abc21所以离心率 ce（）法一：设 12(,)(,)AxyB显然直线 存在斜率，设直线 的方程为ll(2)ykx
12、所以 ，所以()xyk21()kx22180，所以28602所以kx12因为 2(,)Bxy所以 2211| ()Ay因为22211186()4()kxx12121224()()1kykx所以 2286|()()kAB2(1)k2因为 ，所以k10|(2,AB法二：设 12(,)(,)Axy当直线 是 轴时，l|2AB当直线 不是 轴时，设直线 的方程为xl2xty所以 ，所以 ，yxt21()tyt-240，所以2860t2所以yt124因为 (,)Bxy所以 2211| ()Ay因为 2222221111116() ()4()txtttyyt所以 |AB222168()ttt4222 28
13、(1)()tttt因为 ，所以t|(,)AB综上， 的取值范围是 .| 2,19解：（）因为 ()xafe所以 ()xfx2当 时，a1()xf21所以 ，而()fee曲线 在 处的切线方程为yfx(1,)f 21()()eyx化简得到 e（）法一：因为 ，令()()xafx2 ()()xafxe20得 ,22144当 时， ， ， 在区间 的变化情况如下表:a0x()ffx(0,)所以 在 上的最小值为 中较小的值，()fx,)0(),fx20而 ，所以只需要证明2ee,11,x12x2(,)x2()fx+0 0 +Z极大值 极小值 Z因为 ，所以()xax220()xxafe222设 ，其
14、中 ，所以)xFe()()xxFe令 ，得 ，(32当 时， ， ， 在区间 的变化情况如下表:a0x()Fx(0,)所以 在 上的最小值为 ，而()Fx,)0()aFe12()aFe12注意到 ，所以 ，问题得证ax2240()fx2法二：因为“对任意的 ， ”等价于“对任意的 ， ”x2exax020exa即“ ， ”，故只需证“ ， ”x0+12e()0x22e()设 ，所以2()xga()2e()xga设 ，h()exh令 ，得()Fx031当 时， ， ， 在区间 的变化情况如下表:a()hx(0,)所以 上的最小值为 ，而()hx,0()h1()2e()e0a,33,x3()fx0
15、极小值 Zx,01,1()h0极小值 Z所以 时， ，所以 在 上单调递增x0()2e()0xga()gx,)0所以 ()而 ，所以 ，问题得证02g()0gx法三：“对任意的 ， ”等价于“ 在 上的最小值大于 ”x2()ef()fx,)02e因为 ，令()xaf2f得 ,ax22144当 时， ， ， 在在 上的变化情况如下表:a0()fxf(,)+0所以 在 上的最小值为 中较小的值，()fx,)0(),fx20而 ，所以只需要证明2ee因为 ，所以()xax22()xxxafe2222注意到 和 ，所以240a24设 ，其中()xFe2所以 ()()xxe1当 时， ，所以 单调递增，
16、所以x20F()Fxe24而 ()e244所以 ，问题得证fxe2法四：x,1x1,x12x2(,)x2()f+0 0 +Z极大值 极小值 Z因为 ，所以当 时，a0x0()xxafe2设 ，其中()xFe2所以 ()x所以 ， ， 的变化情况如下表:x所以 在 时取得最小值()Fx2，而()Fe24()e2240所以 时，x0x所以 ()f20.解：()满足 的元素为3(0,1),(0,1),（）记 ， ，12(,)nx 12,ny注意到 ，所以 ，0,i(0ix所以 1122()()nnxyxx2nx1y因为 ，所以1212nnxyy 所以 中有 个量的值为 1， 个量的值为 0.1212
17、,nnxy 显然 1220()()()nnxxyxy，12ny当 ， 时，(,) (0,)满足 ， .所以 的最大值为， nn又 1122()()()nxyxyxy(,)02(,)2()Fx0 +极小值 Z12()nnxyxy注意到只有 时， ，否则ii1i 0ixy而 中 个量的值为 1， 个量的值为 01212,nnxy n所以满足 这样的元素 至多有 个，i i2当 为偶数时， .nn当 时，满足 ，且 .22(1,0,)nn 个 个 n2n所以 的最小值为当 为奇数时，且 ，这样的元素 至多有 个，n1ixyi12n所以 .2n当 ， 时，满足 ， .1122(,0,)nn 个 个 1
18、122(,0,)nn 个 个 n12所以 的最小值为综上： 的最大值为 ，当 为偶数时， 的最小值为 ，当 为奇数时， .n2n12n（） 中的元素个数最大值为S2设集合 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记 ，11212(,)| 1,nnxxxS ,| 2,S 显然 1212S，集合 中元素个数不超过 个，下面我们证明集合 中元素个数不超过 个Sn2S2nC，则212,(,)x 12nxx则 中至少存在两个元素1nx， ， ， 0ij，212,(,)nSy 因为 ，所以 不能同时为,ijy所以对 中的一组数 而言，1ijn,ij在集合 中至多有一个元素 满足 同时为2S12(,)nx ijx， 0所以集合 中元素个数不超过 个nC所以集合 中的元素个数为至多为S211n记 ，则 中共 个元素，1T1212(,)| ,n nxxx 1Tn对于任意的 ， ， .对 ，记 其中 ， ，1ijn,12(,),ij nx 0ijx1tx,itj记 ，2,|ijT显然 ， ，均有 .2,S1n记 ， 中的元素个数为 ，且满足 ， ，均有 .12,S1n综上所述， 中的元素个数最大值为 .S1n
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