1、2017-2018 学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）第 110 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.15 的相反数是（ ）A B C5 D5210 月 18 日上午 9 时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，网站 PC 端成为报道大会的主阵地据统计，关键词“十九大”在 1.3 万个网站中产生数据174000 条，其中 174000 用科学记数法表示为（ ）A17.410 5 B1.74 105 C17.410 4 D1.7410 63下列各式中，不相等的是（ ）A（3） 2 和3 2 B（3） 2 和 32 C（2） 3 和2 3D|
2、 2| 3 和|2 3|4下列是一元一次方程的是（ ）Ax 22x30 B2x+y5 C Dx+105如图，下列结论正确的是（ ）Acab B C|a| b| Dabc06下列等式变形正确的是（ ）A若3x 5，则 xB若 ，则 2x+3（x 1）1C若 5x62x +8，则 5x+2x8+6D若 3（x+1）2x1，则 3x+32x17下列结论正确的是（ ）A3ab 2 和 b2a 是同类项 B 不是单项式Ca 比 a 大 D2 是方程 2x+14 的解8将一副三角板按如图所示位置摆放，其中 与 一定互余的是（ ）ABCD9已知点 A，B，C 在同一条直线上，若线段 AB3，BC 2，AC1
3、，则下列判断正确的是（ ）A点 A 在线段 BC 上B点 B 在线段 AC 上C点 C 在线段 AB 上D点 A 在线段 CB 的延长线上10由 m 个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则 m 能取到的最大值是（ ）A6 B5 C4 D3二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）11计算：4837+5335 12小何买了 4 本笔记本，10 支圆珠笔，设笔记本的单价为 a 元，圆珠笔的单价为 b元则小何共花费 元（用含 a，b 的代数式表示）13已知|a2|+（b+3） 20，则 ba的值等于 14北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A
4、，B ，C 分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西 77方向，北京南站在天安门的南偏西 18方向则BAC 15若 2 是关于 x 的一元一次方程 2（x 1）ax 的解，则 a 16规定图形 表示运算 abc，图形 表示运算 xz y +w则+ （直接写出答案）17线段 AB6，点 C 在直线 AB 上，BC4，则 AC 的长度为 18在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为 4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a 的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得
5、到图形如图（3），称为第二次变化如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案如不断发展下去到第 n 次变化时，图形的面积是否会变化， （填写“会”或者“不会”），图形的周长为 三、解答题（本题共 54 分，第 19，20 题每题 6 分，第 21 题 4 分，第 2225 题每题6 分，第 26，27 题每题 7 分）19计算：（1）（ ）（8）+（6） 2；（2）1 4+（ 2） 20解方程：（1）3（2x 1）15；（2） 21已知 3a7b3，求代数式 2（2a+b1）+5（a4b）3b 的值22作图题：如图，已知点 A，点 B，直线 l 及 l 上一点 M（1）连接 MA，并在直线
6、l 上作出一点 N，使得点 N 在点 M 的左边，且满足MNMA ；（2）请在直线 l 上确定一点 O，使点 O 到点 A 与点 O 到点 B 的距离之和最短，并写出画图的依据23几何计算：如图，已知AOB 40 ，BOC3AOB ，OD 平分AOC，求COD 的度数解：因为BOC3AOB，AOB 40所以BOC 所以AOC + + 因为 OD 平分AOC所以COD 24如图 1，线段 AB10，点 C，E，F 在线段 AB 上（1）如图 2，当点 E，点 F 是线段 AC 和线段 BC 的中点时，求线段 EF 的长；（2）当点 E，点 F 是线段 AB 和线段 BC 的中点时，请你写出线段
7、EF 与线段 AC 之间的数量关系并简要说明理由25先阅读，然后答题阿基米德测皇冠的故事叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解一天，他的夫人逼他洗澡当他跳入池中时，水从池中溢了出来阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）“夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了
8、，真疯了“，便随后追了出去街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银烦人的王冠之谜终于解开了小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想
9、要做以下的一个探究：小明准备了一个长方体的无盖容器和 A，B 两种型号的钢球若干先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为 30mm，水足以淹没所有的钢球探究一：小明做了两次实验，先放入 3 个 A 型号钢球，水面的高度涨到 36mm；把 3个 A 型号钢球捞出，再放入 2 个 B 型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36mm由此可知 A 型号与 B 型号钢球的体积比为 ；探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入 A 型号与 B 型号钢球共 10 个后，水面高度涨到 57mm，问放入水中的 A 型号与 B 型号钢球各几个？26对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（
10、c，d）我们规定：（a，b）（c ，d）bcad例如：（1，2）（3，4）23142根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，3）（3，2） ；（2）若有理数对（3，2x1）（1，x +1） 7，则 x ；（3）当满足等式（3，2x1）（k ，x+k） 5+2k 的 x 是整数时，求整数 k 的值27如图 1，在数轴上 A，B 两点对应的数分别是 6，6，DCE90（C 与 O 重合，D 点在数轴的正半轴上）（1）如图 1，若 CF 平分ACE，则AOF ；（2）如图 2，将DCE 沿数轴的正半轴向右平移 t（0t 3）个单位后，再绕点顶点C 逆时针旋转 30t 度，作 CF 平分ACE，
11、此时记DCF当 t1 时， ；猜想BCE 和 的数量关系，并证明；（3）如图 3，开始D 1C1E1 与DCE 重合，将DCE 沿数轴的正半轴向右平移t（0t3）个单位，再绕点顶点 C 逆时针旋转 30t 度，作 CF 平分ACE，此时记DCF，与此同时，将 D 1C1E1 沿数轴的负半轴向左平移 t（0t 3）个单位，再绕点顶点 C1 顺时针旋转 30t 度，作 C1F1 平分AC 1E1，记D 1C1F1，若 与满足| 20，请直接写出 t 的值为 2017-2018 学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）第 110 题均有四个
12、选项，符合题意的选项只有一个.15 的相反数是（ ）A B C5 D5【分析】依据相反数的定义求解即可【解答】解：5 的相反数是 5故选：C 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键210 月 18 日上午 9 时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，网站 PC 端成为报道大会的主阵地据统计，关键词“十九大”在 1.3 万个网站中产生数据174000 条，其中 174000 用科学记数法表示为（ ）A17.410 5 B1.74 105 C17.410 4 D1.7410 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的
13、值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：174000 用科学记数法表示为 1.74105，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3下列各式中，不相等的是（ ）A（3） 2 和3 2 B（3） 2 和 32 C（2） 3 和2 3D| 2| 3 和|2 3|【分析】根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂的知识点进行解答，即可判断【解答】解：A、（3） 29，
14、3 29，故（ 3） 23 2；B、（3） 29，3 29，故（3） 23 2；C、（ 2） 38，2 38，则（2） 32 3；D、|2| 32 38，|2 3|8|8，则|2| 3|2 3|故选：A【点评】此题确定底数是关键，要特别注意3 2 和（3） 2 的区别4下列是一元一次方程的是（ ）Ax 22x30 B2x+y5 C Dx+10【分析】根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是 1，这样的方程叫一元一次方程可得答案【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误；B、不是一元一次方程，故此选项错误；C、不是一元一次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项正确；故选：D【点
15、评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为 1，且未知数的系数不为 05如图，下列结论正确的是（ ）Acab B C|a| b| Dabc0【分析】A、根据数轴上的数右边的总比左边的大，可得结论；B、根据 0b1c ，可得结论；C、根据数轴上数 a 表示的点离原点比较远，可得|a| b|；D、根据 a0，b0，c 0，可得结论【解答】解：A、由数轴得：abc，故选项 A 不正确；B、0b1c ， ，故选项 B 正确；C、由数轴得：|a|b|，故选项 C 不正确；D、a0，b0，c 0，abc0，故选项 D 不正确；故选：B【点评】本题考查了数
16、轴的意义、绝对值的定义及有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的有关性质是关键6下列等式变形正确的是（ ）A若3x 5，则 xB若 ，则 2x+3（x 1）1C若 5x62x +8，则 5x+2x8+6D若 3（x+1）2x1，则 3x+32x1【分析】根据等式的基本性质 1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质 2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决【解答】解：A、若3x 5，则 x ，错误；B、若 ，则 2x+3（x1）6，错误；C、若 5x62x +8，则 5x2x8+6 ，错误；D、若 3（x+1
17、）2x1，则 3x+32x1，正确；故选：D【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理7下列结论正确的是（ ）A3ab 2 和 b2a 是同类项 B 不是单项式Ca 比 a 大 D2 是方程 2x+14 的解【分析】根据同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解逐个判断即可【解答】解：A、3ab 2 和 b2a 是同类项，故本选项符合题意；B、 是单项式，故本选项不符合题意；C、当 a0 时，aa，故本选项不符合题意；D、1.5 是方程 2x+14 的解， 2 不是方程的解，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程
18、的解，能熟记知识点的内容是解此题的关键8将一副三角板按如图所示位置摆放，其中 与 一定互余的是（ ）ABCD【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可【解答】解：A、 与 不互余，故本选项错误；B、 与 不互余，故本选项错误；C、 与 互余，故本选项正确；D、 与 不互余， 和 互补，故本选项错误；故选：C 【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力9已知点 A，B，C 在同一条直线上，若线段 AB3，BC 2，AC1，则下列判断正确的是（ ）A点 A 在线段 BC 上B点 B 在线段 AC 上C点 C 在线段 AB 上D点 A 在线段 CB 的延长线上【分析】
19、依据点 A，B，C 在同一条直线上，线段 AB3，BC 2，AC1，即可得到点 C 在线段 AB 上【解答】解：如图，点 A，B，C 在同一条直线上，线段 AB3，BC 2，AC1，点 A 在线段 BC 的延长线上，故 A 错误；点 B 在线段 AC 延长线上，故 B 错误；点 C 在线段 AB 上，故 C 正确；点 A 在线段 CB 的反向延长线上，故 D 错误；故选：C 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是判段点 C 的位置在线段 AB上10由 m 个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则 m 能取到的最大值是（ ）A6 B5 C4
20、 D3【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层所以图中的小正方体最少 4 块，最多 5 块故选：B【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）11计算：4837+533
21、5 10212 【分析】1 度60 分，即 160，1 分60 秒，即 160，依据度分秒的换算即可得到结果【解答】解：4837+53351017210212，故答案为：10212【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法12小何买了 4 本笔记本，10 支圆珠笔，设笔记本的单价为 a 元，圆珠笔的单价为 b元则小何共花费 （4a+10b） 元（用含 a，b 的代数式表示）【分析】根据单价数量总费用进行解答【解答】解：依题意得：4a+10b；故答案是：（4a+10b）【点评】本题考查列代数式解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系13已知|a
22、2|+（b+3） 20，则 ba的值等于 9 【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为 0，这两个非负数的值都为0”解出 a、b 的值，再代入原式中即可【解答】解：依题意得：a20，b+30，a2，b3b a（3） 29【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为 0 时，必须满足其中的每一项都等于 0根据这个结论可以求解这类题目14北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B ，C 分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西 77方向，北京南站在天安门的南偏
23、西 18方向则BAC 59 【分析】根据题意可得CAS18，BAS77 ，然后利用角的和差关系可得答案【解答】解：BAC771859，故答案为：59【点评】此题主要考查了方向角，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90的角15若 2 是关于 x 的一元一次方程 2（x 1）ax 的解，则 a 1 【分析】根据一元一次方程的解的定义列出方程，解方程即可【解答】解：2 是关于 x 的一元一次方程 2（x 1）ax 的解，2a2，解得，a1，故答案为：1【点评】本题考查的是方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解16规定图形 表示运算 abc，图形 表示
24、运算 xz y +w则+ 8 （直接写出答案）【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值【解答】解：根据题中的新定义得：原式（123）+（467+5）448，故答案为：8【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键17线段 AB6，点 C 在直线 AB 上，BC4，则 AC 的长度为 2 或 10 【分析】分类讨论：C 在线段 AB 上，C 在线段 AB 的延长线上，根据线段的和差，可得答案【解答】解：当 C 在线段 AB 上时，AC1BBC642；当 C 在线段 AB 的延长线上时，ACAB+ BC10综上所述：AC 的长度为 2 或 10故选：2 或 10【点评】本题
25、考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏18在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为 4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a 的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案如不断发展下去到第 n 次变化时，图形的面积是否会变化， 不会 （填写“会”或者“不会”），图形的周长为 2 n+4a 【分析】观察图形，发现对正方形每进行 1 次分形，周长增加 1 倍；每增加一个小正方形同时又减少一个
26、相同的小正方形，即面积不变【解答】解：周长依次为 16a，32a，64a，128a，2 n+4a，即无限增加，所以不断发展下去到第 n 次变化时，图形的周长为 2n+4a；图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值 16a2故答案为：不会、2 n+4a【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加 1 倍是解题的关键，本题有一定难度三、解答题（本题共 54 分，第 19，20 题每题 6 分，第 21 题 4 分，第 2225 题每题6 分，第 26，27 题每题 7 分）19计算：（1）（
27、）（8）+（6） 2；（2）1 4+（ 2） 【分析】（1）根据有理数的乘法和加法可以解答本题；（2）根据幂的乘方、有理数的除法和减法可以解答本题【解答】解：（1）（ ）（8）+（6） 24+3640；（2）1 4+（ 2）1+2 3 91+6 94【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法20解方程：（1）3（2x 1）15；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 即可；（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为 1，从而得到方程的解【解答】解：（1）去括号得，6x31
28、5，移项得，6x 15+3，合并同类项得，6x 18，系数化为 1 得，x 3；（2）去分母得，2（x 7 ）3（1+ x）6，去括号得，2x 1433 x6，移项得，2x 3x6+14+3，合并同类项得，x 23，系数化为 1 得，x 23【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号21已知 3a7b3，求代数式 2（2a+b1）+5（a4b）3b 的值【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：当 3a7b3 时，原式4a+2 b2+5 a20b 3b9a21b23（
29、3a7b）29211【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型22作图题：如图，已知点 A，点 B，直线 l 及 l 上一点 M（1）连接 MA，并在直线 l 上作出一点 N，使得点 N 在点 M 的左边，且满足MNMA ；（2）请在直线 l 上确定一点 O，使点 O 到点 A 与点 O 到点 B 的距离之和最短，并写出画图的依据【分析】（1）连接 AM，以 M 为圆心，MA 为半径画弧交直线 l 于 N，点 N 即为所求；（2）连接 AB 交直线 l 于点 O，点 O 即为所求；【解答】解：（1）作图如图 1 所示：（2）作图如图 2 所示：作图依据
30、是：两点之间线段最短【点评】本题考查作图复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型23几何计算：如图，已知AOB 40 ，BOC3AOB ，OD 平分AOC，求COD 的度数解：因为BOC3AOB，AOB 40所以BOC 120 所以AOC AOB + BOC 40 + 120 160 因为 OD 平分AOC所以COD AOC 80 【分析】先求出BOC 的度数，再求出AOC 的度数，根据角平分线定义求出即可【解答】解：BOC3AOB，AOB 40 ，BOC120，AOCAOB +BOC40+120160，OD 平分AOC，COD AOC 80，故答案为：
31、120，AOB ， BOC，40，120，160，AOC，80【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出AOC 的度数和得出COD AOC 是解此题的关键24如图 1，线段 AB10，点 C，E，F 在线段 AB 上（1）如图 2，当点 E，点 F 是线段 AC 和线段 BC 的中点时，求线段 EF 的长；（2）当点 E，点 F 是线段 AB 和线段 BC 的中点时，请你写出线段 EF 与线段 AC 之间的数量关系并简要说明理由【分析】（1）根据线段的中点得出 AECE AC，CFFB CB，求出EF AB，代入求出即可；（2）根据线段的中点得出 AECE AC，CFFB CB，即可
32、求出 EF AC【解答】解：（1）当点 E、点 F 是线段 AC 和线段 BC 的中点，AECE AC，CFFB CB，AB10，EFCE+CF AC+ CB （AC+ CB） AB 105；（2）如图：EF AC，理由是：当点 E、点 F 是线段 AB 和线段 BC 的中点，AEEB AB，CFFB CB，EFEBFB AB CB （AB CB） AC【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出AEEB AB 和 CFFB CB 是解此题的关键25先阅读，然后答题阿基米德测皇冠的故事叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻
33、他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解一天，他的夫人逼他洗澡当他跳入池中时，水从池中溢了出来阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）“夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了“，便随后追了出去街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同
34、如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银烦人的王冠之谜终于解开了小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：小明准备了一个长方体的无盖容器和 A，B 两种型号的钢球若干先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为 30mm，水足以淹没所有的钢球探究一：小明做了两
35、次实验，先放入 3 个 A 型号钢球，水面的高度涨到 36mm；把 3个 A 型号钢球捞出，再放入 2 个 B 型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36mm由此可知 A 型号与 B 型号钢球的体积比为 2：3 ；探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入 A 型号与 B 型号钢球共 10 个后，水面高度涨到 57mm，问放入水中的 A 型号与 B 型号钢球各几个？【分析】探究一：依据 3 个 A 型号钢球与 2 个 B 型号钢球的体积相等，即可得到 A 型号与 B 型号钢球的体积比为 2：3；探究二：设放入水中的 A 型号钢球为 x 个，则 B 型号钢球为（10x ）个，则由放入 A型号与 B
36、型号钢球共 10 个后，水面高度涨到 57mm，可得方程，进而得出结论【解答】解：探究一：由题可得，3 个 A 型号钢球与 2 个 B 型号钢球的体积相等，A 型号与 B 型号钢球的体积比为 2：3；故答案为：2：3；探究二：每个 A 型号钢球使得水面上升 （3630）2 mm，每个 B 型号钢球使得水面上升 （3630）3mm，设放入水中的 A 型号钢球为 x 个，则 B 型号钢球为（10x ）个，则由题意列方程：2x+3（10x）5730，解得：x3，所以 10x 7，答：放入水中的 A 型号钢球 3 个，B 型号钢球 7 个【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是依据等
37、量关系列方程求解26对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）我们规定：（a，b）（c ，d）bcad例如：（1，2）（3，4）23142根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，3）（3，2） 5 ；（2）若有理数对（3，2x1）（1，x +1） 7，则 x 1 ；（3）当满足等式（3，2x1）（k ，x+k） 5+2k 的 x 是整数时，求整数 k 的值【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义计算即可求出 x 的值；（3）原式利用题中的新定义计算，求出整数 k 的值即可【解答】解：（1）根据题意得：原式9+45；故
38、答案为：5；（2）根据题意化简得：2x1+3 x+37，移项合并得：5x 5，解得：x1； 故答案为：1； （3）等式（3，2x 1）（k ，x+k）5+2 k 的 x 是整数，（2x1） k（3）（ x+k）5+2 k，（2k+3）x5，x ，k 是整数，2k+31 或5，k1，1 ，2，4【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数27如图 1，在数轴上 A，B 两点对应的数分别是 6，6，DCE90（C 与 O 重合，D 点在数轴的正半轴上）（1）如图 1，若 CF 平分ACE，则AOF 45 ；（2）如图 2，将DCE 沿数轴的正半轴向右平移 t（0
39、t 3）个单位后，再绕点顶点C 逆时针旋转 30t 度，作 CF 平分ACE，此时记DCF当 t1 时， 30 ；猜想BCE 和 的数量关系，并证明；（3）如图 3，开始D 1C1E1 与DCE 重合，将DCE 沿数轴的正半轴向右平移t（0t3）个单位，再绕点顶点 C 逆时针旋转 30t 度，作 CF 平分ACE，此时记DCF，与此同时，将 D 1C1E1 沿数轴的负半轴向左平移 t（0t 3）个单位，再绕点顶点 C1 顺时针旋转 30t 度，作 C1F1 平分AC 1E1，记D 1C1F1，若 与满足| 20，请直接写出 t 的值为 【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；（2）根据 FC
40、D ACFACD，求出ACF，ACD 即可；猜想：BCE2根据BCEAOBECDACD 计算即可；（3）求出 ，（用 t 表示），构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，EOD90，OF 平分EOD ，FOD EOD45，故答案为 45（2）如图 2 中，当 t1 时，DCA30，ECD90，ECA120，CF 平分ACE，FCA ECA60 FCD6030 30故答案为 30如图 2 中，猜想： BCE 2 理由：DCE90，DCF，ECF90，CF 平分ACE，ACFECF90 ，点 A，O ，B 共线AOB180 BCEAOB ECD ACD18090（902 ）2（3）如图 3 中，由题意：FCA DCA （90+30t ）30t4515t ，AC 1D1+AC 1F130t+ （9030t）45 +15t，| |20 ，|30t|20，解得 t 故答案为 【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、数轴、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题
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