1、专题 08 力学中圆周运动模型(3)模型界定本模型只局限于力学范围内的圆周运动,(一)讨论圆周运动中的传动及水平面内的匀速圆周运动,(二)讨论竖直平面内的圆周运动及天体的圆周运动问题.本模型不涉及电磁学范围内的圆周运动，电磁学范围内的圆周运动另有等效重力场、动态圆模型等进行专题研究.模型破解3.圆周运动中的动力学问题(ii)竖直平面内的圆周运动圆周运动中的速度在向心加速度的表达式 中,v 是物体相对圆心的瞬时速度,在圆心静止时才等于物体的对地速度变速圆周运动中的向心力在变速圆周运动中,向心力不是物体所受合外力,是物体在半径方向上的合力.竖直平面内圆周运动的类型竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运
2、动和变速圆周运动两种常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法.以物体所在的位置为坐标原点，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿半径（法线）方向，此方向上的合力即向心力改变物体速度的方向；另一个沿切线方向，此方向的合力改变物体速度的大小处理竖直平面内圆周运动的方法在物体从一点运动至另点的过程
3、中速度之间的联系由能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程,在物体经过圆周上某一点时速度与外力之间的联系由牛顿运动定律列方程,两类方程相结合是解决此类问题的有效方法竖直平面内变速圆周运动的最高点与最低点例 1.如图所示，质量为 m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动,已知重力加速度为 g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则A.该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于B.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于C.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于 2mgD.盒子在最低点时盒子与小球之间的作
4、用力大小可能小于 2mg【答案】例.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做 A 点的曲率圆，其半径 叫做 A 点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成 角的方向以速度 v0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点 P 处得曲率半径是A B C D 【答案】【解析】物体做斜抛运动，运动中只受重力作用，到达最高点时速度 v 沿水平方向，大小等于 v0cos,因轨迹上点的曲率圆圆心在点正下方，由牛顿第二定律 ，故有
5、 ，正确模型演练1.如图所示，物体 A 放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置、 在同一水平高度上，则A.物体在位置、时受到的弹力都大于重力B.物体在位置、时受到的弹力都小于重力C.物体在从位置运动到位置的过程中受到的摩擦力先增大后减小D.物体在从位置运动到位置的过程中受到的摩擦力先减小后增大【答案】【解析】:如图所示,(I)轻绳模型如图 1 所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.a 小球能通过最高点的条件如图 2 所示,在最高点 A:、即b 小球能过最高点 A 的临界条件、c 小球能做完整圆周运动时在最低点 B
6、满足的条件d 小球不脱离轨道在最低点 B 满足的条件或e 小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小.f 变速圆周上的最高点与最低点小球位于最高点处时:动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.小球位于最高点处时:动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂.g 圆周运动中的能量小球沿圆周运动过程中只受到重力与绳的拉力,运动中机械守恒.但满足能量守恒的过程不一定能够发生,需注意小球脱离轨道后做斜上
7、抛运动,动能不能全部转化为重力势能.例.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成， B、 C、 D 分别是三个圆形轨道的最低点， B、 C 间距与 C、 D间距相等，半径 、 。一个质量为 kg 的小球（视为质点） ，从轨道的左侧 A 点以 的初速度沿轨道向右运动， A、 B 间距 m。小球与水平轨道间的动摩擦因数 ，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 ，计算结果保留小数点后一位数字。试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道， B、
8、C 间距 应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径 应满足的条件；小球最终停留点与起点 的距离。【答案】 （）.（）.m（）当 时， ；当 时，【解析】 （1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1根据动能定理小球在最高点受到重力 mg 和轨道对它的作用力 F，根据牛顿第二定律由得 （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2，由题意由得 （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：I轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为 v3，应满足由得 II轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3，根据动能定理
9、解得 为了保证圆轨道不重叠， R3最大值应满足解得 R3=27.9m当 时，小球最终焦停留点与起始点 A 的距离为 L，则例 4.如图所示，质量为 m 的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为 mg，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）A3 mg B5 mgC7 mg D9 mg【答案】【解析】在最高点： ，在最低点：由机械能守恒定律： ；由此可得正确选项为 C 例 5.如图所示，半径 r= 05m 的光滑圆轨道被竖直固定在水平地面上，圆轨道最低处有一小球（小球的半径比 r 小很多） 。现给小球一个水平向右的初速度 v0，要使小球不脱离轨道运动，v 0应满
10、足 （ ）Av 05m/s Bv 02 m/sCv 0 m/s Dv 0 m/s【答案】守恒有 ，联立可解得 ，答案为 D。例 6.如图所示，质量为 m 的小球，由长为 l 的细线系住，细线的另一端固定在 A 点， AB 是过 A 的竖直线， E 为 AB 上的一点，且 AE=0.5l， 过 E 作水平线 EF，在 EF 上钉铁钉 D，若线能承受的最大拉力是 9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，不计线与钉子碰撞时的能量损失求钉子位置在水平线上的取值范围【答案】 lx l 【解析】这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题题中涉及两个临界条件：
11、一是线承受的最大拉力不大于 9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于 （ r 是做圆周运动的半径） 设在 D 点绳刚好承受最大拉力，设 DE=x1，则： AD=悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为： r1=l AD= l 当小球落到 D 点正下方时，绳受到的最大拉力为 F，此时小球的速度 v，由牛顿第二定律有：F mg= 结合 F9 mg 可得： 8 mg 由机械能守恒定律得： mg ( +r1)= mv12即： v2=2g ( +r1) 由式联立解得： x1 l 随着 x 的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大转至最高点的临界速度 也越来越大，但根据机械能守恒定律
12、，半径 r 越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了设钉子在 G 点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设 EG=x2，如图，则： AG=r2=l AG= l 在最高点： mg 由机械能守恒定律得： mg ( r2)= mv22 由联立得： x2 l 在水平线上 EF 上钉子的位置范围是： lx l 例 7.一小球以初速度 v0竖直上抛，它能到达的最大高度为 H，下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度 H（忽略空气阻力）A以初速 v0沿光滑斜面向上运动（图 a）B以初速 v0沿光滑的抛物线轨道从最低点向上运动（图 b）C以初速 v0沿半径为
13、 R 的光滑圆轨道从最低点向上运动（图 c， ）D以初速 v0沿半径为 R 的光滑圆轨道从最低点向上运动（图 d、 RH）【答案】有水平方向上的速度,物体的动能不能全部重力势能,则其上升的高度必小于 H,答案为 C.模型演练2.光滑的水平轨道 AB 与半径为 R 的光滑的半圆形轨道 BCD 相切于 B 点，其中圆轨道在竖直平面内， B 为最低点， D 为最高点。一质量为 m 的小球以初速度 v0沿 AB 运动，恰能通过最高点，则 A R 越大， v0越大B R 越大，小球经过 B 点后的瞬间对轨道的压力越大C m 越大， v0越大D m 与 R 同时增大，初动能 Ek0增大【答案】【解析】从点
14、到点由机械能守恒有 ，在及点由牛顿第二定律有 、 ，联立可解得， ， ，可见正确错误3.如图所示，质量为 m 的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为 v，则当小球通过与圆心等高的 A 点时，对轨道内侧的压力大小为Amg B2mg C3mg D5mg【答案】【解析】:在最高点刚好不脱离轨道时 ，在 A 点时所需向心力水平，则向心力刚好完全由轨道的弹力来提供， ，再由机械能守恒有 ，联立可解得 C 项结果。.如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形晃滑轨道，轨道的半径都是 R。轨道端点所在的水平线相隔一定的距离 。一质量为 m 的小球能在其间运动而
15、不脱离轨道，经过最低点 B 时的速度为 。小球在最低点 B 与最高点 A 对轨道的压力之差为。不计空气阻力。则A 、 一定时，R 越大， 一定越大B 、 一定时， 越大， 一定越大C 、R 一定时， 越大， 一定越大D 、R 一定时， 越大， 一定越大【答案】结合表达式可知 A 错误 C 正确。5.质量为 m 的小球由长为 L 的细线系住，细线的另一端固定在 A 点，AB 是过 A 的竖直线，且 AB=L，E 为 AB 的中点，过 E 作水平线 EF，在 EF 上某一位置钉一小钉 D，如图所示现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，不计线与钉碰撞时的机械能损失(1)若钉子在 E 点位置，则小球经
16、过 B 点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？(2)若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子 D 的位置离 E 点的距离 x(3)保持小钉 D 的位置不变，让小球从图示的 P 点静止释放，当小球运动到最低点时，若细线刚好达到最大张力而断开，最后小球运动的轨迹经过 B 点试求细线能承受的最大张力T【答案】 （）3mg ，5mg（） L （） mg【解析】:(1)mgl= mv2 T1-mg=mT2-mg=m T 1=3mg T2=5mg(3)小球做圆周运动到达最低点时，速度设为 v2 则 T-mg=m 以后小球做平抛运动过 B 点，在水平方向有 x=v2t 在竖直方向有：L/2-r= gt2 由
17、式可得 T= mg6.质量为 m 的小球，用轻软绳系在边长为 a 的正方形截面木柱的顶角 A处（木柱水平，图中斜线部分为其竖直横截面） ，如图 2，软绳长为 4a，软绳所能承受的最大拉力为 ，软绳开始时拉直并处于水平状态。问此时至少应以多大的初速度竖直下抛小球，才能使绳绕在木柱上且各小段均做圆周运动最后击中 A 点。【答案】 V 0【解析】在最低点，对小球应用牛顿第二定律得：由上式可看出，R 1小时，T 大，绳子易断。故小球在最低点时，应取以 B 为圆心，即R1=3a，并保障绳子不能被拉断。设开始下抛的初速度为 V0，从开始至最低点应用机械能守恒定律得：联立以上三式可得：若小球恰好能通过最高点
18、，则在最高点处有： ，由该式可见 R2最大时，通过最高点所需 V2越大，故应取 C 点为圆心，即 R2=2a，才能完成圆周运动。从开始至最高点应用机械能守恒定律得：联立以上各式可解得：故所求为： V 07.如图所示，P 点与 N 点等高，Q 点有一光滑钉子，Q 点与 E 点等高，O 是摆的悬点，O、 N、Q、M 在同一竖直线上.Q 为 MN 的中点.将质量为 m 的摆球拉到与竖直方向成 60的 P 点后无初速释放.当球摆到最低点时悬线被钉子挡住，球沿以 Q 为中心的圆弧继续运动，下列对小球第一次过 M 点后的描述和最终状态的描述中正确的是A.在过 M 点后小球向左摆到 N 点后自由下落B.在过
19、 M 点后小球将在 NM 之间做自由下落C.在过 M 点的瞬间，绳对小球的拉力为小球重力的 5 倍D.小球最终将绕 Q 点来回摆动【答案】【解析】:设摆线长 OP 为 l，在 P 点静止释放后，由机械能守恒定律知，小球通过 E 点时的速度为 又由于 P 与 N 等高，E N 为圆周的部分轨道，任何一点都具有速度，所以选项 AB 错误.小球在过 M 点的瞬间，绳对小球的拉力与球的重力的合力提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得： 又据机械能守恒定律得：联立得：8.晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动
20、到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离 d 后落地，如题图所示，已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为 g，忽略手的运动半径和空气阻力。(1)求绳断时球的速度大小 v1和球落地时球的速度大小 v2(2)问绳承受的最大拉力多大?(3)改变绳长,使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉 ,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?最大水平距离为多少?【答案】 （） ， （） mg（）当 L=d/2 时， xmax= d.【解析】:(1)设绳断后球飞行的时间为 t,由平抛运动规律有竖直方向水平方向联立解得由机械能守恒定律有解得(2)设绳能承受的拉力大小为 T，这也
21、是球受到绳的最大拉力。球做圆周运动的半径为 R=3d/4对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有 T-mg=m v12/R，联立解得 T= mg。(3)设绳长为 L，绳断时球的速度大小为 v3，绳承受的最大拉力不变，有T-mg=m v32/L解得 v3= 。绳断后球做平抛运动，竖直位移为 d-L，水平位移为 x，飞行时间为 t1，根据平抛运动规律有 d-L= gt12， x= v3 t1联立解得 x=4 . 当 L=d/2 时，x 有极大值，最大水平距离为 xmax= d. 9.如图所示,一物体以速度 v0冲向光滑斜面 AB，并刚好能沿斜面升高 h,下列说法正确的是A.若把斜面从 C
22、点锯断，由机械能守恒定律知,物体冲出 C 点后仍能升高 hB.若把斜面弯成如图所示的半圆弧状，物体仍能沿 升高成 hC.若把斜面从 C 点锯断或弯成如图所示的半圆弧状，物体都不能升高 h，因为机械能不守恒D.若把斜面从 C 点锯断或弯成如图所示的半圆弧状,物体都不能升高 h,但机械能仍守恒【答案】10.半径为 R 的圆桶固定在小车上，有一个光滑的小球静止在圆桶最低点，如图所示。小车以速度 v 向右匀速运动，当小车遇到障碍物时，突然停止运动，在这之后，关于小球在圆桶中上升的高度的判断，正确的是 A不可能等于 v2/2gB不可能大于 v2/2gC不可能小于 v2/2gD不可能等于 2R【答案】【解
23、析】当 ，小球能上升的最大高度不大于圆心所在高度，小球速度能在轨道上减小到零，动能可全部转化为重力势能，由能量守恒知小球上升的最大高度；当 ，小球上升到圆心上方某处时离开轨道做斜上抛运动，到达最高点时速度不为零，即初动能不能全部转化为重力势能， ，有 ；当 ，小球可在竖直平面内做完整的圆周运动，故只有正确(II)轻杆模型如图 3 所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.a 小球能通过最高点的条件如图 4 所示,在最高点 C:b 小球能过最高点 C 的临界条件、c 小球能做完整圆周运动时在最低点 D 满足的条件d 小球沿圆周运动过程中杆中弹力
24、变化情况在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:若 ,杆中弹力方向向上,大小为若 ,杆中弹力方向向上,大小小于重力, ,大小随此点速度的增大而减小.若 ,杆中无弹力若 ,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力, ,大小 随此点速度的增大而增大此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即 ;若在最高点 C 处杆中弹力为推力时,此两点处弹力大小之和恒定,即 .小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.例 7.如图所示光滑管形圆轨道半径为 R（管径远小于 R） ，小球 A b 大小相同，质量相同，均为 m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球
25、先后以相同速度 v 通过轨道最低点，且当小球 a 在最低点时，小球 b 在最高点，以下说法正确的是A当小球 b 在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需向心力大 5mgB当 v= 时，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力C速度 v 至少为 ，才能使两球在管内做圆周运动D只要 v ,小球 a 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 6mg【答案】【解析】小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球 b 所受重力充当向心力， mg m Error!即v0.小球从最高点运动到最低点过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgRError! mv02Error! mv2，解以上两式可得： v，B 项正确；小球在最低点时， F 向 mError!5 mg，在最高点和最低点所需向心力的差为 4mg，A 项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，所以小球通过最高点的最小速度为零，再由机械能守恒定律可知，2mgRError! mv 2，解得 v2，C 项错；当 v时，小球在最低点所受支持力F1 mgError!，由最低点运动到最高点，2 mgRError! mv12Error! mv2，小球对轨道压力F2 mg mError!，解得 F2 mError!5 mg， F1 F26 mg，可见小球 a 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力大 6mg，D 项正确
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