1、2017-2018 年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1（3 分）分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）A x3 B x3 C x3 D x32（3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A3，4，8 B5，6，11 C5，6，10 D1，2，33（3 分）下列计算正确的是（ ）A a2a3 a6 B（ a2） 3 a6 C a2+a2 a3 D a6a2 a34（3 分）如图，已知 ABC EDF，下列结论正确的是（ ）A A E B B DFE C AC ED D BF
2、 DF5（3 分）多边形每个外角为 45，则多边形的边数是（ ）A8 B7 C6 D56（3 分）设（2 a+3b） 2（2 a3 b） 2+A，则 A（ ）A6 ab B12 ab C0 D24 ab7（3 分）如图，在 ABC 中， B30， BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D如果CE12，则 ED 的长为（ ）A3 B4 C5 D68（3 分）八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A 20 B
3、20C D 二、填空题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）9（3 分）计算： 10（3 分）分解因式： x2y4 y 11（3 分）如图，在 ABC 中， D 是 AB 延长线上一点， A40， C60，则 CBD 12（3 分）已知等腰三角形的其中二边长分别为 4，9，则这个等腰三角形的周长为 13（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 y 轴对称的点的坐标是 14（3 分）若（ x+2y）（2 x ky1）的结果中不含 xy 项，则 k 的值为 15（3 分）如图， ABC 中， AB6， AC7， BD、 CD 分别平分 ABC、 ACB，过点 D 作直线平行于
4、BC，交 AB、 AC 于 E、 F，则 AEF 的周长为 16（3 分）如图， AOB60， OC 平分 AOB，如果射线 OA 上的点 E 满足 OCE 是等腰三角形，那么 OEC 的度数为 三、解答题（本题共 4 小题，其中 17、18、19 题各 9 分，20 题 12 分，共 39 分）17（9 分）（1）解方程： ；（2）已知 a+b3， ab2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3的值18（9 分）化简求值： ，其中 x319（9 分）如图， D 是 ABC 的边 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E， DE FE， FC AB，求证：AD CF20（12 分）如图， ABC
5、 三个顶点的坐标分别为 A（1，1）， B（4，2）， C（3，4）（1）请画出 ABC 关于 x 轴成轴对称的图形 A1B1C1，并写出 A1、 B1、 C1的坐标；（2）在 y 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请画出点 P 的位置四、解答题（本题共 3 小题，其中 21、22 题各 9 分，23 题 10 分，共 28 分）21（9 分）某小区为了排污，需铺设一段全长为 720 米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的 1.2 倍，结果提前 2 天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度22（9 分）先阅读下列材料：我们已经学过
6、将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如： ax+by+bx+ay（ ax+bx）+（ ay+by） x（ a+b）+ y（ a+b）（ a+b）（ x+y） 2xy+y21+ x2 x2+2xy+y21（ x+y） 21（ x+y+1）（ x+y1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：x2+2x3 x2+2x+14（ x+1） 22 2（ x+1+2）（ x+12）（ x+3）（ x1）请你仿照以上方
7、法，探索并解决下列问题：（1）分解因式： a2 b2+a b；（2）分解因式： x26 x7；（3）分解因式： a2+4ab5 b223（10 分）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为A（0， m）、 B（ n，0），且| m n3|+ 0，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）求 OA、 OB 的长；（2）连接 PB，设 POB 的面积为 S，用 t 的式子表示 S；（3）过点 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 x 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点
8、 P，使 EOP AOB？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题 11 分，25、26 题各 12 分，共 35 分）24（11 分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？25（12 分）在 A
9、BC 中， AB AC， BAC（060），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD（1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含 的式子表示）；（2）如图 2， BCE150， ABE60，判断 ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接 DE，若 DEC45，求 的值26（12 分）如图 1，Rt ABCRt DFE，其中 ACB DFE90， BC EF（1）若两个三角形按图 2 方式放置， AC、 DF 交于点 O，连接 AD、 BO，则 AF 与 CD 的数量关系为 ， BO 与 AD 的位置关系为 ；（2）若两个三角形按图 3 方式放置，其中 C、 B（
10、D）、 F 在一条直线上，连接 AE， M 为 AE中点，连接 FM、 CM探究线段 FM 与 CM 之间的关系，并证明；（3）若两个三角形按图 4 方式放置，其中 B、 C（ D）、 F 在一条直线上，点 G、 H 分别为FC、 AC 的中点，连接 GH、 BE 交于点 K，求证： BK EK2017-2018 学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1（3 分）分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）A x3 B x3 C x3 D x3【分析】本题主要考查分式有
11、意义的条件：分母0，即 x30，解得 x 的取值范围【解答】解： x30， x3故选： C【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为 0 时，分式有意义2（3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A3，4，8 B5，6，11 C5，6，10 D1，2，3【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可【解答】解：3+48，则 3，4，8 不能组成三角形， A 不符合题意；5+611，则 5，6，11 不能组成三角形， B 不合题意；5+610，则 5，6，10 能组成三角形， C 符合题意；1+23，则 1，2，3 不能组成三角形， D 不合题意，故选： C【点评】本题考查的是三角形三
12、边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键3（3 分）下列计算正确的是（ ）A a2a3 a6 B（ a2） 3 a6 C a2+a2 a3 D a6a2 a3【分析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，即可解答【解答】解： A、 a2a3 a5，故错误；B、（ a2） 3 a6，正确；C、 a2+a22 a2，故错误；D、 a6a2 a4，故错误；故选： B【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项4（3 分）如图，已知 ABC EDF，下列结论正确的是（ ）A A E B B DFE C
13、 AC ED D BF DF【分析】根据全等三角形的性质对各个选项进行判断即可【解答】解： ABC EDF， A E， A 正确； B FDE， B 错误；AC EF， C 错误；BF DC， D 错误；故选： A【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键5（3 分）多边形每个外角为 45，则多边形的边数是（ ）A8 B7 C6 D5【分析】利用多边形外角和除以外角的度数即可【解答】解：多边形的边数：360458，故选： A【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握正多边形每一个外角度数都相等6（3 分）设（2 a+3b） 2（2 a3 b）
14、2+A，则 A（ ）A6 ab B12 ab C0 D24 ab【分析】由完全平方公式（ ab） 2 a22ab+b2，得到（ a+b） 2（ a b） 2+4ab，据此可以作出判断【解答】解：（2 a+3b） 2（2 a3 b） 2+42a3b（2 a3 b） 2+24ab，（2 a+3b）2（2 a3 b） 2+A， A24 ab故选： D【点评】本题考查了完全平方公式关键是要了解（ a b） 2与（ a+b） 2展开式中区别就在于 2ab 项的符号上，通过加上或者减去 4ab 可相互变形得到7（3 分）如图，在 ABC 中， B30， BC 的垂直平分线交 AB 于 E，垂足为 D如果C
15、E12，则 ED 的长为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EB EC12，根据直角三角形 30 度角的性质解答即可【解答】解： DE 是 BC 的垂直平分线， EB EC12， B30， EDB90， DE EB6，故选： D【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形 30 度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键8（3 分）八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍设骑车学生的速度为 x 千米
16、/小时，则所列方程正确的是（ ）A 20 B 20C D 【分析】根据八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的【解答】解：由题意可得， ，故选： C【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程二、填空题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）9（3 分）计算： 4 【分析】根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案【解答】解：原式3+14，故答案为：4【点评】本题考查负整数指数幂以及零指数幂，解题
17、的关键是正确理解负整数指数幂以及零指数幂的意义，本题属于基础题型10（3 分）分解因式： x2y4 y y（ x+2）（ x2） 【分析】先提取公因式 y，然后再利用平方差公式进行二次分解【解答】解： x2y4 y， y（ x24）， y（ x+2）（ x2）故答案为： y（ x+2）（ x2）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键11（3 分）如图，在 ABC 中， D 是 AB 延长线上一点， A40， C60，则 CBD 100 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可【解答】解： A40， C60，
18、CBD A+ C100，故答案为：100【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键12（3 分）已知等腰三角形的其中二边长分别为 4，9，则这个等腰三角形的周长为 22 【分析】分为两种情况：当三角形的三边是 4，4，9 时，当三角形的三边是 4，9，9时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可【解答】解：分为两种情况：当三角形的三边是 4，4，9 时，4+49，此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；当三角形的三边是 4，9，9 时，此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是 4+9+922，故答案为：22【
19、点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中13（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 y 轴对称的点的坐标是 （2.3） 【分析】根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案【解答】解：点 P（2，3）关于 y 轴对称的点的坐标是（2，3），故答案为：（2，3）【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律14（3 分）若（ x+2y）（2 x ky1）的结果中不含 xy 项，则 k 的值为 4 【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出 k
20、+40，求出即可【解答】解：（ x+2y）（2 x ky1）2 x2 kxy x+4xy2 ky22 y2 x2+（ k+4） xy2 ky22 y x，（ x+2y）（2 x ky1）的结果中不含 xy 项， k+40，解得： k4，故答案为：4【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键15（3 分）如图， ABC 中， AB6， AC7， BD、 CD 分别平分 ABC、 ACB，过点 D 作直线平行于 BC，交 AB、 AC 于 E、 F，则 AEF 的周长为 13 【分析】根据平行线的性质得到 EDB DBC， FDC DCB，根据角平分线的性
21、质得到 EBD DBC， FCD DCB，等量代换得到 EDB EBD， FDC FCD，于是得到ED EB， FD FC，即可得到结果【解答】解： EF BC， EDB DBC， FDC DCB， ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线相交于点 D， EBD DBC， FCD DCB， EDB EBD， FDC FCD， ED EB， FD FC， AB6， AC7， AEF 的周长为： AE+EF+AF AE+ED+FD+AF AE+EB+FC+AF AB+AC6+713故答案为：13【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意证得 BDE 与 CDF 是等腰三角形是解此
22、题的关键16（3 分）如图， AOB60， OC 平分 AOB，如果射线 OA 上的点 E 满足 OCE 是等腰三角形，那么 OEC 的度数为 120或 75或 30 【分析】求出 AOC，根据等腰得出三种情况， OE CE， OC OE， OC CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【解答】解： AOB60， OC 平分 AOB， AOC30，当 E 在 E1时， OE CE， AOC OCE30， OEC1803030120；当 E 在 E2点时， OC OE，则 OCE OEC （18030）75；当 E 在 E3时， OC CE，则 OEC AOC30；故答案为：120或
23、75或 30【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想三、解答题（本题共 4 小题，其中 17、18、19 题各 9 分，20 题 12 分，共 39 分）17（9 分）（1）解方程： ；（2）已知 a+b3， ab2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3的值【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：（1）去分母得：3+ x23 x，解得： x1，经检验 x1 是分式方程的解；（2） a+b3， ab2，原式 ab（ a2+
24、2ab+b2） ab（ a+b） 218【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（9 分）化简求值： ，其中 x3【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可【解答】解：原式 ，当 x3 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键19（9 分）如图， D 是 ABC 的边 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E， DE FE， FC AB，求证：AD CF【分析】根据平行线性质求出 A FCE，根据 AAS 推出 ADE CFE 即可【解答】证明： FC AB
25、， A FCE，在 ADE 和 CFE 中 ADE CFE（ AAS）， AD CF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等20（12 分）如图， ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1）， B（4，2）， C（3，4）（1）请画出 ABC 关于 x 轴成轴对称的图形 A1B1C1，并写出 A1、 B1、 C1的坐标；（2）在 y 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，请画出点 P 的位置【分析】（1）分别作出点 A， B， C 关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，再连接 A B，与 y
26、轴的交点即为所求【解答】解：（1）如图所示， A1B1C1即为所求，由图知， A1的坐标为（1，1）、 B1的坐标为（4，2）、 C1的坐标为（3，4）；（2）如图所示，点 P 即为所求【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径四、解答题（本题共 3 小题，其中 21、22 题各 9 分，23 题 10 分，共 28 分）21（9 分）某小区为了排污，需铺设一段全长为 720 米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的 1.2 倍，结果提前 2 天完成任务，求原计划每天铺设管道的
27、长度【分析】设原计划每天铺设管道为 xm，故实际施工每天铺设管道为 1.2xm等量关系为：原计划完成的天数实际完成的天数2，根据这个关系列出方程求解即可【解答】解：设原计划每天铺设管道 x 米 由题意，得 解得 x60 经检验， x60 是原方程的解且符合题意 答：原计划每天铺设管道 60 米【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力期中找到合适的等量关系是解决问题的关键22（9 分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等（1
28、）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如： ax+by+bx+ay（ ax+bx）+（ ay+by） x（ a+b）+ y（ a+b）（ a+b）（ x+y） 2xy+y21+ x2 x2+2xy+y21（ x+y） 21（ x+y+1）（ x+y1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：x2+2x3 x2+2x+14（ x+1） 22 2（ x+1+2）（ x+12）（ x+3）（ x1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式： a2 b2+a b；（2）分解因式： x26 x7；（3）分解因式：
29、a2+4ab5 b2【分析】仿照题中的方法，得到十字相乘法的技巧，分别将各项分解即可【解答】解：（1）原式（ a+b）（ a b）+（ a b）（ a b）（ a+b+1）；（2）原式（ x7）（ x+1）；（3）原式（ a b）（ a+5b）【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键23（10 分）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为A（0， m）、 B（ n，0），且| m n3|+ 0，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）求 OA、 OB 的长；（2）连接
30、 PB，设 POB 的面积为 S，用 t 的式子表示 S；（3）过点 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 x 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 P，使 EOP AOB？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得 m、 n 的值，即可解题；（2）连接 PB， t 秒后，可求得 OP6 t，即可求得 S 的值；（3）作出图形，易证 OBA OPE，只要 OP OB，即可求证 EOP AOB，分两种情形求得 t 的值，即可解题【解答】解：（1）| m n3|+ 0，且| m n3|0， 0| m n3|
31、 0， n3， m6，点 A（0，6），点 B（3，0）；（2）连接 PB，t 秒后， AP t， OP|6 t|， S OPOB |6 t|；（ t0）（3）作出图形， OAB+ OBA90， OAB+ APD90， OPE APD， OBA OPE，只要 OP OB，即可求证 EOP AOB， AP AO OP3，或 AP OA+OP9 t3 或 9【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 EOP AOB 是解题的关键五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题 11 分，25、26 题各 12 分，共 35 分）24（11 分）某商家预测一种应季衬
32、衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，根据第二批这种衬衫单价贵了 10 元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价 y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答【解答】解：（1）设该
33、商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，依题意有+10 ，解得 x120，经检验， x120 是原方程的解，且符合题意答：该商家购进的第一批衬衫是 120 件（2）3 x3120360，设每件衬衫的标价 y 元，依题意有（36050） y+500.8y（13200+28800）（1+25%），解得 y150答：每件衬衫的标价至少是 150 元【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键25（12 分）在 ABC 中， AB AC， BAC（060），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD（1
34、）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含 的式子表示）；（2）如图 2， BCE150， ABE60，判断 ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接 DE，若 DEC45，求 的值【分析】（1）求出 ABC 的度数，即可求出答案；（2）连接 AD， CD， ED，根据旋转性质得出 BC BD， DBC60，求出 ABD EBC30 ，且 BCD 为等边三角形，证 ABD ACD，推出 BAD CAD BAC ，求出 BEC BAD，证 ABD EBC，推出AB BE 即可；（3）求出 DCE90， DEC 为等腰直角三角形，推出 DC CE BC，求出 EBC15，得出方程 3
35、0 15 ，求出即可【解答】（1）解： AB AC， A， ABC ACB， ABC+ ACB180 A， ABC ACB （180 A）90 ， ABD ABC DBC， DBC60，即 ABD30 ；（2） ABE 是等边三角形，证明：连接 AD， CD， ED，线段 BC 绕 B 逆时针旋转 60得到线段 BD，则 BC BD， DBC60， ABE60， ABD60 DBE EBC30 ，且 BCD 为等边三角形，在 ABD 与 ACD 中 ABD ACD（ SSS）， BAD CAD BAC ， BCE150， BEC180（30 ）150 BAD，在 ABD 和 EBC 中 ABD
36、 EBC（ AAS）， AB BE， ABE 是等边三角形；（3）解： BCD60， BCE150， DCE1506090， DEC45， DEC 为等腰直角三角形， DC CE BC， BCE150， EBC （180150）15， EBC30 15，30【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS， ASA， AAS， SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等26（12 分）如图 1，Rt ABCRt DFE，其中 ACB DFE90， BC EF（1）若两个三角形按图 2 方式
37、放置， AC、 DF 交于点 O，连接 AD、 BO，则 AF 与 CD 的数量关系为 AF CD ， BO 与 AD 的位置关系为 BO AD ；（2）若两个三角形按图 3 方式放置，其中 C、 B（ D）、 F 在一条直线上，连接 AE， M 为 AE中点，连接 FM、 CM探究线段 FM 与 CM 之间的关系，并证明；（3）若两个三角形按图 4 方式放置，其中 B、 C（ D）、 F 在一条直线上，点 G、 H 分别为FC、 AC 的中点，连接 GH、 BE 交于点 K，求证： BK EK【分析】（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题；（2）结论： FM MC
38、， FM CM如图 3 中，延长 FM 交 CA 的延长线于 H想办法证明 FCH是等腰直角三角形， FM MH 即可解决问题；（3）如图 4 中，连接 BH， EG，在 HG 上取一点 J，使得 BJ BH想办法证明 BKJ EKG即可解决问题；【解答】解：（1）如图 2 中，Rt ABCRt DFE（已知）， AB BD， BC BF， AF CD， AFO DCO90， AOF DOC， AOF DOC（ AAS）， OA OC， BA BD， BO 垂直平分线段 AD BO AD，故答案为： AF CD， BO AD（2）结论： FM MC， FM CM理由：如图 3 中，延长 FM
39、交 CA 的延长线于 H ACB+ EFC180， B， F， C 共线， EF CH， EFM H， EM MA， EMF AMH， EFM AHM（ AAS）， FM MH， EF AH， FCH90， CM FM MH，即 FM MC，Rt ABCRt DFE（已知）， BF AC， EF BC， BA AH， FC CH， FM MH， CM FM（3）如图 4 中，连接 BH， EG，在 HG 上取一点 J，使得 BJ BHRt ABCRt DFE（已知）， BC EF， AC CF， CH AH， CG GF， CH FG， BCH F90， BCH EFG（ SAS）， CBH FEG， CH CG， GCH90， CGH CHG45， BHG18045 GBH135 GBH， CGE CGH+ HGE90+ GEF， HGE45+ GEF， HGE+ BHG180， BJK+ BJH180， BJH BHJ， BJK HGE， GE BH BJ， BKJ GKE， BKJ EKG（ AAS）， BJ GE【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题
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