1、 专题七 整式的加减法要点归纳1同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 ，几个常数项也是同类项2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做 ，合并同类项后，所得的项的系数是合并前同类项的系数的和，且字母连同它的 不变3去括号法则：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 4整式的加减：一般地，n 个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 典例讲解经典再现一、同类项的识别所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，如 ， ， 都221x和 32ab和 145和 是同类项，判 断一个多项式中的项是否是同类项有两个条件：（1）所含字母相同；
2、（2）相同字母的指数分别相等，两者缺一不可例 1 下列各组中的两个式子不是同类项的是（ ）A B C D332ya和 3312xy和 2256abx和 229amb和【思路点拨】A、C、D 选项中所含字母相同，且相同字母的指数也相同；B 项中，所含字母相同，但相同字母的指数不同解：B【方法规律】同类项与项中字母及其指数有关，与系数无关；同类项与项中字母排列的先后顺序无关；所有常数项都是同类项例 2 指出下列多项式中的同类项：（1） （2） 531437xyx222174846ababab【思路点拨】找出所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项即为同类项解：（1） 是同类项， 是同类项，1 与
3、7 是同类项；x与 3y与（2） 是同类项， 是同类项22746ab与 222,84baab与二、由同类项的概念确定字母的值由同类项概念建立相同字母指数相同的等式求解例 3 若 是同类项，求 m，n 的值325mnxy与【思路点拨】由 是同类项可知相同字母的指数相等325mnxy与解：m2，n3.三、合并同类项合并同类项时，只需把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变例 4 合并同类项：(I)x3 2x 2yy 2xyx 2 2xy 2 y 3; (2)2(x 2y) 27(x2y) 33(x2y) 2 一（x2y) 3.【思路点拨】(l)先找同类项，再合并系数； (2)把
4、（x2y） 2、 （x2y） 2 当作整体来算，找同指数的合并系数解：(l)原式x 3 (2 1)x2y(12) xy 2 y 3 x 3 3x 2y3xy 2 y 3;(2)原式(23)（x2y） 2 一(71)（x2y） 35（x2y） 28（x2y） 3来源:学科网例 5 下列式子正确的有( )2xy 3 7y 3x 一 5x 3y;3x 2y2xyl;a 2 a 2 a 4;3x2y 一 5xy；4ab4abab ；一 ab2 一 ab2 4ab213A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】中 2xy3 与一 7y3x 为同类项，合并后应得一 5xy3，而不是一 5x3y；
5、和的式子中等号左边两项都不是同类项，不能合并；错把字母的指数相加；合并后应为 0；正确，解：A【方法规律】合并同类项时可在同类项下用符号标记，不同的同类项，用不同的符号标记，注意要包含该项的符号.四、去括号法则当括号前是“”号时，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都不改变符号；当括号前是“一”号时，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里的各项都改变符号例 6 去括号，合并同类项：(1)一(xyab)(2xyab); (2)(3yz 2xz3xy)2（xy3yz 3xz） ；(3) (3a 2 5a 2)一（2a 2a3） 【思路点拨】(l)中括号前是负号，去括号后原括号内的每项符号都要改变
6、；(2)括号前有系数一 2，去括号后要与原括号内的每一项相乘；(3)中有两个括号，前面的都是负号，去括号时，括号内的每项符号都要改变解：(1) 原式xyab2xyabxy 2ab；(2)原式3yz2xz 3xy2xy6yz 6xz9yz8xzxy ;(3)原式3a 25a 2aa3一 5a2 4al .【方法规律】当括号前有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，执意不要乘括号内的每一项.例 7 计算：2（x 2 3x5）(x 24x3) （2x 23xl） 【思路点拨】去括号时应逐项有序进行，合并同类项时，通常是按某一个字母降幂排列解：原式 2x 26x1O x 2 4x3 2x
7、2 3xl（221）x 2（364）x（1103)3x 2 13x6【方法规律】合并同类项要完整彻底，不能项项五、化简求值先去括号、合并同类项，再把字母的值代人化简后的式子中求值.例 8 先化简，再求值(l) （4x 3 一 x2 5）（ 5x2x 3 4） ，其中 x 1;(2)（ab a ）（ a ab1） ，其中 a ，b234【思路点拨】将所求式去括号合并同类项，然后再代入求值，解：(l)原式一 4x3 x 255x 2 x 3 4 5x 3 6X 2 9当 x1 时，原式5（1） 36（1） 292；（2）原式 ，132abab753a当 a ，b 时，原式 .434661一、你会找
8、隐含条件吗？例 1 已知多项式(m4)x 4 xnxn 是关于 x 的二次三项式，求 m 与 n 的差的相反数，【思路点拨】能使多项式为二次式的只有x n 为关于 x 的二次式解：依题意可得：n2，m 40，m 4.所以 (mn)（42）6，即 m 与 n 的差的相反数为 6【方法规律】从“x n 为二次式”切入、破题.例 2 已知代数式（2x 2 ax y6）一（2bx 23x5y1） 当 a、b 取何值时，此代数式的值与字母 x、的取值无关？【思路点拨】代数式的值与字母 x 的取值无关，则将原多项式整理成按 x 的降幂排列式后，含有x、x2 项的系数一定为 O，由此可求 a、b 的值解：（
9、2x 2 axy6）( 2bx23x 5y1) 2x 2 axy62bx 2 3x 5yl(2 2b)x2(a3)x6y7，因为此多项式的值与字母 x 的取值无关，所以 2 2b0 且 a30，b1，a 3.例 3 已知代数式一 3am1 b3 与 anb2n 的和仍然是一个单项式，求 mn 的值5【思路点拨】两个单项式的和仍是一个单项式，说明这两个单项式是同类项解：由题意可得 mln，32n，所以 m2，nl二、你能去多重括号吗？去多重括号，可以先去大括号，再去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，即先去小括号，再去中括号，后去大括号例 4 化简：(1)3a 3b7ab 2 一（4ab
10、2 3）5a 3b；(2)14x2 3x 2 5x8x 2 一（2x 2 一 z) 7x3x） 【思路点拨(l)中注意小括号和中括号前都是负号，故去括号后原括号内各项应变号；(2)中因小括号和大括号前是负号，故去括号后原括号内各项应变号，解：(l)方法一：原式3a 2b7ab 24ab23 5a2b3a 2 b 7ab2 4ab 2 35a 2b 8a2b 3ab23，方法二：原式3a 2b 7ab 2 (4ab 2 3)5a 2b 3a 2b 7ab 2 4ab 2 35a 2b 8a 2b3ab 23.(2)方法一：原式14x 2 3x 25x 8x22x2 x7x 23x）14x 2 3
11、x 2 5x8x 22x2 x7x 2 3x14x 2 3x 25x 8x 2 2x 2 x 7x 23x4x 29x.方法二：原式14x 2 3x 25x8x 2（2x 2 一 x）7x 2一 3x14x3x5x8x（2xx）7x 3x 14x 2 3x 25x 一 8x2 2x 2x 7x 23x4x 29x.【方法规律】去括号时，一般顺序为先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号.三、借助数轴对含绝对值代数式化简正确地打开绝对值是成功化简含绝对值代数式的关键，根据绝对值符号里代数式的性质确定其整体前面添加“”或“一”号，再用去括号的方法去括号、合并
12、同类项化简.例 5 已知 a、b、c 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简bc ac ba abc【思路点拨】先结合数轴分析 a、6、c 的大小，可知 ab0c由此化掉题目中的绝对值的符号，然后合并同类项，化简解：由题可知：ab0c，且 bc 0，ac0，ba0，abc0，所以，bca c baabc （bc）（ac）（ba）（abc ）bcacbaa bcabc.【方法规律】本题运用了数形结合思想，结合数轴确定绝对值符号内代数式的性质，再化去绝对值的符号、去括号，合并同类项.四、整体代入法求代数式的值求整式的值，一般先化简后求值，当题目中含未知数的部分可以构成一个整体时，一般用整体代入法，这
13、样会使计算更简洁例 6 若当 x2 时，多项式 ax3 bx1 的值为 6，则当 x2 时，多项式 ax3 bx1 的值为_【思路点拨】把 x2 代入 ax3 bx1 中，可得 8a2b16，则 8a2b5，而当 x2 时，ax3bx1 8a2bl （8a 2b）1，当 8a2b5 时，一(8a2b) l 51 一4.解：4【方法规律】把 8a2b 视作一个整体，不考虑 a、b 的值，整体代入（8a2b）1 中例 7(1)已知 xy3，xy4，求整式(3xylOy)5x（2xy2y3x的值(2)已知 a2ab 5，ab b23，求 a2b 2 及 a23ab2b 2 的值来源:Zxxk.Com
14、【思路点拨】先将要求的代数式进行化简或变形，变成含有已知式的形式，再将已知式整体代入求值解：(l)原式一 3xylOy 5z 2xy 2y3xxy8y8xxy8( ry)把 xy 3xy4 代入原式，则原式38429.(2)因为 a2 ab 5，abb 23，所以 a2b 2(a 2 ab) （abb 2）5 （3）8又因为 a2 3ab 2b 2 一(a 2 ab) 2ab2b 2(a 2 ab)2(abb 2) 52（一 3） 1【方法规律】根据已知条件，把要求的式子拆分成已知条件构成的代数式，可直接代入求值.五、整式在生活实际问题中的应用例 8 如图，用代数式表示图中阴影部分的面积，【思
15、路点拨】阴影部分是一个不规则图形，不能直接求其面积，用矩形（长为（a_b） 、宽为 a）面积减去 3 个扇形（分别以 a、b、 （a b）为半径，圆心角为 90）面积即可表示解：a（ab） .214a2b21()4ab【方法规律】 （ab） 2 作为一个整体，不要写成 a2b 2例 9 某公园准备修建一块长方形草坪，长为 30 米，宽为 20 米，并在草坪上修建 如图所示的十字路，已知十字路宽 x 米，用含 z 的代数式表示：(l)修建的十字路面积是是多少平方米？(2)草坪（ 阴影部分）的面积是多少 平方米？【思路点拨】(l)十字路面积两条小路面积一交叉部分面积；(2)草坪面积矩形面积(203
16、0) 两条小路面积，解：(1) 30x20xx 250xx 2（平方米）(2)600（30x20xx 2）60050xx 2（平方米）例 10 图是某月的日历(1)带阴影的方框中的 9 个数之和与方框正中心的数有什么关系？(2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，你能得出什么结论？你知道为什么吗？(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？解：(l)带阴影的方框中的 9 个数之和是 11 的 9 倍 (2)带阴影的方框中的 9 个数之和是正中间数的 9 倍，理由如下：设方框正中心的数为 x，则其余八个数分别为：x8，x7，x6，x1，xl，x6，x7，x8，阴影的方框中
17、的 9 个数之和为：(x8)（x7） (x6)x(x6)(x7)(x8)9x，所以带阴影的方框中的 9 个数之和是正中间数的 9 倍(3)这个规律对任何一个月都成立六、整式运算 中的“将错就错”例 11 一同学做一道题：“已知两个多项式 A、B，计算 2AB” ，他误将“2AB”看成“A2B” ，求得的结果为 9x2 2x7，已知 Bx 23x 2，请求出正确的答案.【思路点拨】由 A2B9x 2 2x7，Bx 2 3x2，得到 A 的多项式，再求 A、B 的多项式A2B 的式子.解：由题意，得 A2（ x2 3x 2）9x 2 2x7，A9x 22x7 2(x 2 3x 2)9x 22x72
18、x 2 6x47x 2 8x ll .所以，正确答案为：2A B2(7x 2 8xll)（x 23x2）14x 2 16x22 x 2 3x 215x213x20.【方法规律】由看错的式子，得到正确的代数式 A，再由 A、B 式求正确的代数式这就是将错就错.实战演练A 链接中考1下列各组整式中，不是同类项的是( )A. 5m2n 与 nm2 B a4y 与 ay41315Cabc 2 与 2103abc2 D2x 3y 与 3yx32.合并同类项4a 2b3a 2b(43)a 2b a 2b 时，依据的运算律是( )A.加法交换律 B乘法交换律 C分配律 D乘法结合律3下列计算正确的是( )A
19、. 3a22a 2 1 B.5 2x 33x 3 C.3x2 2x 35x 5 D.a3 a 32a 34下列各式加括号后正确的是( )Aabca (bc ) B.abca（bc）Ca bc a (bc ) D.abca（bc）5下列运算正确的是( )A2 (ab) 2a b B.2（a b）2abC 2(a b)一2a2b D.2（a b）2a2b6减去6x 等于 4x2 3x7 的代数式是( )A. 4x29x7 B.4x 23x7 C.4x 23x7 D.4x 29x77若单项式_2ab 2 与一 mab2 是同类项，并且它们的值互为相反数，则 m 的值是( )A.0 B2 C2 D无法
20、确定8把多项式 2x2 5xx 2 4x 3x 2 合并同类项后所得的结果是( )A.二次二项式 B二次三项式 C次二项式 D单项式9某商店一季度收入 a 元，一月份的收入占本季度的 ，二月份的收入占本季度的 ，三月份的收入2527_元10化简：a（bc ）_.11.已知轮船在静水中的速度是 a 千米时，水流的速度是 4 千米时，则轮船在逆水中航行 2 小时的路程是_千米12.x y 的相反数是_13.若 5x2y3ax 2y38x2y3，则数 a_若4x ayx 2y 3x 2y，则 ab_14.三角形的第一边是 m3n ，第二边比第一边小 n2，第三边比第二边大 2，这个三角形的周长是_.
21、15.合并下列各式的同类项：(1) 3xx x； （2）7mn3mn 5mn2mn；32(3) ； （4）8abab4ab ab5ab 3.2 24y 2516.计算：（1） ； （2） （3xxy6）（4x2xy6） ；22221()()()3abbaa(3) (2x2 2x)4(xx 21) ; (4) 3a 2 6a (4a3)2a 2.17.先化简, 后求值(1) 其中23(),aba20,1b(2) ,其中2(45)3aB 冲刺中考18. 已知 ,则 的值是( )22(3)0xyz2xyzA. 6z B. 7z C. 8z D. 9z19. 三角形第一边长为 ,第二, 第三边的长分别
22、比第一边长大 和 ,那么这个三角形的周长为( )ab 5a2bA. 2a+3b+c B. 3a+4b 5 C. 4a+5b 5 D. 2a+3b+520. 如图 , 边长为 (m+3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后, 剩余部分可剪拼成一个矩形( 不重叠无缝隙), 若拼成的矩形一边长为 3, 则另一边长是( )A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+621. 如果多项式 中不含 项, 则 的值为( )32245xkx2xkA. 2 B. 2 C. 2 或 2 D. 022. 化简 得( )()()yzyzA. 2y B. 2z C. 2y D. 2z23. 一个多项
23、式加上 ,再减去 等于 ,这个多项式为( )345a26a3aA. B. C. D. 2986a2929862986a24. 若 成立, 则 的值分别为( )22()()xyxbyxyc,bcA. 3， 7， 1 B. 3，7， 1 C. 3，7， 1 D. 3， 7，125. 已知 ，则 与 的大小关系是( )2243,6MxNxMNA. B. C. D. 不确定26. 下列添括号中错误的是（ ）A. B. 22()()ababa()()()()abcabcC. D. 来源:学科网 ZXXKcdc 27. 一台微波炉成本价是 a 元, 销售价比成本价增加 22%,因库存积压降价到售价的 60
24、%出售, 则每台实际售价为( ) 元A. a（1+22%）(1+60%) B. a（1+22%）60%C a（1+22%）(1 60%) D. A. a（1+22%+60%)28. 当 分别等于 3 和 3 时, 多项式 的值是( )x 24653xA. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 异号29. 多项式 是关于 x 的二次三项式, 则 m=_1(2)7mx30. 张祥由于粗心, 在计算 时, 误将“+”看成“” ，结果得 12，则 的值为_41N41N31. 实数 在数轴上对应点如图所示，化简 等于_,abc abc b c0a32. 如图, 在图中, 互不重叠的三角形共 4
25、个, 在图中 , 互不重叠的三角形共 7 个, 在图中, 互不重叠的三角形共 10 个, , 则在第 n 个图形中, 互不重叠的三角形共_个(用含 n 的代数式表示)33. 张大伯从报社以每份 0.4 元的价格购进了 a 份报纸, 以每份 0.5 元的价格出售了 b 份报纸, 剩余的以每份 0.2 元的价格退回报社, 则张大伯卖报收入是_元来源:学&科&网 Z&X&X&K34. 计算(1) (2) 222()()abacbac22114(5)33xx35. 化简求值(1) ,其中22233()abacbacb1,23abc(2) 若 ,试求 的值2()103xy2213()()23xyx36.
26、 关于 的多项式 不含二次项, ,xy22644mxnyxy求多项式 的值2210nn37. 观察下列各式(1) (2) (3) (4) ()ab23(2)x530(6)x6()x探索一下以上四个式子中括号的变化情况, 它和 去括号法则有什么不同? 利用你探索的规律, 解答下面题目: 已知 ,求 的值25,1b221abC 决战中考38. 已知 满足 , z 是最大的负整数, ,xyz2(3)0xy化简求值: 2()4xy39. 设 a 表示一个两位数,b 表示一个三位数 , 把 a 放在 b 的左边, 组成一个五位数 x, 把 b 放在 a 的左边, 组成一个五位数 y, 试问 9 能否整除
27、 x-y? 请说明理由40. 仔细观察下列三组数:第一组:1,4,9,16,25, 第二组:1,8,27,64,125, 来源:学科网第三组: 2, 8, 18, 32, 50, (1) 写出每组的第 6 个数各是什么?(2) 第二组的第 100 个数是第一组的第 100 个数的多少倍？(3) 取每组的第 n 个数, 计算这三个数的和.41. 若有理数 在数轴上的位置如图所示,A 点对应的数是 2, 且abc 25dabac试求 的值.2 27()()5()3()ddcc b A0ca42. 将连续的奇数 1,3,5,7, 排成如图所示的数阵:(1) 十字框中的五个数的和与中间数 15 有什么关系?(2) 设中间数为 a, 用代数式表示十字框中五数之和(3) 若将十字框上下，左右平移，可框任意另外五个数，这五个数的和还是有这种规律吗？(4) 十字框中五个数之 和能等于 2016 吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由.
浙公网安备33030202001339号