1、 专题三 有理数的加减法要点归纳1有理数的加法法则：同号两数相加，取_的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较_的加数的符号；互为相反数的两数相加，和为 0；一个数与 0 相加，仍得这个数2用字母表示加法法则：同号两数相加，若 a0，b0，则 ab_；若 a0，b0，则 ab_；异号两数相加，绝对值不相等时，若 a0，b0，|a| |b|，则 ab_ _；若a0，b0，|a| |b|，则 a b_；若 a0，b0 ，| a|b| ，则 ab_；a0a3有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用式子可以表示为：_4代数和：把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个
2、正数或负数的和的形式，这种算式称为_5加减混合运算的步骤：运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为_，统一成代数和的形式；运用加法法则，加法运算律进行运算典例讲解经典再现一、有理数的加法法则例 1 计算：（1）(15)( 7)； （2）(1 )( 2 )；41（3）(14.2)( 14.2) ； （4）(3.14)0【思路点拨】 （1）两个负数相加，结果为负；（2）异号两数相加，因为|1 |2 |，所以符号取正；214（3）互为相反数的两数和为 0；（4）一个数同 0 相加，仍得这一个数解：（1）(15)( 7)22；（2）(1 )( 2 ) ；143（3）(14.2) ( 14.2
3、)0；（4）(3.14)03.14【方法规律】计算有理数加法的步骤：先定符号；再算绝对值；最后做加、减法二、对加法法则的理解例 2 下列说法正确的是（ ）A两个有理数相加，和的绝对值等于它们的绝对值 之和B两个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和C一个正数和一个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和D一个正数和一个负数相加等于 0【思路点拨】可用一些具体的数验证上面的说法解：B【方法规律】有理数的加法分同号、异号、与零相加三种情况，计算时先定符号，再计算绝对值的和或差例 3 下列说法正确的是（ ）A两数之和一定大于每个加数 B两数之和一定小于每一个加数C两数之和一定介于两个加数之间 D以
4、上皆有可能【思路点拨】对于 A、B、C 选项，可分别举一个反例来证明它们是错误解：D三、有理数加法运算律（1）加法交换律：abba；（2）加法结合律：(ab)ca(bc)；来源:学科网 ZXXK使用加法交换律和结合律，移动加数位置时，一定要连同数前面的符号一起移动，用运算律计算可以减少反复确定结果符号的次数，也可以使运算变得简单例 4 计算：16(25)24(32) (5)( 13)【思路点拨】根据本题的特点，可分正、负两组数进行计算解：原式(1624) (25)( 32)( 5)(13) 40( 75)(7540)35【方法规律】同号 n 个数相加，容易确定和的符号，最后剩下一对异号的数相加
5、，和的符号取绝对值大的加数的符号，并且较大的绝对值减去较小的绝对值例 5 下列各式能用加法的运算律简便计算的是（ ）A6 1 B5 (2 )243 31C(8)(7.5) (2)(4.5) D4 ( )(3 )(2 )8754【思路点拨】C 选项中，可按正、负数分组，也可把 7.5 和4.5 作一组，8 与2 作一组，分别求和，再相加解：C来源:学科网【方法规律】用运算律的目的是使计算简便，因此，计算时，应该怎样算简便就怎样算四、有理数加法的实际应用在运用有理数加法解决实际问题时，必须先确定何为“正” ，何为“负” ，然后才可以依据要求列出式子，最后用适当的方法计算得出结果例 6 某旅游景区，
6、今年第一季度盈利 2200000 元，第二季度亏损 800000 元，则该景区今年上半年的效益为多少？【思路点拨】设定盈利为“正” ，则亏损为“负 ”，再列加法计算出结果解：2200000(800000)1400000（元）即该景区今年上半年的效益为盈利 1400000 元【方法规律】做有理数的实际应用性题目时，先根据题意，设定“正|” 、 “负” ，再计算，并由此作答五、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 aba(b) ，在减法变为加法的时候，要注意“两变”：运算符号由“”号变为“”号；减数变为原来的相反数例 7 计算：（1）3.3(4.7)； （2）7 (8 )； （3）
7、( 3 )5 ；41216（4）0100； （5）(8) 0； （6）8.5(5.7)【思路点拨】按减法法则，先将减法转化为加法，然后根据有理数加法的法则及运算律进行计算解：（1）3.3(4.7)3.3(4.7) 1.4；（2）7 ( 8 )7 8 1 ；41242（3）(3 )5 ( 3 )(5 )8 ；（4）01000(100)100；6161（5）(8) 08；（6）8.5( 5.7)8.55.714.2【方法规律】一个数减 0 等于这个数本身六、有理数加减混合运算有理数混合运算的步骤：运用有理数减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成和的形式；运用加法法则、加法运算律进行运算
8、例 8 计算：（1）(3 )( 5 )(7 )； （2）7.54(5.72)( 12.46)(4.28) 231【思路点拨】 （1）含分数的有理数运算中，同分母的数可优先计算；（2）含小数的有理数运算中，可以使用凑整法，简化运算过程解：（1）(3 )( 5 )(7 )3 5 7 3 (5 7 )3 139 ；21212121（2）7.54(5.72)( 12.46) (4.28)7.545.7212.464.28(7.5412.46)(5.72 4.28)201010【方法规律】有理数的混合运算中，要注意正确的运算步骤拓展探究一、有理数加法运算律 的运算技巧利用有理数的加法运算律，为了使计算简
9、单，运算时常用到一些技巧，如：相反数结合法；同号结合法；同分母结合法；凑整法；同形结合法、带分数相加时，先将其拆成整数和分数，再利用加法运算律相加例 1 用简便方法计算：（1）(0.5)( 3 )2.75(7 )； （2）( )( 2 )(1 )(1.75)4113432【思路点拨】分数与小数混合的有理数加法中，应先把小数与分数的形式统一之后，再进行计算解：（1）(0.5)( 3 )2.75(7 )( 0.5)( 3.25)2.75(7.5) (0.5)( 3.25)22.757.5 ( 3. 75)10.256.5；（2）( )( 2 )(1 )( 1.75)( )(2 )(1 )( 1 )
10、( )(1 )3433432432(2 )( 1 )( 2 )(1) 3 1【方法规律】 （1）中用到同号结合法；（2）中用到同分母结合法，也可用同号结合法例 2 计算：(3 )( 2 )(7 )5 ( 8 )( 7 )431435281【思路点拨】(7 )与7 结合、(2 )与(8 )结合、(3 )与 5 结合起来计算比较简便81 43解：原式(3 )5 (2 )(8 )( 7 )(7 )9(11)02435218【方法规律】多个分数相加，互为相反数的数或同分母的数优先相加例 3 计算：(2015 )( 1999 )(4015 )653232【思路点拨】把每个带分数的整数部分与真分数部分分开
11、，再分整数、分数分别进行计算解：原式(2015)( )(2000)( )40151( 2015)(2000)4015( )( ) 65320( ) 61【方法规律】有时拆分带分数为整数部分与分数部分，可使计算简便例 4 用不同的简便方法计算：(1) (2)(3)(4)( 99)(100) 【思路点拨】可用不同的分组的方法求和方法一：原式(1)(2)( 3)(4) (99)( 100) 50；个50)1)(1方法二：原式1(2) ( 3)(4) (5)( 6) (7)(8 )(97）(98) (99)(100) 50个25)()二、用作差法比较两个有理数的大小比较两个有理数 a 与 b 的大小，
12、可以先求出 a 与 b 的差 ab：若 ab0，则 ab；若ab0，则 ab；若 ab0，则 ab例 5 若 x 15.25( )，y 11.254.5，比较 x 与 y 的大小3132【思路点拨】先求出 x 与 y 的差，再比较 xy 与 0 的大小关系解：因为 xy 15.25( )(11.254.5)(1)26.54.5210，所以 xy三、有理数加减混合运算的步骤方法和技巧做有理数加减混合运算时通常分两个步骤：运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成代数和的形式；运用加法法则、加法运算律进行计算常见的技巧：正数和负数分组计算；互为相反数的两个数结合；同分母分数相结
13、合；凑整；拆带分数为整数和分数两部分参与计算例 6 计算：（1）(0.125)( 4 )(2 )( 12 )0.75；814375（2）(7)3.7869(5) (5 )( 3 )( 1.7869)1【思路点拨】 （1）把小数、分数统一为分数形式较容易识别并结合同分母；（2）用凑整法分母结合解：（1）原式 (4 )(2 )(12 )814754(2 ) ( 4 )(12 ) 2(4)(12 )18 38175（2）原式3.7869(1.7869)(7) (5)( 5 )(3 )14212(5 )(3 )5 2141【方法规律】分组结合时，注意括号的使用四、数轴上两点间的距离表示数轴上两点间的距
14、离可用右边点表示的数减去左边点表示的数，或用两个点表示的数相减的绝对值表示，如 ABy x |xy| 例 7 已知数轴上两点 A 与 B（1）若 A 表示 3，B 表示 5，则 A，B 之间的距离为_；（2）若 A 表示 3，B 表示3，则 A，B 之间的距离为_；（3）若 A 表示2，B 表示 3，则 A，B 之间的距离为_；（4）若 A 表示2，B 表示3，则 A，B 之间的距离为_；（5）猜想：若 A 表示数 a，B 表示数 b，则 A、B 之间的距离为_yxBA【思路点拨】画数轴来分析问题解：（1）2 （2）6 （3）5 （4）1 （5）|ab|五、有理数加减法的实际应用例 8 甲、乙
15、两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动 0.2 米，又向甲队方向移动了 0.5 米，相待一会儿，又向乙队方向移动 0.4 米，随后又向甲队方向移动 1.3 米，在大家的欢呼声中标志物又向甲队方向移动 0.9 米如果规定，标志物向某队方向移动 2 米，该队即可获胜，那么最终哪队取得了胜利？【思路点拨】先规定标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，然后列式计算，比较结果与 2米的大小解：设标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，依题意，得(0.2)(0.5)(0.4)( 1.3)(0.9)0.20.50.41.30.9(0.51.30.9)(0.2 0.4)2.70.62.1（米）所
16、以，最终甲队取得了胜利实战演练A 链接中考 来源:Zxxk.Com1某天一股票开盘价为 18 元，中 午跌了 1.5 元，下午收盘时又涨了 0.3 元，则该股票的收盘价是（ ）A0.3 元 B1.62 元 C16.8 元 D18 元2下列计算正确的是（ ）A(20) (30)10 B(31)( 11)20C(3)(3) 0 D(2.5)( 2.1)0.43如果两个有理数的和大于零，那么（ ）A两个有理数一定都是正数 B两个有理数一个一定是正数，一个一定是负数C两个有理数不可能都是负数 D两个有理数可能都是零4计算 2(3)的结果是（ ）A5 B1 C1 D55. 5 的绝对值与 5 的相反数的
17、差是（ ）A. 0 B. 10 C. 10 D. 456. 下列说法中，正确的是（ ）A. 两数相减，被减数一定大于减数 B. 0 减去一个数仍得这个数C. 互为相反数的两个数的差为 0 D. 减去一个正数，差一定小于被减数7. 小萌在下面的计算中只做了一道题，他做对的题是（ ）A. B. （7）（3）102()05C. D. 672(6)8.计算： ，这一步运算运(1.)(7.3.58.15(.7)(2.5)1.(8.50(7.3)用了（ ）A. 加法的交换律 B. 加法的结合律 C. 加法的交换律和结合律 D. 以上都不对9. 某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（250.1）kg
18、、 （250.2）kg、 （250.3）kg 的字样，任意取出两袋，它们的质量最多相差（ ）A. 0.8kg B. 0.6kg C. 0.5kg D. 0.4kg10、下列各式中，与式子abc 相等的是（ ）A. bac B. bac C. acb D. bac11、有理数 A. b 在数轴上的位置如图所示，则 ab 的值（ ）A. 大于 0 B. 小于 0 C. 小于 a D. 大于 b12、用“”或“ ” 填空：（1）如果 a0，b0，那么 ab_；（2）如果 a0, b0， 那么 ab _;(3)如果 a0, b0, | a| b|，那么 ab_;(4) 如果 a0, b0, | a|
19、b|，那么 ab_;13、甲、乙、丙三地的海拔高度分别是 200 米，50 米，150 米，那么最高的地方比最低的地方高_米.14、下列计算运用律恰当的是有_( 填序号)28(18)(22)(18)(22)(286) 111()2424 33.5()(8.).5(2)8.4515、把 转化为加法为_.110.2616. 已知 x25, y 30, z38，则x yz_.17. 三个数15，5,10 的和比它们的绝对值的和_.18、计算：(1) ； (2)0(4)；71()86(3) (4) 23(17)6(2)(2)31()2(4)(5) (6) .4413()()13771(4)6()324
20、19、计算来源:Zxxk.Com(1) (2) (7)9(3)54.2578.10(3) (4) 1524633.142.(1.9)(5) (6) 12()7(1)3(1)B 冲刺中考20. 在 1、1、2 这三个数中，任意两数之和的值中，最大值是_.21、有理数 A. b 在数轴上的位置如图，则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 以上答案都不对0a()0ab0ab22、如图，A、B 两点间的距离是_；B、C 两点间的距离是_.x1234 12340C A23、下列各式可以写成 abc 的是( )A. B. 来源:学+科+ 网()ab(cC. D. 24、已知|a| 3, |b|5，
21、则| a b|_.25、8 和 5 加上同一个数 x 后所得结果互为相反数，则 x_.26、如果 A. B. c 是有理数，且 abc 0，那么( )A. 三个数有可能同号 B. 三个数一定是 0C. 一定有两个数互为相反数 D. 一定有一个数的相反数等于其余两个数之和27. x 与1 的差是1 ，则 x 值为_.28. 若|x| 5, |y|3，且 xy ，则 xy 等于( )A . 8 B. 2 C. 8 或2 D. 2 或 829、下列式子一定成立的是( )A. B. C. D. |0x0x|0x |0x30. a, b 两数在数轴上的位置如图所示，Mab, Nab, Hab, Gab,
22、 则下列各式中正确的是( )A. GHMN B. G NM H C. GM NH D. GN H M31、如图是一个由六个小正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面都分别写着1,2，3，4,5，6 六个数字，那么图中所 有看不见的面上数字之和是_.32、计算：(1) (2 21()42|34|(58)|1|(520)(3) (4) 341()5|73135()642833、用简便方法计算：(1) (2) (23)59(41)59(3.8)27(0.5)13(0.2)(3) 737212()5(1)(3)8185(4) 5231(20)(19)(40)(6234 从图中找规律，并按规律在图中
23、的空格里填上合适的数.C 决战中考35. 已知 a0, b0, c0，且| c|b| |a|,试比较 a, b, c, ab, ac 的大小.36、已知的 A、B 两点在数轴上分别表示的数为 m, n，(1)对照数轴填写下表：M 6 6 6 6 2 1.5N 4 0 4 4 8 1.5A. B 两点间的距离(2)若 A、 B 两点间的距离记为 d, 试问 d 与 m、n 有何数量关系？并用文字描述出来；(3)已知 A、B 在数轴上分别表示的数为 x 和1，则 A. B 两间的距离 d 可表示为_，如果d8，求 x 的值.37. 对有理数 a, b 定义运算“”如下，ab(ab) (ab)，求34 的值.38. (1)有 1,2，3，11,12 共 12 个数，请在每两个数之间添上 “” 或“”，使它们的和为 0；(2)若有 1,2，3，2015，2016 共 2006 个数，请在每两个数添上 “” 或“”，使它们的和为 0；(3)根据(1)、(2) 的规律试判断能否有 1,2，3，2014,2015，共 2015 个数的每两个数之间添上“”或“”，使它们的和为 0，若能，请说明添法；若不能，请说明理由.
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