1、 专题六 整式要点归纳1单项式：式子 5， ，a2b，3a，3x3，y，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做，特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式2单项式的系数和次数：单项式中数字因数叫做这个单项式的；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的3多项式：n 个单项式的和叫做，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做4多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的，一个多项式中含有几项，最高次是几次就叫5多项式的排列：把一个多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列叫反之，则称为6整式：单项式与多项式统称为，即整式单 项 式 ，多 项 式 。典例讲解经典再现：一、用字
2、母表示数在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“”或省略不写，如， 35t 可以写成 35t 或 35t，但数与数相乘， “”不可省略字母与数相乘，一般要把数写在字母前，出现带分数的要先写成假分数例 1 列式表示：(1)一本字典的售价是 56 元，n 本这样的字典的售价是元；(2)a 的平方的相反数是；(3)乙数比甲数小 7%，甲数为 x，乙数表示为；(4)一个三位数，它的百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字分别为 a、b、c ，则这个三位数为(5)一个正方形的周长为 c，则这个正方形的边长为思路点拔(1)n 本字典的售价一本字典的售价n；(2)先平方再写相反数；(3)乙数相当于甲
3、数的(17%)；(4)三位数的表示方法：个位数字十位数字10百位数字 100；(5)正方形的边长 ；4正 方 形 的 周 长解：(1)56n；(2)a2 ；(3)(17%)x；(4)100a 10bc ；(5) ；4二、单项式单项式识别标记：单项式中不含加减运算，只含字母与字母或数与字母的乘法(包括乘方运算，单项式的系数包括前面的符号，且只与数字因数有关，而次数只与字母有关；一个单项式的次数就是 n，就叫做 n次单项式项式例 2 判断下列各式中哪些是单项式，哪些不是?如果是单项式，请指出它的系数与次数， ， ， ， ， ， 3bx2y5yx2ab1325ab【思路点拨】判断一个式子是否是单项式
4、，关键是看式子中数与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算 （包括乘方运算）和数字作分母的除法运算，如果含其他运算就不是单项式，还要注意是不是常数解：是单项式的有： ， ， ， ， ， 23bx2y5yx2ab325的系数为-23，次数为 2；23bx的系数为 ，次数为 3；y的系数为 ，次数为 0；5的系数为 ，次数为 4；2ab25的系数为 ，次数为 533【方法规律】单独的一个常数的次数为 0，系数就是这个常数的本身三、多项式的识别来源:学科网 ZXXK几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项例 3 请指出下列式子中的多项式：（1） ；（2） ；（3）
5、 ；（4） ；（5） ；（6）-20 352xy2xy2ab1xy92015ab【思路点拨】根据多项式是 n 个单项式的和进行判断 （1）可看成是单项式 ， ， 的和；3xy（2）可看成单项式的和；（3） 、 （4）的分母中含有字母，不是多项式；（5）可看成 与 的和；2015ab9（6）是单项式解：多项式有（1） 、 （2） 、 （5） 四、多项式的项和次数及升降幂排列多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；多项式里，每个单项式叫多项式的项，通常用“n 次 n 项式”来叙述一个多项式例 4 指出下列多项式的项和次数，并说明每个多项式是几次几项式（1） ； （2） 323xy5321
6、a【思路点拨】根据多项式的项，多项式的次数的概念来解答解：（1）多项式 的项有 次数是 3，它为三次四项式；323xy3223xyx、 、 、（2）多项式 的项有 ，次数是 5，它为六次三项式51a51a、 、 、【方法规律】像多项式 ，每项的次数都是 3，这样的多项式也叫齐次多项式323xy例 5 将多项式 按照 x 的降幂排列是（ ）24A B334yxyx32234yC D22x【思路点拨】将多项式中某一项移动位置时，要连同前面的符号一起移动，将多项式按走一字母的升幂或 降幂排列，只与这个字母的指数有关，而与各项的次数无关，本题中的多项式共有四项： 、23xy、 、 ，其中 x 的指数依
7、次为 2，1，0，324xy3解：B五、整式不论是单项式还是多项式，都是整式；分母中含有字母的式子不是整式；在整式中，字母与数相乘、字母 与字母相乘时通常省略乘号，且数字放到字母的前面，系数为带分数时写成假分数 例 6 判断下列各式子是否为整式：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）-35217abc3xy27184xyxy【思路点拨】判断一个式子是否为整式，关键要看它是不是单项 式或多项式，代数式 和 不217abc5xy是整式解：是整式的有：（2） 、 （3） 、 （4） 【方法规律】判断一个式子是单项式还是多项式首先判断它是否是整式若分母中含字母，则一定不是整式，也不可能
8、是单项式或多项式单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算，整式中加乘运算的是多项式，不含加减运算的是单项式例 7 下列式子中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式?， ， ， ， ， ， ，0， xy3mn1526a13bnxy41z【思路点拨】用单项式、多项式、整式的概念去判断解：单项式有： ， ，0；xy多项式有： ； ； ；3mn216a3b整式有： ， ， ， ， ，0 xy5216a3b一、用含字母的式子表示变化规律例 1 如图，是正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个图中阴影部分小正方形的个数是 【思路点拨】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最
9、右一列的部分和最右一列的 部分除最右一列的小正方形个数最右一列小正方形个数 合计小正方形个数第 1 个图 1 = 12 3 = 1 + 2 4 = 12 + 1 + 2第 2 个图 4 = 22 4 = 2 + 2 8 = 22+2 + 2第 3 个图 9 = 32 5 = 3 + 2 14 = 32+3 + 2第 72 个图 n2 n+2 n2 +n+2解：n2 +n + 2 【方法规律】此题需逐一看图，通过观察、分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，体现了从特殊到一般的思想二、由多项式的次数、项数、系数求字母的值m 次 n 项式：即多项式的次数为 m，也就是多项式中次数最高
10、的项的次数为 m，多项式的项数为 n，某项 的系数就是指它的数字因数例 2 多项式 是关于 x 的三次三项式，并且一次项系数为- 7，求 m+n-6 的值731mxknxk【思路点拨】多项式的次数是单项式中次数最高项的次数，单项式 的系数是数字与字母乘积中的数字因数解：由题意可得：m=3 ， ，n=2且 k=0，37n所以 m=3，n=2，k=0，m+n-k=5例 3 已知 是关于 x，y 的五次单项式，求（a+l）2 的值21axy【思路点拨】由已知式子是五次单项式，可知 2+a+l=5， 则 a=2，又因为 a=2 时，a-10，所以 a=2， 代入所求式即可求值解：因为 是关于 x，y
11、的五次单项式，所以 所以 a=2，则（a+l）2=（2+l）2=921axy 1025.a ，例 4 已知关于 x 的多项式 3x4-（m+5）x3+（n- l）x2- 5x +3 不含 x3 项和 x2 项，求 2m+5n 的值【思路点拨】要使式子不含 x3 项和 x2 项，则-（m+5）x3 和（n-l）x2 都是 0，所以它们系数-（+5）和 n-1 均为 0解：依题意可知，-（m+5）=0，且 n-1=0，则 m=-5，n=l 所以 2m+5n=2（ -5）+5l=-5 【方法规律】多项式不含某一项，则这项的系数为 0三、求多项式的值求多项式的值分为三种：直接代人求值；间接代人求值，就
12、是根据已知条件，求未知数的值，再代人 求值；整体代人例 5 已知 ，求多项式 的值231x2647x【思路点拨】根据所给的条件，不能求出 x，y 的具体值，但根据式子的特点，易发现用整体思想求解解：因为 3y2+2x=l，所以 6y+4x=2，所以 6y2+4x=2，所以 22647=375xyx【方法规律】本题运用整体代入思想求解，这种思想在解决数学问题时应用广泛例 6 已知 ，x、y 互为相反数，c、d 互为倒数，求 的值 23|+=0ab 3bcd【思路点拨】 由条件可得 a-3=0，6+2=0，x+y=0 ，cd=l，把它们看成整体代入所求式中求值即可 解：因为（a -3）2+|b+2
13、| =0，所以 a=3，6=-2 又因为 x，y 互为相反数，c，d 互为倒数，所以 x+y=0，cd=0所以，原式=（-2）3-4（x+y）+3cd=-8-40+31=-5【方法规律】本题求代数式的值运用了非负数的性质、相反数、倒数的特点，同时隐含了整体思想四、整体知识的实际应用某超市出售一种商品，其原价为每件 a 元，现有三种调价方案：（1）先提价 20%；再降价20% ； （2）先降价 20%，再提价 20%；（3）先提价 15%，再降价 15%用这三种方案调价，结果是否一样?最后是不是都恢复了原价?【思路点拨】方案（1）先提价 20%，再降价 20%得，现价为每件 a （1+20%）
14、（1-20%）元方案（2）先降价 20%，再提价 20%得，现价为每件 a（l -20%）（l+20%）元方案（3）先提价 15%，再降价 15%得，现价为每件 a （1+15%）（1-15%）元解：依题意可知，方案（1） ， （2） ， （3）的调价结果分别是：每件（1+20%） （1 -20%）a =096a 元；每件（1-20% ） （l+20%）a=096a 元；每件（1+15%） （1-15%）a=09775a 元对比可知，前两种方案调价结果一样这三种调价方案最后的价格与原价都不一样【方法规律】正确理解问题中的数量关系，特别是要弄清问题中和、差、积、商及大、小、多、少、倍、几分之 几
15、等词的含义，记住一些实际问题中常用的等量关系，如：路程=速度时间，利润= 售价- 进价等可方便解题A 中考链接1下列用字母表示的数中不正确的是（ ）A温度由 t下降 5后是（t-5） B今年小薇 m 岁，去年（m-1）岁，10 年后（m+10）岁C小强用 m 秒走 n 米，他的速度为 米/秒mnD a 的 25%加 30 可表示为 a25%+302一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，则这个两位数为（ ）Aab Ba+b C10a+b D10ab3下列单项式中，书写不正确的有（ ） ； ； ； 21ab2xy23x2abA1 个 B2 个 C3 个 D4 个4在 0，-1，-x， ，3-
16、x ， ， 中，是单项式的有（ ）13a1xA2 个 B3 个 C4 个 D5 个5下列说法正确的是（ ）A单项式 x 的系数是 1，次数是 0B单项式 的系数是-2，次数是 42yC单项式 24ab2c 的系数是 2，次数是 8D单项式 的系数是 ，次数是 44235ab4356 下列说法正确的是（ ）A0 不是单项式 B 是单项式 C-m 是单项式 D 是单项式1x 13xy7在 ， ， ， ， 中，多项式有（ ）25x23ab123mA1 个 B2 个 C3 个 D4 个8下列说法错误的是（ ）Am 是 单项式也是整式 B 是多项式也是整式2nC整式一定是单项式 D整式不一定是多项式9用
17、含字母的式子表示：（1）一个数工的一半与-3 的和 是 ；（2）君怡从家里以每小时 v 千米的速度去学校，共走了 t 小时，则小明家离学校 千米；（3）学校购买了一批图书，共 a 箱，每箱有 b 册，将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书共 册；（4）三个连续偶数，中间一个为 2n（n 为整数） ，则其他两个数分别为 10填表单项式 02n327mnp25r42xy系数次数11 有一块长 xm，宽为 ym 的长方形草坪，在草坪中间有一条宽为 2m 人行道，形状如图所示，则这块草坪的实际绿化面积是 m212下列各式： ， ，1， ， ， ， ，其中单项式有 x 个，多项式2xya25b294
18、x6m253ab有：y 个，整式有 z 个，则：x+y+z= 13根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数：（1）买了单价为 5 元的钢笔 x 支，则应付的钱为多少元?（2）边长为 a 米的正方形面积为多少平方米?（3）三角形的底是 3 米，高是 h 米，它的面积是多少平方米？14当一 2 时，求下列多项式的值 （1） ； （ 2）-5x2+4x-2 5x来源:学&科&网B 冲刺中考15件服装降价 10%后卖 m 元，则原价为（ ）A 元 B 元 C 元 D10m 元910m1010916某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费 a 元， 之后的每一分 钟收费 b 元，如果某人打该
19、长途电话被收费 8 元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）A 分钟 B 分钟 C 分钟 D 分钟8abab81b81ab17如果（2m）x nyb 是关于 x、y 的五次单项式，则 m，n 应满足的条件是（ ）Am=2，n=1 Bm2，n=5 Cm=2，n=5 Dm 2，n=118图中是一个正方形，将图中的正方形剪开得图，图中共有 4 个正方形；将图中的一个正方形剪开得到图，则图中共有 7 个正方形，如此剪下去，则第 n 个图形中正方 形的个数是 19观察下列算式：132 2=34=1；243 2=89=1；354 2=1516= 1；把这个规律用含字母 n 的式子表示出来 20火车站、机场、邮
20、局等场所都有为旅客提供打包服务的项目，现有一个长、宽、高分别为 a、b、c的箱子，按如图所示的方式打包，则打包带的长（不计接头处的长）至少应为（ ）Aa+3b+2 c B2a +4b+6c C4a+10b+4c D6a+6b+8c21已知 实验与 x，y 的一个单项式，且系数为 5，次数为 4，则 m= ，n= 3|nmx22某种药品前年的定价是 a 元，去年提价 20%，今年又降价 20%，今年的定价是 元 来源:学科网23观察下面的单项式：x，2x 2，4x 3，8x 4，根据你发现的规律，写出第 7 个式子是 24一个关于 x、y 的二次三项式，其常数项是5，其余各项系数都是 1（1）写
21、出一个符合要求的多项式；（2）若 ，求出你所写的多项式的值2|(1)0xy25某城市为增强人们节水的意识，规定生活用水的基本价格是 2 元/m 3，每月用水限定为 7m3，超出部分按 3 元/m 3 收费，已知小华家上月用水 a m3（超过 7m3） ，那么小华家上月应交水费多少元（用含a 的式子表示）？26新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：（1）每本书的高度为 cm，课桌的高度为 cm；（2）当课本数为 x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含 x 的代数式表示）（3）桌面上有 56 本与（1）中相同的数学课
22、本，整齐叠放成一摞， 若从中取走 14 本，求余下的数学课本高出地面的距离27某汽车行驶时油箱中余油量 Q（L）与行驶时间 t（h）的关系如下表：行驶时间 t（h） 余油量 Q（L）1来源:学科网 ZXXK 4862 48123 48184 48245 4830来源:学_科_网（1）用含 t 的整式表示 Q；（2）当 时，求 Q 的值；12（3）根据所列整式回答：汽车行驶前油箱中有多少升的汽 油？（4）油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时?28电影院第一排有 a 个座位，后面每排都比前一排多一个座位，问第二排有几个座位？第三排呢？若第 n 排有 x 个座位，x 是多少？C 决战中考29观察下面
23、一列数：1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成下列形式：记 为第 i 行第 j 列的数，如 ，那么 是 ； ija234a87a2=_ia30观察下列单项式：a，2a 2，3a 3，4a 4，5a 5，（1）写出第 2010 项和第 2015 项；（2）写出第 m 项和第 m+1 项（m 为奇数）31有足够多的每个面的面积为 1cm2 的小正方体按下图的方式进行组合，则第 4 个图形的表面积为 cm2，如此排下去，第 n 个图形表面积为 cm232观察下列一列单项式的特点 2232411,486xaxaA（1）请照此规律写出第 8 个单项式，它是 n 次式？（2）试猜想第 n 个单项式为多少
24、？它的系数是多少？次数为多少？33已知 是关于 x、y 的 7 次单项式，试求 m2+2m3 的值4|1(2)mxy34如果关于 x 的多项式 与 是同次多项式，求 的值421ax35bx3214b35若 是关于 a、b 的六次单项式，则 x、y 满足什么条件？42|1|yxab36已知多项式 是六次四项式，单项式 的次数与这个多项式的次数212345mxyxb259nmxy相同，求 的值n37若 是关于 x、y 的单项式，且系数为 ，次数为 3，求 的值2|34nmkxy54|mnk38当 x=2，y =2 是， 求当 x=4， 时，式子 的值382015,mxny12y3245018xny
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