2018-2019学年河北省保定市博野县九年级上期末数学试卷（含答案解析）

1、2018-2019 学年河北省保定市博野县九年级（上）期末数学试卷一选择题（共 16 小题）1下列方程是一元二次方程的是（ ）Ax 2y1 Bx 2+2x30 Cx 2+ 3 Dx 5y62方程 x22x30 经过配方法化为（x +a） 2b 的形式，正确的是（ ）A（x1） 24 B（x+1）4 C（x1） 216 D（x +1） 2163有两个事件，事件 A：367 人中至少有 2 人生日相同；事件 B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数下列说法正确的是（ ）A事件 A、B 都是随机事件B事件 A、B 都是必然事件C事件 A 是随机事件，事件 B 是必然事件D事件 A 是必然事件，事件

2、 B 是随机事件4如图，有一电路 AB 是由图示的开关控制，闭合 a，b，c，d，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）A B C D5下列关系式中，属于二次函数的是（x 是自变量）（ ）Ay By Cy Dy ax 2+bx+c6下列关于函数 的图象说法： 图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是 y 轴；顶点（ 0，0 ），其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是（ ）Ax3 Bx2 Cx1 Dx 08已知O 的直径是 10，

3、圆心 O 到直线 l 的距离是 5，则直线 l 和O 的位置关系是（ ）A相离 B相交 C相切 D外切9如图，已知：AB 是O 的直径，C、D 是 上的三等分点，AOE60，则COE 是（ ）A40 B60 C80 D12010如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于 120，则围成的圆锥模型的高为（ ）Ar B2 r C r D3r11已知反比例函数 y ，下列结论中不正确的是（ ）A图象必经过点（3，2）B图象位于第二、四象限C若 x2，则 0y3D在每一个象限内，y 随 x 值的增大而减小12如图所示，反比例函数 y （k0，

4、x 0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点D若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为（ ）A2 B2 C D213已知ABCDEF，面积比为 9：4，则ABC 与 DEF 的对应角平分线之比为（ ）A3：4 B2：3 C9：16 D3：214如图，如果正方形 ABCD 旋转后能与正方形 CDEF 重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个15如图所示，长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A28cm 2 B27cm 2 C21cm 2 D20c

5、m 216如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC4 ，BC 的中点为 D将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，连接 DG在旋转过程中，DG 的最大值是（ ）A4 B6 C2+2 D8二填空题（共 3 小题）17关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a、b 的值：a ，b 18如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y x21 上运动，当P 与 x 轴相切时，圆心P 的坐标为 19如图，PA，PB 分别切O 于 A，B，并与 O 的切线，分别相交于 C，D，已知PCD 的周长等于 8cm，

6、则 PA cm；已知O 的直径是 6cm， PO cm三解答题（共 7 小题）20定义新运算：对于任意实数 m、n 都有 mnm 2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32（3） 22+220根据以上知识解决问题：若 2a 的值小于 0，请判断方程：2x 2bx+a0 的根的情况21在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机取出一个棋子，它是黑色棋子的概率是 （1）试写出 y 与 x 的函数解析式；（2）若往盒子中再放入 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，求 x 与 y 的值22如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y （x0）的图象相交于点

7、 A、点 B，与 X 轴交于点 C，其中点 A（1，3）和点 B（3，n）（1）填空：m ，n （2）求一次函数的解析式和AOB 的面积（3）根据图象回答：当 x 为何值时，kx+b （请直接写出答案） 23如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，且 ABBC，BECE，连接 DE（1）求证：BDEBCE；（2）试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由24如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，射线 AG 分别交线段DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：ADFACG；（2）若 ，求 的值25如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在O

8、上，点 E 在O 外，EACD60（1）求ABC 的度数；（2）求证：AE 是O 的切线；（3）当 BC4 时，求劣弧 AC 的长26如图，已知抛物线 y +bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A点的坐标为 A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由2018-2019 学年河北省保定市博野县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 16 小

9、题）1下列方程是一元二次方程的是（ ）Ax 2y1 Bx 2+2x30 Cx 2+ 3 Dx 5y6【分析】利用一元二次方程的定义判断即可【解答】解：A、x 2y 1 是二元二次方程，不合题意；B、x 2+2x30 是一元二次方程，符合题意；C、x 2+ 3 不是整式方程，不合题意；D、x5y6 是二元一次方程，不合题意，故选：B【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键2方程 x22x30 经过配方法化为（x +a） 2b 的形式，正确的是（ ）A（x1） 24 B（x+1）4 C（x1） 216 D（x +1） 216【分析】根据配方法即可求出答案【解答

10、】解：x 22x +1130，（x1） 24，故选：A【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型3有两个事件，事件 A：367 人中至少有 2 人生日相同；事件 B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数下列说法正确的是（ ）A事件 A、B 都是随机事件B事件 A、B 都是必然事件C事件 A 是随机事件，事件 B 是必然事件D事件 A 是必然事件，事件 B 是随机事件【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案【解答】解：事件 A、一年最多有 366 天，所以 367 人中必有 2

11、 人的生日相同，是必然事件；事件 B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为 1、2、3、4、5、6 共 6 种情况，点数为偶数是随机事件故选：D【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4如图，有一电路 AB 是由图示的开关控制，闭合 a，b，c，d，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（ ）A B C D【分析】只有闭合两条

12、线路里的两个才能形成通路列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可【解答】解：列表得：（a，e ） （b，e ） （c，e） （d，e ） （a，d） （b，d） （c，d） （e，d）（a，c ） （b，c ） （d，c ） （e，c）（a，b） （c，b） （d，b） （e，b） （b，a） （c，a） （d，a） （e，a）一共有 20 种情况，使电路形成通路的有 12 种情况，使电路形成通路的概率是 ，故选：C【点评】本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比5下列关系

13、式中，属于二次函数的是（x 是自变量）（ ）Ay By Cy Dy ax 2+bx+c【分析】根据函数 yax 2+bx+c （a0）是二次函数，可得答案【解答】解：A、是二次函数，故 A 正确；B、不是二次函数的形式，故 B 错误；C、是分式，故 C 错误；D、a0 是一次函数，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查了二次函数的定义，函数 yax 2+bx+c （a0）是二次函数，注意 yax 2+bx+c 是二次函数 a 不等于零6下列关于函数 的图象说法： 图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是 y 轴；顶点（ 0，0 ），其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】函

14、数 是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断【解答】解：二次函数 的图象是抛物线，正确；因为 a 0，抛物线开口向下，正确；因为 b0，对称轴是 y 轴，正确；顶点（ 0，0 ）也正确故选：D【点评】本题考查了抛物线 yax 2 的性质：图象是一条抛物线；开口方向与 a 有关；对称轴是 y 轴；顶点（0，0）7二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是（ ）Ax3 Bx2 Cx1 Dx 0【分析】由当 x3 与 x1 时 y 值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线 x2，此题得解【解答】解：当

15、 x3 与 x1 时，y 值相等，二次函数图象的对称轴为直线 x 2故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出其对称轴是解题的关键8已知O 的直径是 10，圆心 O 到直线 l 的距离是 5，则直线 l 和O 的位置关系是（ ）A相离 B相交 C相切 D外切【分析】求出O 的半径，和圆心 O 到直线 l 的距离 5 比较即可【解答】解：O 的直径是 10， O 的半径 r5，圆心 O 到直线 l 的距离 d 是 5，rd，直线 l 和O 的位置关系是相切，故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切9如图，

16、已知：AB 是O 的直径，C、D 是 上的三等分点，AOE60，则COE 是（ ）A40 B60 C80 D120【分析】先求出BOE120，再运用“等弧对等角”即可解【解答】解：AOE60，BOE180AOE 120， 的度数是 120，C、D 是 上的三等分点，弧 CD 与弧 ED 的度数都是 40 度，COE80故选：C【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半10如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于 120，则围成的圆锥模型的高为（ ）Ar B2

17、 r C r D3r【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可【解答】解：圆的半径为 r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出 2r设圆锥的母线长为 R，则 2r，解得：R3r根据勾股定理得圆锥的高为 2 r，故选：B【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键11已知反比例函数 y ，下列结论中不正确的是（ ）A图象必经过点（3，2）B图象位于第二、四象限C若 x2，则 0y3D在每一个象限内，y 随 x 值的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质进行选择即可【解答】解：A、图象必经过点（3，2），故 A 正确；B、图象位于第二、四象限，

18、故 B 正确；C、若 x2，则 y3，故 C 正确；D、在每一个象限内，y 随 x 值的增大而增大，故 D 正确；故选：D【点评】本题考查了反比例函数的选择，掌握反比例函数的性质是解题的关键12如图所示，反比例函数 y （k0，x 0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点D若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为（ ）A2 B2 C D2【分析】过 D 作 DEOA 于 E，设 D（a， ），于是得到 OA2a，OC ，根据矩形的面积列方程即可得到结论【解答】解：如图，过 D 作 DEOA 于 E，设 D（a， ），OEaDE ，点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中

19、点，OA2a，OC ，矩形 OABC 的面积为 8，OAOC2a 8，k2，故选：A【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键13已知ABCDEF，面积比为 9：4，则ABC 与 DEF 的对应角平分线之比为（ ）A3：4 B2：3 C9：16 D3：2【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比【解答】解：ABCDEF，ABC 与DEF 的面积比为 9：4，ABC 与DEF 的相似比为 3：2，ABC 与DEF 对应角的角平分线之比为 3：2，故选：D【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；

20、相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比14如图，如果正方形 ABCD 旋转后能与正方形 CDEF 重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】分别以 C，D，CD 的中点为旋转中心进行旋转，都可以使正方形 ABCD 旋转后能与正方形 CDEF 重合【解答】解：以 C 为旋转中心，把正方形 ABCD 顺时针旋转 90，可得到正方形 CDEF；以 D 为旋转中心，把正方形 ABCD 逆时针旋转 90，可得到正方形 CDEF；以 CD 的中点为旋转中心，把正方形 ABCD 旋转 18

21、0，可得到正方形 CDEF；故选：C【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等15如图所示，长为 8cm，宽为 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A28cm 2 B27cm 2 C21cm 2 D20cm 2【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得【解答】解：依题意，在矩形 ABDC 中截取矩形 ABFE，则矩形 ABDC矩形 FDCE，则 ，设 DFxcm，得到：解得：x4.5，则剩下的矩形面积是：4.5627cm 2

22、故选：B【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键16如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC4 ，BC 的中点为 D将ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，连接 DG在旋转过程中，DG 的最大值是（ ）A4 B6 C2+2 D8【分析】解直角三角形求出 AB、BC，再求出 CD，连接 CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 D、C、G 三点共线时DG 有最大值，再代入数据进行计算即可得解【解答】解：ACB90，A30，ABACcos304 8，BCAC

23、tan304 4，BC 的中点为 D，CD BC 42，连接 CG，ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到 FEC，EF 的中点为 G，CG EF AB 8 4，由三角形的三边关系得，CD+CGDG，D、C、G 三点共线时 DG 有最大值，此时 DGCD+ CG2+4 6故选：B【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，根据三角形的三边关系判断出 DG 取最大值时是解题的关键二填空题（共 3 小题）17关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a、b 的值：a 1 ，b 2 【分析】利用一元二次

24、方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根；进而得出答案【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+10 有两个相等的实数根，b 24acb 24a0，符合一组满足条件的实数 a、b 的值：a1，b2 等故答案为：1，2【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出 a，b 之间的关系是解题关键18如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y x21 上运动，当P 与 x 轴相切时，圆心P 的坐标为 （ ，2）或（ ，2） 【分析】当P 与 x 轴相切时，点 P 的

25、纵坐标是 2 或2，把点 P 的坐标坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标【解答】解：依题意，可设 P（x，2）或 P（x ，2）当 P 的坐标是（ x，2）时，将其代入 y x21，得2 x21，解得 x ，此时 P（ ，2）或（ ，2）；当 P 的坐标是（ x，2）时，将其代入 y x21，得2 x21，即1 x2无解综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（ ，2）或（ ，2）；故答案是：（ ，2）或（ ，2）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论19如图，PA，PB 分别切O 于 A，B，并与 O 的切线，分别相交于 C

26、，D，已知PCD 的周长等于 8cm，则 PA 4 cm；已知 O 的直径是 6cm，PO 5 cm【分析】根据切线长定理可得 DADE ，BC CE，PAPB，根据PCD 的周长为PD+PC+DE+CEPA +PB8cm，可求 PA 的长，根据勾股定理可求 OP 的长【解答】解：PA，PB ，CD 是 O 的切线DADE ，BC CE，PA PB ，PCD 的周长等于 8cm，PD+ PC+CD8cmPD+ PC+DE+CEPA +PB8cmPA4cm连接 OA，PA4cm，OA3cm ，OP 5cm故答案为：4，5【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，熟练运用切线长定理是本题

27、的关键三解答题（共 7 小题）20定义新运算：对于任意实数 m、n 都有 mnm 2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32（3） 22+220根据以上知识解决问题：若 2a 的值小于 0，请判断方程：2x 2bx+a0 的根的情况【分析】根据 2a 的值小于 0 结合新运算可得出关于 a 的一元一次不等式，解不等式可得出 a 的取值范围，再由根的判别式得出（b） 28a，结合 a 的取值范围即可得知的正负，由此即可得出结论【解答】解：2a 的值小于 0，2 2a+a5a0，解得：a0在方程 2x2bx+a0 中，（b） 28a8a0，方程 2x2bx+a0 有两个不相等的

28、实数根【点评】本题考查了根的判别式以及新运算，解题的关键是找出0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键21在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机取出一个棋子，它是黑色棋子的概率是 （1）试写出 y 与 x 的函数解析式；（2）若往盒子中再放入 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，求 x 与 y 的值【分析】（1）根据概率的求法：在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，共 x+y 颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，有 成立化简可得 y 与 x 的函数关系式；（2）若往盒中再放进 10 颗黑色棋子，在盒中有 10+

29、x+y 颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，结合（1）的条件，可得 ，然后求出 x，y 的值即可【解答】解：（1）由题意得 ，解得：y x，答：y 与 x 的函数解析式是 y x；（2）根据题意，可得 ，解方程组可求得： ，则 x 的值是 15，y 的值是 25【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 22如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y （x0）的图象相交于点 A、点 B，与 X 轴交于点 C，其中点 A（1，3）和点 B（3，n）（1）填空：m 3 ，n 1 （2）求一次函数的

30、解析式和AOB 的面积（3）根据图象回答：当 x 为何值时，kx+b （请直接写出答案） 3x1 【分析】（1）将 A 点坐标，B 点坐标代入解析式可求 m，n 的值（2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据 SAOB S AOC SBOC 可求AOB 的面积（3）由图象直接可得【解答】解：（1）反比例函数 y 过点 A（1，3），B（3，n）m3（1）3，m3nn1故答案为3，1（2）设一次函数解析式 ykx+b，且过（1，3），B（ 3，1）解得：解析式 yx+4一次函数图象与 x 轴交点为 C0x+4x4C（4，0）S AOB S AOC SBOCS AOB 43 414（3）kx+b一

31、次函数图象在反比例函数图象上方3x1故答案为3x1【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，利用函数图象上的点满足函数关系式解决问题是本题关键23如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，且 ABBC，BECE，连接 DE（1）求证：BDEBCE；（2）试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由【分析】（1）根据旋转的性质可得 DBCB，ABDEBC，ABE60，然后根据垂直可得出DBECBE30，继而可根据 SAS 证明BDEBCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，BDEBCEBDA，继而得出四条棱相等，证得四边形 ABED 为菱形【解答】（1）证明

32、：BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，DBCB，ABD EBC，ABE60，ABBC，ABC90，DBECBE30，在BDE 和BCE 中， ，BDEBCE（SAS）；（2）四边形 ABED 为菱形；由（1）得BDEBCE ，BAD 是由BEC 旋转而得，BADBEC，BABE，ADECED，又BECE，四边形 ABED 为菱形【点评】本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大24如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB，射线 AG 分别交线段DE，BC 于点 F，G，且 （1）求证：AD

33、FACG；（2）若 ，求 的值【分析】（1）由AEDB、DAE CAB 利用三角形内角和定理可得出ADFC，结合 ，即可证出ADF ACG；（2）根据相似三角形的性质可得出 ，由 可得出 ，再结合 FGAGAF 即可求出 的值【解答】（1）证明：AEDB，DAE CAB ，ADFC又 ，ADFACG（2）ADFACG， ， ， 1【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键25如图，已知 AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，点 E 在O 外，EACD60（1）求ABC 的度数；（2）求证：AE 是O 的切线；（3）当 BC4

34、 时，求劣弧 AC 的长【分析】（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得ABC的度数；（2）由 AB 是O 的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得ACB 90，又由BAC 30，易求得BAE90，则可得 AE 是O 的切线；（3）首先连接 OC，易得OBC 是等边三角形，则可得AOC120，由弧长公式，即可求得劣弧 AC 的长【解答】解：（1）ABC 与D 都是弧 AC 所对的圆周角，ABCD60； （2）AB 是O 的直径，ACB90BAC30，BAE BAC+ EAC 30+6090，即 BAAE，AE 是O 的切线；（3）如图，连接 OC，A

35、BC60，AOC120，劣弧 AC 的长为 【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法26如图，已知抛物线 y +bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A点的坐标为 A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式 x 求出对称

36、轴方程；（2）在抛物线解析式中，令 x0，可求出点 C 坐标；令 y0，可求出点 B 坐标再利用待定系数法求出直线 BD 的解析式；（3）本问为存在型问题若ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解【解答】解：（1）抛物线 y x2+bx+4 的图象经过点 A（2，0）， （2） 2+b（2 ）+4 0，解得：b ，抛物线解析式为 y x2+ x+4，又y x2+ x+4 （ x3） 2+ ，对称轴方程为：x3（2）在 y x2+ x+4 中，令 x0，得 y4，C（0，4）；令 y0，即 x2+ x+40，整理得 x26x160，解得：x8 或 x2，A（2，

37、0），B（8，0）设直线 BC 的解析式为 ykx +b，把 B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得： ，直线 BC 的解析式为：y x+4（3）存在，理由：抛物线的对称轴方程为：x3，可设点 Q（3，t），A（2，0），C（0，4），AC2 ， AQ ，CQ 当 AQCQ 时，有 ，25+t2t 28t+16+9，解得 t0，Q 1（3，0）；当 ACAQ 时，有 2 ，t 25，此方程无实数根，此时ACQ 不能构成等腰三角形；当 ACCQ 时，有 2 ，整理得：t 28t+50，解得：t4 ，点 Q 坐标为：Q 2（3，4+ ），Q 3（3，4 ）综上所述，存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为： Q1（3，0），Q 2（3，4+ ），Q3（3，4 ）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论