1、 第 12 讲 代数压轴题【2018 昌平二模】1.在平面直角坐标系 中，抛物线 ，xOy23(0)yaxa与 x 轴交于 A、 B 两点(点 A 在点 B 的左侧)（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2 ）若点 P（m，n ）是抛物线上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 D在 的条件下，当 时，n 的取值范围是 ，求抛物线的表达式；0a245n若 D 点坐标（4，0） ，当 时，求 a 的取值范围.PDA【答案】解：（1）把 代入二次函数得： 即0y2(3)0x(3)10ax 23,1x点 A 在点 B 的左侧， ， 2 分(,0)(,)（2）抛物线的对称轴为直线： ； 21ax由
2、题意二次函数的顶点为 ，3 分(1,4)代入解析式，可得 a抛物线的解析式为 4 分23yxD 点坐标（4，0） ， PD轴点 P 的横坐标为 4，代入得 5 分23yax5yaD 点坐标（4，0） ，A 点坐标（ ，0）1 5A P 或 6 分1a【2018 朝阳二模】2.已知二次函数 )0(22axy（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）若该二次函数的图象开口向上，当 1x5 时，函数图象的最高点为 M，最低点为N，点 M 的纵坐标为 ，求点 M 和点 N 的坐标；21（3）对于该二次函数图象上的两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，设 t x 1 t+1，当 x23
3、 时，均有 y1 y 2，请结合图象，直接写出 t 的取值范围【答案】 （1）x=1 1 分（2）解：该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x=1， 1x5，当 x=5 时，y 的值最大，即 M（5， ）. 3 分2把 M（5， ）代入 y=ax22ax2，解得 a= . 4 分1该二次函数的表达式为 y= . 1x当 x=1 时，y ，N（1， ）. 5 分25（3）1t2. 7 分【2018 东城二模】3在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点xOy230yaxb和点 1,0A45B，（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线 关于 轴的对称直线的表达式；x（3）点 是 轴上的动点，过点 作垂直
4、于 轴的直线 ，直线 与该抛物线交于PPxll点 ，与直线 交于点 当 时，求点 的横坐标 的取值范MABNM PPx围【答案】解：（1）把点 和 分别代入 ，(10)， (45， 23(0)yaxba得 0-35164ab， ，解得 2，抛物线的表达式为 -2 分 23yx（2）设点 关于 轴的对称点为 ，45B， B则点 的坐标为 .， -直线 AB 关于 轴的对称直线为直线 .xA设直线 的表达式为 ，ABymxn把点 和 分别代入 ，(10)， (45)，得 5nm， ，解得 1，直线 的表达式为 AB1yx即直线 AB 关于 轴的对称直线的表达式为 . -4 分 x 1yx（3）如图
5、，直线 与抛物线 交于点 .23yxC设直线 与直线 的交点为 ，lABN则 PN ，M .点 在线段 上（不含端点） 点 在抛物线 夹在点 与点 之间23yxCB的部分上联立 与 ，23yx1yx可求得点 的横坐标为 2C又点 的横坐标为 4，B点 的横坐标 的取值范围为 -7 分 PPx4Px【2018 房山二模】4. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 （ ）的2yaxbc0a图象经过 A（0，4） ，B（2，0 ） ，C（2 ，0）三点.（1）求二次函数的表达式；（2）在 x 轴上有一点 D（4 ，0） ，将二次函数的图象沿射线 DA 方向平移，使图象再次经过点 B.求平移后图象顶
6、点 E 的坐标；直接写出此二次函数的图象在 A，B 两点之间（含 A，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.y xO【答案】解:（1 ）A （0，4） ，B（2 ，0） ，C（2 ，0）二次函数的图象的顶点为 A（0 ，4）设二次函数表达式为 2yax将 B（2，0）代入，得 =解得， 1a二次函数表达式 224yx（2）设直线 DA： 0kb将 A（0，4） ，D （4 ，0）代入，得bk解得， 14b直线 DA: 3 分yx由题意可知，平移后的抛物线的顶点 E 在直线 DA 上设顶点 E（m ，m +4）平移后的抛物线表达式为 24yxm又平移后的抛物线过点 B（2 ，0）将其代入
7、得， 4=解得， ， （不合题意，舍去） 15m2顶点 E（5，9） 5 分 30.7 分【2018 丰台二模】5在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 的图象的2yxh顶点为点 D （1）当 时，求点 D 的坐标；1h（2）当 时，求函数的最小值 mx（用含 h 的代数式表示 m）441123213xOy432432【答案】解：（1）抛物线 =（x-h） 2+h-h2， 2yx顶点 D 的坐标为（h，h-h 2） ，当 h=-1 时，点 D 的坐标是（-1，-2 ） 3 分（2）当 x=-1 时，y= 3h+1，当 x=1 时，y=-h+1 4 分 当 h1 时， ，函数的最小值 m=-h+
8、1 7 分【2018海淀二模】6在平面直角坐标系 中，已知点 ，xOy(3,1)A， ，其中 ，以点 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点(1,)B(,)Cmn1,ABC分别为 ，如图所示.23D（1 ）若 ，则点 的坐标分别是（ ） ， （ ） ， （ ） ；1,3mn123,D（2 ）是否存在点 ，使得点 在同一条抛物线上？若C,AB存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1） （-3，3） ， （1，3） ， （-3，-1） 1D2D（2）不存在. 理由如下： 假设满足条件的 C 点存在，即 A，B ， ， ， 在同一条抛物线上，则线段 AB123的垂直平分线 即为这
9、条抛物线的对称轴，而 ， 在直线 上，则x12yn1D的中点 C 也在抛物线对称轴上，故 ，即点 C 的坐标为（-2，n）. 2 m由题意得： （-4，n） ， （0，n） ， （-2， ）.1D23D注意到 在抛物线的对称轴上，故 为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是3.2yax当 时， ，代入得 .1y1an所以 .2n令 ，得 ，解得 ，与 矛盾.0x4321n所以 不存在满足条件的 C 点 . 【2018 石景山二模】7在平面直角坐标系 中，抛物线xOy经过点 和 240yaxca34,A02,B（1 ）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2 ）将抛物线在 A、B 之间的部分记为图象 M（含
10、 A、B 两点） 将图象 M 沿直线翻折，得到图象 N若过点 的直线 与图象 M、图象3x9,CykxbN 都相交，且只有两个交点，求 b 的取值范围【答案】 26解：（1 ）抛物线 经过点 和 ，240yaxca()34(,)02(,)B可得： 912acOyxD3D1 D2BAC解得： 2ac抛物线的表达式为 . 2 分24yx顶点坐标为 . 3 分14,（2）设点 关于 的对称点为 B， 则点 B .02()B36,若直线 经过点 和 ，可得 .ykxb94,C2B,2b若直线 经过点 和 ，可得 .3A8直线 平行 轴时, .综上， . 7 分824b或【2018西城二模】8. 抛物线
11、 M： (a0)与 x 轴交于 A，B 两点（点241yaxA 在点 B 左侧） ，抛物线的顶点为 D. （1）抛物线 M 的对称轴是直线 _；（2）当 AB=2 时，求抛物线 M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线 l： (k0)经过抛物线的顶点 D，直线 与yxbyn抛物线 M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为 ， ，直线 与直线 l 的1x2交点的横坐标记为 3x（ 0） ，若当 2n 时，总有 ，1320x请结合函数的图象，直接写出 k 的取值范围. y x1123456789234512345 CBABO【答案】解：如图 8.（1）x=2. 1 分（2）抛物线 M 的函数表达式为 . 4 分23yx（3） . 6 分54k图 8
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