1、1.立体几何1.(2018江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，平面PAD平面 ABCD， AP AD，点 M在棱 PD上， AM PD，点 N是棱 PC的中点，求证：(1) MN平面 PAB；(2) AM平面 PCD.证明 (1)因为在 PAD中， AP AD， AM PD，所以点 M是棱 PD的中点.又点 N是棱 PC的中点，所以 MN是 PDC的中位线，所以 MN DC.因为底面 ABCD是矩形，所以 AB DC，所以 MN AB.又 AB平面 PAB, MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)因为平面 PAD平面 ABCD, CD平面 ABC
2、D，平面 PAD平面 ABCD AD， CD AD，所以 CD平面 PAD.又 AM平面 PAD，所以 CD AM.因为 PD AM， CD AM, CD PD D， CD平面 PCD， PD平面 PCD，所以 AM平面 PCD.2.已知在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形， AB DC， ABC60， DC1， AD， PB PC，且 M， N分别为 BC， PA的中点. 3(1)求证： DN平面 PBC；(2)求证： MN BC.证明 (1)取 PB的中点 E，连结 NE， CE， AC，因为 ABCD是直角梯形， AB DC， ABC60， DC1， AD ，3易得 AC
3、CB AB2.又 N为 PA的中点，所以 NE CD且 NE CD，所以四边形 CDNE是平行四边形，所以 DN CE.又 CE平面 PBC， DN平面 PBC，所以 DN平面 PBC.(2)连结 AM， PM.因为 PB PC，所以 PM BC，因为 AC AB，所以 AM BC，又 AM PM M， AM， PM平面 PAM，所以 BC平面 PAM.因为 MN平面 APM，所以 MN BC.3.(2018扬州市邗江区模拟)如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，EF AB， EF FB， AB2 EF， BFC90， BF FC， H为 BC的中点.(1)求证： FH平面
4、 EDB；(2)求证： AC平面 EDB.证明 (1)设 AC与 BD的交点为 G，连结 GE， GH，如图，以 H为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角HB GH HF 坐标系，令 BH1，则 A(1，2,0)， B(1,0,0)， C(1,0,0)，D(1，2,0)， E(0，1,1)， F(0,0,1)， G(0，1,0)， (0,0,1), GE 又 (0,0,1)， ，HF GE HF GE平面 EDB， HF平面 EDB， FH平面 EDB.(2) (2,2,0)， (0,0,1)，AC GE 0，AC GE AC GE.又 AC BD，且
5、GE平面 EDB， BD平面 EDB， GE BD G， AC平面 EDB.4.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， M， N分别为棱 A1C1和 AB的中点.(1)求证： MN平面 BCC1B1；(2)若平面 ACC1A1平面 A1B1C1，且 A1B1 B1C1，求证：平面 B1MN平面 ACC1A1.证明 (1)方法一 如图，设 BC的中点为 H，连结 NH， HC1.在 ABC中，因为 N为 AB的中点，所以 NH AC，且 NH AC，12在三棱柱 ABC A1B1C1中，因为 AC A1C1，且 AC A1C1， M为 A1C1的中点，所以 MC1 AC，且 MC1 AC，12
6、所以 NH MC1，且 NH MC1，所以四边形 MC1HN为平行四边形，所以 MN C1H，又 MN平面 BCC1B1， C1H平面 BCC1B1，所以 MN平面 BCC1B1.方法二 如图 2，在侧面 ACC1A1中，连结 AM并延长交直线 CC1于点 Q，连结 BQ.在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1 CC1，所以 ，因为 M为 A1C1的中点，所以 M为 AQ的中点.又因AMMQ A1MMC1为 N为 AB中点，所以 MN BQ，又 MN平面 BCC1B1， BQ平面 BCC1B1，所以 MN平面 BCC1B1. 方法三 如图 3，取 A1B1的中点 O，连结 OM， ON. 在
7、 A1B1C1中，因为 O， M分别为A1B1， A1C1的中点，所以 OM B1C1. 因为 OM平面 BCC1B1， B1C1平面 BCC1B1，所以 OM平面BCC1B1.在三棱柱 ABC A1B1C1中， A1B1 AB且 A1B1 AB，又因为 O， N分别为 A1B1， AB的中点，所以 OB1 NB， OB1 NB，所以四边形 OB1BN为平行四边形，所以 ON B1B，又 ON平面BCC1B1， B1B平面 BCC1B1，所以 ON平面 BCC1B1.因为 OM平面 BCC1B1， ON平面 BCC1B1， OM ON O， OM平面 OMN， ON平面 OMN，所以平面 OM
8、N平面 BCC1B1，又 MN平面 OMN，所以 MN平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1 B1C1, M为 A1C1的中点，所以 B1M A1C1，因为平面 ACC1A1平面 A1B1C1，平面ACC1A1平面 A1B1C1 A1C1， B1M平面 A1B1C1，所以 B1M平面 ACC1A1，又 B1M平面 B1MN，所以平面 B1MN平面 ACC1A1.5.如图， O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面 PAB为等腰直角三角形， C为底面圆周上一点.(1)若弧 BC的中点为 D，求证： AC平面 POD；(2)如果 PAB的面积是 9，求此圆锥的表面积.(1)证明 方法一 设 BC OD
9、 E， D是弧 BC的中点， E是 BC的中点.又 O是 AB的中点， AC OE.又 AC平面 POD， OE平面 POD， AC平面 POD.方法二 AB是底面圆的直径， AC BC.弧 BC的中点为 D， OD BC.又 AC， OD共面， AC OD.又 AC平面 POD， OD平面 POD， AC平面 POD.(2)解 设圆锥底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，圆锥的轴截面 PAB为等腰直角三角形， h r， l r.2由 S PAB 2rh r29，得 r3，12 S 表 rl r2 r r r29(1 ).2 26.已知四棱锥 S ABCD的底面 ABCD为正方形，顶点 S在
10、底面 ABCD上的射影为其中心 O，高为 ，设 E， F分别为 AB， SC的中点，且 SE2， M为 CD边上的点. 3(1)求证： EF平面 SAD；(2)试确定点 M的位置，使得平面 EFM底面 ABCD.(1)证明 取 SB的中点 P，连结 PF， PE. F为 SC的中点， PF BC，又底面 ABCD为正方形， BC AD，即 PF AD，又 PE SA， PE PF P， SA AD A，平面 PFE平面 SAD. EF平面 PFE， EF平面 SAD.(2)解 连结 AC， AC的中点即为点 O，连结 SO，由题意知 SO平面 ABCD，取 OC的中点 H，连结 FH，则 FH SO， FH平面 ABCD，平面 EFH平面 ABCD，连结 EH并延长，则 EH与 DC的交点即为 M点.连结 OE，由题意知 SO ， SE2.3 OE1， AB2， AE1， ，MCAE HCHA 13 MC AE CD，13 16即点 M在 CD边上靠近 C点距离为 的位置.16
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