1、第二十七章 相似一、选择题 1.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是( )A 点 A B 点 B C 点 C D 点 D2.如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是( )A 和 B 和 C 和 D 和3.如图，圆内接四边形 ABCD的 BA， CD的延长线交于 P， AC， BD交于 E，则图中相似三角形有( )A 2对 B 3对 C 4对 D 5对4.如图所示， ABC DEF，其相似比为 k，则一次函数 y kx2 k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是( )A 0.5 B 4 C 2 D 15.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、
2、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似对于两人的观点，下列说法正确的是( )A 甲对，乙不对 B 甲不对，乙对 C 两人都对 D 两人都不对二、填空题 6.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高 EF1.8 m，小华的身高 MN1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即 BF1.8 m， CN1.5 m，且两人相距4.7 m，则路灯 AD的高度是_7.如图， AB， CD相交于 O点， AOC BOD， OC OD12， AC5
3、，则 BD的长为_8.如果两个相似三角形的周长的比为14，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为_9.如图，点 D、 E分别在 ABC边 BC、 AC上，连接线段 AD、 BE交于点 F，若 AE EC13， BD DC23，则 EF FB_.10.已知：3 a2 b，那么 _.三、解答题 11.观察下面图形，指出(1)(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？12.如图， ABC在方格纸中(1)请建立平面直角坐标系使 A、 C两点的坐标分别为(2,3)、 C(5,2)，求点 B的坐标(2)以原点 O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将 ABC放大，
4、画出放大后的图形 A B C.(3)计算 A B C的面积 S.13.如图，在平面直角坐标系网格中，将 ABC进行位似变换得到 A1B1C1.(1) A1B1C1与 ABC的位似比是_；(2)画出 A1B1C1关于 y轴对称的 A2B2C2；(3)设点 P(a， b)为 ABC内一点，则依上述两次变换后，点 P在 A2B2C2内的对应点 P2的坐标是_14.等腰Rt ABCRt A B C，相似比为31，已知斜边 AB12 cm.(1)求 A B C斜边 A B的长；(2)求 A B C斜边 A B上的高15.如图，在四边形 ABCD内选一点 O为位似中心将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)1
5、6.如图，在 ABC中， ABC80， BAC40， AB的垂直平分线分别与 AC、 AB交于点 D、 E，连接 BD.求证： ABC BDC.17.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为21，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m 2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为 x_m，则长为2 xm，根据题意，得 x2x288.解这个方程，得 x112(不合题意，舍去)， x212，所以温室的长为2123128(m)，宽为121114(m)答：当温室的
6、长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m 2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形 A B C D在矩形 ABCD的内部， AB A B， AD A D，且 AD AB21，设AB与 A B、 BC与 B C、 CD与 C D、 DA与 D A之间的距离分别为 a、 b、 c、 d，要使矩形 AB C D矩形 ABCD， a、 b、 c、 d应满足什么条件？请说明理由18.如图，已知 ABC的三个顶点的坐标分别为
7、 A(3,3)、 B(1,0)、 C(4,0)(1)经过平移，可使 ABC的顶点 A与坐标原点 O重合，请直接写出此时点 C的对应点 C1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将 ABC绕点 B逆时针旋转90，得到 A BC，画出 A BC并写出 A点的坐标；(3)以点 A为位似中心放大 ABC，得到 AB2C2，使放大前后的面积之比为14，请你在网格内画出 A2B2C2.答案解析1.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.2.【答案】C【解析】和相似，由勾股定理求出的三角形的各边长分别为2、 、 ；由勾股定理求出的各边长分别为2 、2、2 ， ， ，即 ，两三角形的三边对应边成比例，
8、相似故选C.3.【答案】C【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知，图中相似三角形有4对，分别是 ADE BCE， AEB DEC， PAD PCB， PBD PCA.故选C.4.【答案】D【解析】 ABC DEF，其相似比为 k， k ，一次函数 y kx2 k的图象与两坐标轴的交点分别为(2,0)，(0，2 k)，一次函数 y kx2 k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 22k2 k1.故选D.5.【答案】A【解析】甲：根据题意，得 AB A B， AC A C， BC B C， A A， B B， ABC A B C，甲说法正确；乙：根据题意，得 AB CD3， AD
9、 BC5，则 A B C D325， A D B C527， ， ， ，新矩形与原矩形不相似乙说法不正确故选A.6.【答案】4 m【解析】设路灯的高度为 xm， EF AD， BEF BAD， ，即 ，解得 DF x1.8， MN AD， CMN CAD， ，即 ，解得 DN x1.5，两人相距4.7 m， FD ND4.7， x1.8 x1.54.7，解得 x4.7.【答案】10【解析】 AOC BOD， ，即 ，解得 BD10.8.【答案】14【解析】两个相似三角形的周长的比为14，两个相似三角形的相似比为14，周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为14.9.【答案】【解析】
10、作 EH BC交 AD于 H， ， ， ， EH BC， ，10.【答案】【解析】3 a2 b， ，可设 a2 k，那么 b3 k， .11.【答案】解 通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同【解析】通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，找出它们与(a)(b)(c)的相同于不同，然后作出判断12.【答案】解 (1)如图画出原点 O， x轴、 y轴，建立直角坐标系，可知 B的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形 A B C，即为所求；(3)S A B C 4612
11、.【解析】(1)根据 A， C点坐标进而得出原点位置，进而得出 B点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案13.【答案】解 (1) A1B1C1与 ABC的位似比等于 2；(2)如图所示(3)点 P(a， b)为 ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点 P的对应点的坐标为(2 a,2b)【解析】(1)根据位似图形可得位似比即可；(2)根据轴对称图形的画法画出图形即可；(3)根据三次变换规律得出坐标即可14.【答案】解 (1)等腰Rt ABCRt A B C，相似比为31， AB A B31，Rt ABC的斜边 AB12 cm， A
12、B C斜边 A B4 cm；(2) A B C是等腰直角三角形， A B C斜边 A B上的高 A B C斜边 A B上的中线， A B C斜边 A B上的高2 cm.【解析】(1)由等腰Rt ABCRt A B C，相似比为31，根据相似比的定义，可得 AB A B31，继而求得答案；(2)由 A B C是等腰直角三角形，利用三线合一的性质，可得 A B C斜边 A B上的高即是斜边 A B上的中线，继而求得答案15.【答案】解 如图，四边形 A B C D为所作【解析】在四边形 ABCD内选一点 O，延长 OA到点 A，使 AA OA，则点 A为点 A的对应点，同样方法画出点 B、 C、
13、D的对应点 B、 C、 D，于是可得到四边形 ABCD放大两倍后的四边形 A B C D.16.【答案】证明 DE是 AB的垂直平分线， AD BD. BAC40， ABD40， ABC80， DBC40， DBC BAC， C C， ABC BDC.【解析】由线段垂直平分线的性质，得 DA DB，则 ABD BAC40，从而求得 CBD40，即可证出 ABC BDC.17.【答案】解 (1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为21的理由在“设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为2 xm”前补充以下过程：设温室的宽为 xm，则长为2 xm.则矩形蔬菜种植区域的宽为( x11)m，长为(2
14、 x31)m. 2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为21；(2)要使矩形 A B C D矩形 ABCD，就要 ，即 ，即 ，即2 AB2( b d)2 AB( a c)， a c2( b d)，即 2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为21的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为2 xm，然后由题意得 2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为21，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形 A B C D矩形 ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，即 ，然后利用比例的性质，即可求得答案18.【答案】解 (1)经过平移，可使 ABC的顶点 A与坐标原点 O重合， A点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，故 C1坐标为(1，3)；(2)如图所示： A BC即为所求， A点的坐标为(4,4)；(3)如图所示： AB2C2，即为所求【解析】(1)直接利用平移的性质得出 A点平移规律，进而得出答案；(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；(3)直接利用位似图形面积比得出相似比为12，即可得出对应点位置
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