安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学（文）试题含答案（pdf版）

1、 合 肥市 2019届高三第一次教学质量检测 数学试题 (文科 ) (考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若 集合 12A x x ， 10B x x ，则 AB=( ). A. 1xx B. 11xx C. 2xx D. 21xx 2.设 i 是虚数单位，复数 i 1 2ia为纯虚数，则实数 a 为 ( ). A.-2 B.2 C. 12 D.12 3.设双曲线 22:1xyCab( 00ab， )的虚轴长为 4，一条渐近线为 12yx ，则双曲线 C 的方程

2、为 ( ). A. 22116 4xyB. 2214 16xyC. 22164 16xyD. 22 14yx 4.执行右图 所示 的程序框图，则输出 n 的值为 ( ). A.63 B.47 C.23 D.7 5.设向量 3 4a， ， 向量 b 与向量 a 方向相反，且 10b ， 则向量 b 的 坐标为 ( ). A. 6855， B. 6 8， C. 6855， D. 6 8， 6.设 30.2a ， 2log 0.3b ， 3log 2c ， 则 ( ). A.abc B.a c b C.bac D.c a b 7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分

3、布饼状图、 90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是 ( ). 注： 90 后指 1990 年及以后出生， 80 后指 1980-1989 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生 . A.互联网行 业从业人员中 90 后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事 技术岗位的人数 90 后比 80 后多 8.已知 1cos sin5，则 cos 22=( ). A. 2425B. 45C.2425D.459.如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线 画出的

4、是 某 三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( ). A.6 B.24 C.48 D.96 10.已知函数 xxf x x e e，对 于 实数 ab， ， “ 0ab ” 是 “ 0f a f b” 的 ( ). A.充 分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知过抛物线 2 42yx 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ， 3AF FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AM l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为 ( ). A.123 B.12 C.83 D.63 12.若 关于 x 的方程 0xe ax a

5、没有实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ). A. 2 0e ， B. 20 e， C. 0e， D. 0e， 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13题 第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .把答案填在答题卡的相应位置 . 13.设 xy， 满足约束条件001030xyxyxy ，则 2z x y的取值范围为 . 14.部分与 整体 以某种 相似 的方式 呈现 称为分形 .谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出 .具体操作是 取一个实心三角

6、形，沿 三角形的 三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形 后 ，对其余 3 个小三角形重复上述过程 逐次 得到各个图形， 如图 . 现 在 上述 图 (3)中 随机 选 取一 个 点， 则 此点取自阴影部分的概率为 . 15.设等差数列 na 满足 2 5a ， 6830aa ，则数列21 1na的前 n 项 的 和 等于 . 16.设 ABC 的内角 A B C， ， 的对边长 a b c， ， 成等比数列， 1cos cos 2A C B ，延长 BC 至 D ，若2BD ，则 ACD 面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.

7、(本小题满分 12 分 ) 将 函数 sin2f x x 的 图像向左平移6个单位后得到函数 gx的图像，设函数 h x f x g x. ( )求函数 hx的单调递增区间； ( )若 163g ，求 h 的 值 . 已知：如图，在四棱锥 P ABCD 中， BCD 为等边三角形， 23BD ， 2PA ， AB AD PB PD ，120BAD. ( )若 点 E 为 PC 的中点， 求证： BE 平面 PAD ； ( )求四棱锥 P ABCD 的 体积 . BDPCEA19.(本小题满分 12 分 ) 某学校九年级 三个班共有学生 140 人 .为了 了 解学生的睡眠情况， 现 通过分层抽

8、样的方法获得 这 三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据 (单位：小时 ) 甲班 30 31 32 32.5 34 35 36； 乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5； 丙班 30 30 31 33.5 39 40. ( )试估 算每一个班 的学生数； ( )设抽取的 这 20 位学生睡眠时间的平均数 为 x .若在 丙班抽取的 6 名学生中 ，再随机选取 3 人 作进一步地调查 ，求 选取的这 3 名学生 睡眠时间既 有 多于 x 、 又 有 少于 x 的概率 . 20.(本小题满分 12 分 ) 设椭圆 :E 221xyab( 0ab )的左、右焦点分别为 12FF， ，

9、过 1F 的直线交椭圆于 A ， B 两点，若椭圆 E 的离心率为 22 ， 2ABF 的周长为 46. ( )求椭圆 E 的方程； ( )设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C ， D ，设弦 AB ， CD 的中点分别为MN， ，证明 ： O M N， ， 三点共线 . 21.(本小题满分 12 分 ) 已知函数 1 1 lnxf x e a x x (a R e， 是自然对数的底数 ). ( )设 g x f x (其中 fx 是 fx的导数 )，求 gx的 极小值 ； ( )若对 1x ， ，都有 1fx 成立，求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22、 2

10、3 题中任选一题作答 .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 . 22.(本小题满分 10 分 )选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 cossinxy ( 为参数 ).以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 =2cos. ( )求 1C 、 2C 交点的直角坐标； ( )设点 A 的极坐标为 34， ，点 B 是 曲线 2C 上的点，求 AOB 面积的最大值 . 18.本小题满分 12 分 ) 23.(本小题满分 10

11、分 )选修 4-5：不等式选讲 设函数 1f x x . ( )若 22f x x，求实数 x 的取值范围； ( )设 g x f x f ax( 1a )，若 gx的最小值为 12 ，求 a 的值 . 合 肥市 2019届高三第一次教学质量检测数学试题 (文科 ) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 . 二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13.-1， 6 14.916 15. 41nn16. 34 三、解答题： 17.(本小题满分 12 分 ) ( )由已知可 得 sin 23g x x ，则 s i n 2 s i n 2 s i n

12、233h x x x x . 令 2 2 22 3 2k x k k Z ，解得 51 2 1 2k x k k Z ，. 函数 hx的单调递增区间为 5 1 2 1 2k k k Z ，. 5 分( )由 163g 得 21s i n 2 s i n 26 3 3 3 ， 1sin 233 ，即 13h . 12 分 18.(本小题满分 12 分 ) ( )取 CD 的中点为 M ， 连结 EM ， BM . BCD 为等边三角形， BM CD . 120BAD， AD AB ， 30ADB， AD CD ， /BM AD . 又 BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ， BM 平面

13、PAD . E 为 PC 的中点， M 为 CD 的 中点， EM PD . 又 EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD ， EM 平面 PAD . EM BM M ， 平面 BEM 平面 PAD . 又 BE 平面 BEM ， BE 平面 PAD . 5 分 ( )连结 AC 交 BD 于 O ，连结 PO . CB CD AB AD， ， AD BD .O 为 BD 的中点 . 又 120BAD， 23BD ， PBD ABD ， 1AO PO. 又 2PA ， 2 2 2PA PO OA， PO OA . 又 PO BD ， PO 平面 ABD ，即四棱锥 P ABCD 的高为 =1

14、PO ， 四棱锥 P ABCD 的体积 21 3 1 4 32 3 2 3 1 13 4 2 3V . 12 分 19.(本小题满分 12 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D D D C B C A A ( )甲班： 7140 4920(人 )，乙班 7140 4920(人 )，丙班 6140 4220(人 ). 5 分 ( ) 34x . 设事件 A “ 3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的学生” .丙班睡眠时间少于 x 的有 4 人，设为 1 2 3 4A A A A， ， ， ， 多 于 x 的有 2 人，设为 12

15、BB， .从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有 20 种，而不满足条件的基本事件 (3 人睡眠时间都低于 x )有 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4, , ,A A A A A A A A A A A A共 4 种情况，所以满足条件的基本事件数为 16 种， 16 4()20 5PA，即在 丙班 被 抽取的 6 名学生中 ，再随机地选取 3 人 作进一步地调查 ，选取的 3 人睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 学生的概率为 45. 12 分 20.(本小题满分 12 分 ) ( )由题意知， 4 4 6 6aa， . 又 22e ， 3c ， 3b ， 椭圆 E

16、的方程为 22163xy. 5 分 ( )易知，当直线 AB CD、 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点 MN， 在 x 轴上， O M N， ， 三点共线； 当直线 AB CD， 的斜率存在时，设其斜率为 k ，且设 1 1 2 2 0 0A x y B x y M x y， ， ， ， ，. 联立方程得221122163163xyxy 相减得 2 2 2 21 1 2 2 06 3 6 3x y x y ， 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 26 3 6 3x x x x y y y yx x y y ， ， 1 2 1 21 2 1 236y y y yx x

17、 x x ， 0121 2 036yyyx x x ，即 12OMkk ， 12OMk k. 同理可得 12ONk k， OM ONkk ，所以 O M N， ， 三点共线 . 12 分 21.(本小题满分 12 分 ) ( ) 1 1 0xg x f x e a xx ， 121xg x e x . 令 121 0 xx g x e xx， 132 0 xxe x， gx 在 0， 上为增函数， 10g . 当 0 1x ， 时， 0gx ；当 1x ， 时， 0gx ， gx的单调递减区间为 (0， 1)，单调递增区间为 1， ， 12g x g a 极 小. 5 分 ( )由 ( )知，

18、 fx 在 1， 上单调递增，在 (0， 1)上单调递减， 12f x f a . 当 2a 时， 0fx ， fx在 1， 上单调递增， 11f x f，满足条件； 当 2a 时， 1 2 0fa . 又 ln 11l n 1 0l n 1 l n 1af a e a aa ， 0 1 ln 1xa ， ，使得 0 0fx ， 此时， 01xx ， ， 0fx ； 0 ln 1x x a， ， 0fx ， fx在 01x， 上单调递减， 01xx ， ，都有 11f x f，不符合题意 . 综上所述， 实数 a 的取值范围为 2， . 12 分 22.(本小题满分 10 分 ) ( ) 22

19、1 :1C x y， 2 : =2cosC ， 2=2 cos ， 222x y x . 联立方程组得 222212xyx y x ，解得 111 232xy ， 221 232xy ， 所求交点的坐标为 13 22， 13 22，. 5 分 ( )设 B， ，则 =2cos， AOB 的面积 11s i n 4 s i n 4 c o s s i n2 2 3 3S O A O B A O B 2 cos 2 36 当 2312 时，max 23S . 10 分 23.(本小题满分 10 分 ) ( ) 22f x x，即 12 2xx 12 2xx或 1 2 2xx 13x或 3x ， 实数 x 的取值范围是 1 3，. 5 分 ( ) 1a ， 11a， 1 2 1111112a x xg x a x xaa x xa ， ， ， ， 易知函数 gx在 1xa ，时单调递减，在 1xa ，时单调递增， m in 111g x g aa . 1112a， 解 得 2a . 10 分