1、17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 勾股定理的逆定理,1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）,导入新课,问题1 勾股定理的内容是什么?,如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,b,c,a,问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：, a3，b4； a2.5，b6； a4，b7.5.,c=5,c=6.5,c=8.5,复习引入,思考 以前我们已经学过了通过角的关
2、系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？,同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?,打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.,情景引入,思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?,大禹治水,相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.,讲授新课,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量
3、角器量一量，它们都是直角三角形吗？,是,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？, 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, 8,15,17满足82+152=172.,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？,32+42=52，满足.,a2+b2=c2,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.,我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.,问题3 据此你有什么猜想呢?,由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三
4、角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,？,已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形,构造两直角边分别为a,b的RtABC,证一证:,证明：作RtABC，使C=90，AC=b，BC=a，,ABC ABC(SSS)，,C= C=90 ， 即ABC是直角三角形.,则,勾股定理的逆定理:,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为
5、直角.,特别说明：,归纳总结,例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1) a=15 ， b=8 ，c=17;,解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且C是直角.,(2) a=13 ，b=14 ，c=15.,(2)132+142=365，152=225， 132+142152，不符合勾股定理的逆定理， 这个三角形不是直角三角形.,根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.,【变式题1】若ABC的三边a,b,
6、c满足 a:b: c=3:4:5，是判断ABC的形状.,解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0), (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, (3k)2+(4k)2=(5k)2, ABC是直角三角形，且C是直角.,已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.,【变式题2】(1)若ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1, c= ，试说明ABC是直角三角形.,解：a+b=4,ab=1, a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
7、 又c2=14, a2+b2=c2, ABC是直角三角形.,(2) 若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状.,解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5，即 a2+b2=c2.ABC是直角三角形.,例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由,解：AFEF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则ECa，BE3a，CFDF2a. 在RtA
8、BE中，得AE2AB2BE216a29a225a2. 在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2. 在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中，AE2EF2AF2， AEF为直角三角形，且AE为斜边 AFE90，即AFEF.,练一练,1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7,C,2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ） A4 B3 C2.5 D2.4,D,3.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是_.,等腰三角形或直角
9、三角形,如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.,概念学习,常见勾股数：,3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.,下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132,A,方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
10、,练一练,命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,前面我们学习了两个命题，分别为：,命题1：,直角三角形,a2+b2=c2,命题2：,直角三角形,a2+b2=c2,题设,结论,它们是题设和结论正好相反的两个命题.,问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？,问题2 两个命题的条件和结论有何联系？,一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定
11、理为互逆定理.,题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.,归纳总结,说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,内错角相等，两条直线平行.,如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.,对应角相等的三角形全等 .,在角平分线上的点到角的两边距离相等.,成立,不成立,不成立,成立,练一练,当堂练习,1.下列各组数是勾股数的是 ( )A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5
12、 D.1，3，5,将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到 的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形,B,A,3.在ABC中，A, B, C的对边分别a,b,c. 若C- B= A,则ABC是直角三角形； 若c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=90； 若(c+a)(c-a)=b2,则ABC是直角三角形; 若A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,A,4.已知a、b、c是ABC三边的长，且满足关系式，则ABC的形状是 _,等腰直角三角形,5.(
13、1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_cm;,12,(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_,有两个角相等的三角形是等腰三角形,6.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n为大 于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是， 哪一条边所对的角是直角？请说明理由.,解：AB+BC=(n-1)+(2n)=n4 -2n+1+4n=n4 +2n+1=(n+1)=AC， ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.,7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10， AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积., ABC是直角三角形且B是直角., ADC是直角三角形且 D是直角，, S 四边形 ABCD=,课堂小结,勾股定理 的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是 否是直角形三角形.,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,注意,最长边不一定是c， C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,
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