1、2019 届高三模拟考试试卷数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)2019.1 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1. 已知集合 A1，3，5，B3，4 ，则集合 AB .2. 复数 z (i 为虚数单位 )的虚部是 .1 2ii3. 某班级 50 名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在6080 分的学生人数是 .4. 连续抛掷一颗骰子 2 次，则掷出的点数之和为 8 的概率为 .5. 已知 3sin()cos ，则 tan() 的值是 .6. 如图所示的流程图中，若输入的 a，b 分别为 4，3，则输出 n 的值为 .
2、7. 在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3，1)，则该双曲线的离心率为 .8. 曲线 yx2e x在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 .9. 如图，某种螺帽是由一个半径为 2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 .10. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x2y10 上的圆的标准方程为 .11. 设 Sn是等比数列a n的前 n 项和，若 ，则 .S5S10 13 S5S20 S1012. 设函数 f(
3、x) 若方程 f(x)kx 3 有三个相异的实根，则实数 k 的取值 x2 2x， x 0， 2x， xb0)，半焦距为 c，x2a2 y2b2因为椭圆的离心率为 ，所以 ，即 a2c.12 ca 12因为 A 到右准线的距离为 6，所以 a 3a6，(2 分)a2c解得 a2，c1，(4 分)所以 b2a 2c 23，所以椭圆 E 的标准方程为 1.(6 分)x24 y23(2) 直线 AB 的方程为 y (x2)，32由 得 x23x20，解得 x2 或 x 1，y 32（ x 2） ，x24 y23 1， )则点 B 的坐标为(1， ).(9 分 )32由题意，得右焦点 F(1，0) ，
4、所以直线 BF 的方程为 y (x1).(11 分)34由 得 7x26x130，解得 x1 或 x ，(13 分)y 34（ x 1） ，x24 y23 1， ) 137所以点 M 坐标为( ， ).(14 分)137 91418. 解：(1) 以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，因为 00)，又点 B 在射线 yx(x0)上，所以可设 B(b，b)(b0)，由 2 ，得 所以 (4 分)BP PA 2 b 2（ a 2） ，1 b 2， ) a32，b 3， )所以 A( ，0) ， B(3，3)，AB .32 （ 3 32） 2 32 352答：点 A，B 之间的距
5、离为 千米.(6 分)352(2) (解法 1)设总造价为 S，则 SnOA 2 nOB(OA2 OB)n，2 2设 yOA 2 OB，要使 S 最小，只要 y 最小.2当 ABx 轴时，A(2，0)，这时 OA2，OB2 ，2所以 yOA 2 OB2810.(8 分)2当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x2) 1(k0).令 y0，得点 A 的横坐标为 2 ，所以 OA2 ；1k 1k令 xy，得点 B 的横坐标为 .(10 分)2k 1k 1因为 2 0，且 0，所以 k1，1k 2k 1k 1此时 yOA 2 OB2 ，21k 4（ 2k 1）k 1y .(12
6、 分)1k2 4（ k 1） 2 （ k 1） （ 3k 1）k2（ k 1） 2当 k1 时，y 2 10 10 10.1k 8（ k 1） 4k 1 4k 1 1k 3k 1k（ k 1）综上，要使 OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点 千米322处.(16 分 )(解法 2)如图，作 PMOA 交 OB 于点 M，交 y 轴于点 Q，作 PNOB 交 OA 于点 N，因为P(2， 1)，所以 OQ1.因为BOQ 45 ，所以 QM1，OM ，2所以 PM1，PNOM .2由 PMOA ，PN OB，得 ， ，(8 分)2OB PAAB 1O
7、A PBAB所以 1.(10 分)2OB 1OA PAAB PBAB设总造价为 S，则 SnOA2 nOB(OA 2 OB)n，2 2设 yOA 2 OB，要使 S 最小，只要 y 最小.2yOA 2 OB(OA2 OB)( )5 ( )9，(14 分)2 22OB 1OA 2OAOB 2OBOA当且仅当 OA OB 时取等号，此时 OA3，OB .2322答：要使 OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3 千米处，B 位于距 O 点 千米处.322(16 分)19. 解：(1) 当 ab1 时，f(x)x 3x 24，f ( x)3x 22x.(2 分)令 f(x)0，解得
8、x0 或 x0，h(x) 单调递增；当 x(0 ，)时，h(x )0，h(x)单调递增.当 x0 时，h( x)的值域为 R，故不论 取何值，方程 x 有且仅有一个根； (8 分)ba ba 4 x3x2 4x2当 x0).1x 1 2bx2x当 b0 时，因为 g(x)0，所以 g(x)在(0 ，)上递增，且 g(1)b0，所以在(1，)上，g( x)ln xbx 20，不合题意；(11 分)当 b0 时，令 g(x) 0，得 x ，1 2bx2x 12b所以 g(x)在(0， )上递增，在( ，)上递减，12b 12b所以 g(x)maxg( )ln .12b 12b 12要使 g(x)0
9、 有解，首先要满足 ln 0，解得 b0，12 12要使 f(x)0，g（ 3） 0， )即 解得 b0，ln 3 9b 0， ) ln 39 ln 24设 h(x) ，则 h(x) .ln xx 1 ln xx2当 x(0 ，e) 时， h( x)0，h(x)递增；当 x(e，)时，h(x)h(2) ，所以 .1e ln 22 12eln 24由，得 bbn且 bnb n2 b n1 b n2 ( bn1 b n)cn1 ，所以(c n)maxc 2 0)，则 ( ，1，c)， (1，0，0).PB 12 CB 设平面 PBC 的一个法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，(3 分)则 取
10、 z11，则 y1c，从而 n1(0 ，c，1).12x1 y1 cz1 0，x1 0， )设 PA 与平面 PBC 所成角为 ，因为 ( ，0，c)，PA 12所以 sin |cos ，n 1 | ，PA |PA n1|PA |n1|c14 c2c2 1 217解得 c2 或 c2 ，所以 PA1 或 PA .(5 分)34 13 216(2) 由(1)知，PAAB 1，所以 PA1，c .32由(1)知，平面 PBC 的一个法向量为 n1(0，c，1)(0 ， ，1).(6 分)32设平面 PCE 的一个法向量为 n2(x，y，z)，而 (1， ，0)， ( ，1， )，CE 12 PC 12 32所以 取 x1，则 y2，z ，即 n2(1 ，2， ).(8 分)x 12y 0， 12x y 32z 0， ) 3 3设二面角 BPCE 的平面角为 ，所以|cos |cosn 1，n 2 | .|n1n2|n1|n2| 2372 22 67 427根据图形得 为锐角，所以二面角 BPCE 的余弦值为 .(10 分)427
浙公网安备33030202001339号