1、2019 届高三年级第一次模拟考试(一)数学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式：锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为底面积，h 为高13一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分1. 若集合 A(，1，B1，1，2 ，则 AB_2. 设复数 za i(其中 i 为虚数单位)若 zz2，则实数 a 的值为_3. 某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 235.现用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，其中样本中 A 型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n_.4. 从 1，2，3 中选 2 个不同的数字组成一个两位数，这个
2、两位数是偶数的概率为_5. 在如图所示的流程图中，若输入 x 的值为4，则输出 c 的值为_(第 5 题)(第 9 题)6. 若双曲线 1 的离心率为 2，则实数 m 的值为_x22 y2m7. 已知 yf(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)e x1，则 f(ln 2)的值为_8. 已知等比数列a n为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn.若 a22，S 37，则 a5 的值为_9. 如图，PA平面 ABC，ACBC，PA4，AC ，BC1，E、F 分别为3AB、PC 的中点，则三棱锥 BEFC 的体积为_10. 设 A(x，y)|3x4y7 ，点 PA，过点 P 引圆
3、(x1) 2y 2r 2(ro)的两条切线PA、PB.若APB 的最大值为 ，则 r 的值为_311. 设函数 f(x)sin ，其中 0.若函数 f(x)在0，2 上恰有 2 个零点，则 的(x 3)取值范围是_12. 若正实数 a、b、c 满足 aba2b，abca2bc，则 c 的最大值为_13. 设函数 f(x)x 3a 2x(a0，x0) ，O 为坐标原点，A(3，1) ，C(a，0)若对此函数图象上的任意一点 B，都满足 成立，则 a 的值为_OA OB OA OC 14. 若数列a n满足 a10， a4n1 a 4n2 a 4n2 a 4n3 3， ，其中a4na4n 1 a4
4、n 1a4n 12nN *，且对任意 nN *都有 anb0)的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为x2a2 y2b28，直线 l：yk(xm)(m R) 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k 2.若 m0，求 k1k2 的值；若 k1k2 ，求实数 m 的值1419. (本小题满分 16 分)若函数 yf(x)在 xx 0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf(x) 的极值点设函数 f(x)x 3tx 21(tR )(1) 若函数 f(x)在区间(0 ，1)上无极值点，求 t 的
5、取值范围；(2) 求证：对任意实数 t，在函数 f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；(3) 当 t3 时，若函数 f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由20. (本小题满分 16 分)已知数列a n，其中 n N*.(1) 若a n满足 an1 a nq n1 (q0，nN *)当 q2，且 a11 时，求 a4 的值；若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足 2srt ，且 ar，a s，a t成等差数列，求 q 的值（2）设数列a n的前 n 项和为 bn，数列b n的前 n 项和为 cn，c nb n2 3，nN *, 若 a11，
6、a 22，且| a anan2 |k 恒成立，求 k 的最小值2n 12019 届高三年级第一次模拟考试(一)数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)直线 l：2xy30 经过矩阵 M 变换后还是直线 l，求矩阵 M 的特征值a01dB. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2cos .以极点 O 为原点，极轴 Ox 所在的直线为
7、x 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ，求直线 l 被x 2 32t，y 12t )圆 C 截得的弦长C. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)已知正实数 x、y 、z，满足 xyz3xyz，求 xy yzxz 的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面ABCD，AD 1，PA AB ，E 是棱 PB 的中点2(1) 求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； (2) 求二面角 BEC
8、D 的余弦值23. (本小题满分 10 分)已知数列a n满足 a11，a 23，且对任意 nN *，都有a1C a 2C a 3C a n1 C ( an2 1)2 n1 成立0n 1n 2n n(1) 求 a3 的值；(2) 证明：数列a n是等差数列2019 届高三年级第一次模拟考试(一)(南京、盐城)数学参考答案1. 1，1 2. 1 3. 80 4. 5. 4 6. 6 7. 3 8. 16 9. 10. 1 11. 13 36 56，43)12. 13. 14. 887 6215. (1) 由 2S ，得 bcsin Abccos A，AB AC 因为 A(0， )，所以 tan
9、A1，即 A .4故 A 的大小为 .(6 分)4(2) 在ABC 中，因为 cos B ，45所以 sin B ，35所以 sin Csin(A B)sin Acos Bcos Asin B .(10 分)7210由正弦定理 ，得 ，asin A csin C a22 77210解得 a5.故 a 的值为 5.(14 分)16. (1) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB 1平面 ABC.(2 分)因为 AD平面 ABC，所以 BB1AD.又因为 ADDE，在平面 BCC1B1 中，BB 1 与 DE 相交，所以 AD平面 BCC1B1.又因为 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面
10、BCC1B1.(6 分)(2) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB 1平面 A1B1C1.(8 分)因为 A1F平面 A1B1C1，所以 BB1A 1F.又因为 A1FB 1C1，在平面 BCC1B1 中，BB 1B 1C1B 1，所以 A1F平面 BCC1B1.(10 分)在(1)中已证得 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD.又因为 A1F平面 ADE，AD 平面 ADE，所以 A1F平面 ADE.(14 分)17. (1) 由题意，得 f(6)29.6，代入 f(x)mln xx 6(4x22，mR )，得600xx2 144mln 66 629.6，解得 m12.(5 分)6
11、00662 144(2) 由已知函数求导得 f(x) 600 (12x) .12 xx 144 x2（x2 144）2 1x 600（12 x）（x2 144）2令 f(x)0 得 x12，(9 分)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x (4，12) 12 (12，22)f(x) 0 f(x) 极大值 所以函数在 x12 处取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12时(12 分)答：(1) 实数 m 的值为 12.(2) 每天空气质量指数最高的时刻为 12 时(14 分)18. (1) 在椭圆 C 中，2c 2，两准线间的距离为 2 8，即 4，a2c a2c
12、联立方程组 解得2c 2，a2c 4，) a 2，c 1，)所以 b23，所以椭圆的方程为 1.(3 分)x24 y23(2) 由(1)得，点 A(2，0)，设点 P(x0，y 0)，由于 m0，则 Q(x 0，y 0)由 1 得 y 3 ，(5 分)20所以 k1k2 .y0x0 2 y0 x0 2 34故 k1k2 的值为 .(8 分)34由(1)得，点 A(2，0)设点 P(x1，y 1)，则直线 AP 的方程为 yk 1(x2)，联立 x24 y23 1，y k1（x 2），)消去 y，得(34k )x216k x16k 120，21 21 21所以 xAx1 ，(10 分)所以 x1
13、 ，代入 yk 1(x2)，得 y1 ，所以点 P .(12 分)由 k1k2 得 k2 ，14 14k1整体代换得点 Q( ， )(13 分) 12k11 12k设 M(m，0)，由 P、Q、M 三点共线，得 ，PM QM 即 ( m) ，化简得(m1)(16k 4)0，21解得 m1.故实数 m 的值为 1.(16 分)19. (1) 由函数 f(x)x 3tx 21，得 f(x)3x 22tx，由 f(x) 0，得 x0 或 x t.23因为函数 f(x)在区间 (0，1)上无极值点，所以 t0 或 t1，23 23解得 t0 或 t .32故 t 的取值范围为(，0 .(4 分)32，
14、 )(2) 由(1)知 f(x)3x 22tx，令 f(x) 1，则 3x22tx1 0，所以 (2t) 2120 ，即对任意实数 t，f(x)1 总有两个不同的实数根 x1，x 2，所以不论 t 为何值，函数 f(x)的图象在点 xx 1，xx 2 处的切线平行 (8 分)设这两条切线的方程分别为 y(3x 2tx 1)x2x tx 1 和 y(3x 2tx 2)x2x tx21 31 21 2 321.2若两条切线重合，则2x tx 12x tx 1，31 21 32 2即 2(x x 1x2x )t(x 1x 2)，21 2即 2(x1x 2)2 x1x2t(x 1x 2)又 x1x 2
15、 ，2t3所以 x1x2 ，t29所以(x 1x 2)2(x 1x 2)24x 1x2 0，即 x1x 2，这与 x1x 2 矛盾，4t29 4t29所以这两条切线不重合综上，对任意实数 t，函数 f(x)的图象总存在两条切线相互平行 (10 分)(3) 当 t3 时，f(x)x 33x 21，则 f(x) 3x26x，由(2)知当 x1x 22 时，两切线平行设 A(x1，x 3x 1) ，B(x 2，x 3x 1)，不妨设 x1x2，则过点 A 的切线方程为31 21 32 2y(3x 6x 1)x2x 3x 1.(11 分)21 31 21所以两条平行线间的距离d4，化简得(x 11)
16、619(x 11) 21 2，(13 分)令(x 11) 2(0)，则 319(1) 2，即( 1)( 21)9(1) 2，即( 1)( 2810)0，显然 1 为一解， 28 100 有两个异于 1 的正根，所以这样的 有三解又(x 11) 2(0), x 1x2, x1x 22，所以 x1 有三解，所以满足此条件的平行切线共有 3 组(16 分)20. (1) 由 a4a 34，a 3a 22，a 2a 11，累加得 a48.(3 分)因为 an1 a nq n1 ，所以 ana n1 q n2 ，a 2a 11，当 q1 时，a nn，满足题意；当 q1 时，累加得 an1 a 1，1
17、qn1 q所以 an a 1.(5 分)1 qn 11 q若存在 r，s，t 满足条件，化简得 2qsq rq t，即 2q rs q ts 2 2，qr t 2s此时 q1(舍去)(7 分)综上所述，符合条件 q 的值为 1. (8 分)(2) 由 cnb n2 3，nN *可知 cn1 b n3 3，两式作差可得 bn3 b n2 b n1 ，又由 c11，c 24，可知 b34，b 47，故 b3b 2b 1，所以 bn2 b n1 b n对一切的 nN *恒成立(11 分)对 bn3 b n2 b n1 ，b n2 b n1 b n两式进行作差可得 an3 a n2 a n1 ，又由
18、b34，b 47 可知 a31，a 43，故 an2 a n1 a n(n2)(13 分)又由 a a n1 an3 (a n 1a n)2a n1 (an2 a n1 )( an1 a n)2a n1 (an2a n1 )2n 2a a nan2 ，n2，2n 1所以|a a n1 an3 |a a nan2 |，(15 分)2n 2 2n 1所以当 n2 时，|a a nan2 |5；2n 1当 n1 时，|a a nan2 | 3，2n 1故 k 的最小值为 5.(16 分)21. A. 设直线 l 上一点(x，y)，经矩阵 M 变换后得到点( x，y)，所以 ，即a01dxy xy x
19、 ax，y x dy，)因为变换后的直线还是直线 l，将点(x，y)代入直线 l 的方程，得 2ax(xdy )30，即(2a1) xdy 30，所以 解得 (6 分)2a 1 2， d 1，) a 32，d 1，)所以令矩阵 M 的特征多项式 f() (a)(d)0，| a 0 1 d|解得 a 或 d，所以矩阵的 M 的特征值为 与 1.(10 分)32B. 由 2cos ，得 22cos ，所以 x2y 22x 0，所以圆 C 的直角坐标方程为(x1) 2y 21，圆心 C(1，0)，半径 r1.(3 分)又x 2 32t，y 12t， )消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 x y2
20、0，(6 分)3所以圆心到直线 l 的距离 d ，所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2|1 2|12 （3）2 12 . (10 分)12 (12)2 3C. 因为 xyz3xyz ，所以 3.(5 分)1xy 1yz 1zx又(xyyz zx ) (111) 29，(1xy 1yz 1zx)所以 xyyzzx3，当且仅当 xyz1 时取等号，所以 xyyzzx 的最小值为 3. (10 分)22. (1) 因为 PA底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标
21、系又因为 PAAB ，AD1，2所以 A(0，0， 0)，B( ，0，0) ，C( ，1，0) ，D(0，1，0)，P(0，0， )(2 分)2 2 2因为 E 为棱 PB 的中点，所以 E ，(22，0，22)所以 ， (0，1， )，EC ( 22，1， 22) PD 2所以 cos ， ，EC PD 1 112 1 121 2 63所以异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值为 .(6 分)63(2) 由(1)得 ， (0，1，0)， ( ，0，0) EC ( 22，1， 22) BC DC 2设平面 BEC 的法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，所以 22x1 y1 22z1 0
22、，y1 0， )令 x11，则 z11，所以平面 BEC 的一个法向量为 n1(1，0，1)设平面 DEC 的法向量为 n2( x2，y 2，z 2)，所以 22x2 y2 22z2 0，2x2 0， )令 z2 ，则 y21，2所以平面 DEC 的一个法向量为 n2(0 ，1， )，2所以 cosn 1， n2 ，21 11 2 33由图可知二面角 BECD 为钝角，所以二面角 BECD 的余弦值为 . (10 分)3323. (1) 在 a1C a 2C a 3C a n1 C (a n2 1)2 n 1 中，0n 1n 2n n令 n1，则 a1C a 2C a 31，01 1由 a11，a 23，解得 a35. (3 分)(2) 假设 a1，a 2，a 3，a k 是公差为 2 的等差数列，则 ak2k1. 当 n1 时，a 11，a 23，a 35, 此时假设成立；(4 分)当 nk(k2，kN *)时，a 1，a 2，a 3，a k是公差为 2 的等差数列(5 分)由 a1C a 2C a 3C a kC (a k1 1)2 k2 ，k 2，0k 1 1k 1 2k 1 k 1对该式倒序相加，得(a 1a k)2k1 2( ak1 1)2 k2 ，所以 ak 1a k a112，所以 ak 12k12(k 1) 1.根据、可知数列 是等差数列(10 分)an
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