1、2019 届高三年级第一次模拟考试数学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分1. 已知集合 M2，1，0，N ，则 MN_x|(12)x 2)2. 已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1 i)z 2，则 _|z|3. 底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥的体积是_Read xIf x0 Thenysin xElseyx 21End IfPrint y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有 50 名、40 名、40 名现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了
2、 8 名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为_6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字 1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为 a，乙抽出的卡片上的数字记为 b，则 a 与 b 的积为奇数的概率为_7. 若直线 l1：x2y40 与 l2：mx 4y30 平行，则两平行直线 l1，l 2 间的距离为_8. 已知等比数列 的前 n 项和为 Sn，若 S37，S 663，则 a1_an9. 已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 x2y0，则该双曲线的x2a2 y
3、2b2离心率为_10. 已知直线 l：yx4 与圆 C：(x2) 2(y 1) 21 相交于 P，Q 两点，则 _.CP CQ 11. 已知正实数 x，y 满足 x4yxy0，若 xym 恒成立，则实数 m 的取值范围为_12. 设 a，b 是非零实数，且满足 tan ，则 _asin7 bcos7acos7 bsin7 1021 ba13. 已知函数 f(x)a 3 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，4x |x a|则实数 a 的值为 _14. 若存在正实数 x，y，z 满足 3y23z 210yz，且 ln xln z ，则 的最小值为eyz xy_二、 解答题：本大题共 6
4、小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x) cos2x2 sin x cos xsin 2x，xR.3(1) 求函数 f(x)的单调增区间；(2) 求方程 f(x)0 在(0，上的所有解16. (本小题满分 14 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B平面ABC，E ，F 分别是侧面 AA1B1B，BB 1C1C 对角线的交点求证：(1) EF 平面 ABC；(2) BB1AC.17. (本小题满分 14 分)为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状
5、为如图所示的四边形 ABCD，其中 AB3 百米，AD 百米，且 BCD 是以 D 为直角顶点的等腰5直角三角形拟修建两条小路 AC，BD(路的宽度忽略不计) ，设BAD， .(2，)(1) 当 cos 时，求小路 AC 的长度；55(2) 当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度18. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 M： 1(ab0)的离心率为 ，左、右顶x2a2 y2b2 12点分别为 A、B，线段 AB 的长为 4.点 P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点 A，B 分别作l1PA ，l 2PB，直线 l1，l 2 交于点 C.(1) 若点
6、C 的横坐标为1，求点 P 的坐标；(2) 直线 l1 与椭圆 M 的另一交点为 Q，且 ，求 的取值范围AC AQ 19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)(3x)e x，g(x)xa(aR )(e 是自然对数的底数， e2.718) (1) 求函数 f(x)的极值；(2) 若函数 yf(x)g(x)在区间1 ，2上单调递增，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数 h(x) 在区间(0 ，)上既存在极大值又存在极小值，并且函数f（x） g（x）xh(x)的极大值小于整数 b，求 b 的最小值20. (本小题满分 16 分)记无穷数列 的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令
7、 bn ，数列anMn mn2的前 n 项和为 An，数列 的前 n 项和为 Bn.an bn(1) 若数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求 Bn；an(2) 若数列 是等差数列，试问数列 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若bn an不是，请举例说明；(3) 若 bn2 n100n，求 An.2019 届高三年级第一次模拟考试数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. A. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 A Error! ，满足 A ，求矩阵 A 的特征值ab) 13 68B. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在
8、直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)在极坐标系中( 与x 2t，y 2 t)直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，极轴与 x 轴的非负半轴重合)，圆C 的极坐标方程为 4 cos ，求直线 l 被圆 C 截得的弦长2 ( 4)22. (本小题满分 10 分)如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD平面CBD，又 AE 平面 ABD.(1) 若 AE ，求直线 DE 与直线 BC 所成的角；2(2) 若二面角 ABED 的大小为 ，求 AE 的长度323. (本小题满分 10 分)已知直线 x2 上有一动点 Q
9、，过点 Q 作直线 l1 垂直于 y 轴，动点 P 在 l1 上，且满足 0(O 为坐标原点) ，记点 P 的轨迹为曲线 C.OP OQ (1) 求曲线 C 的方程；(2) 已知定点 M ，N ，A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一点( 12，0) (12，0)B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求MBD 的内切圆半径 r 的取值范围2019 届高三年级第一次模拟考试 (扬州)数学参考答案1. 2 2. 3. 4. 10 5. 2 6. 2223 497. 8. 1 9. 10. 0 11. ( ，9 12. 52 52 313. 或1 14
10、. e 2116 33215. f(x) cos2x2 sin xcos xsin 2x sin 2xcos 2x2sin . (4 分)3 3 (2x 6)(1) 由 2k2x 2k，kZ ，2 6 2解得 k x k，k Z，3 6所以函数 f(x)的单调增区间为 k ， k，kZ .(8 分)3 6(2) 由 f(x)0 得 2sin 0，(2x 6)解得 2x k，即 x ，kZ.6 12 k2因为 x(0，所以 x 或 x .(14 分)512 111216. (1) 因为三棱柱 ABCA1B1C1，所以四边形 AA1B1B，四边形 BB1C1C 均为平行四边形因为 E，F 分别是侧
11、面 AA1B1B，BB 1C1C 对角线的交点，所以 E，F 分别是 AB1，CB 1 的中点 ，所以 EFAC.(4 分)因为 EF平面 ABC，AC 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(8 分)(2) 因为四边形 AA1B1B 为矩形，所以 BB1AB.因为平面 AA1B1B平面 ABC，BB 1平面 ABB1A1，平面 ABB1A1平面 ABCAB，所以 BB1平面 ABC.(12 分)因为 AC平面 ABC，所以 BB1AC.(14 分) 17. (1) 在ABD 中，由 BD2AB 2AD 22ABADcos ，得 BD2146 cos ，5又 cos ，55所以 BD2 .(2
12、 分)5因为 ，(2，)所以 sin .1 cos 21 ( 55)2 25由 ，BDsin BAD ABsin ADB得 ，2525 3sin ADB解得 sin ADB .35因为BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以CDB 且 CDBD 2 ，2 5所以 cos ADCcos ( ADB 2)sin ADB .(5 分)35在ACD 中，AC 2AD 2DC 22ADDCcos ADC( )2(2 )22 2 5 5 5 537, ( 35)所以 AC .(7 分)37(2) 由(1)得 BD2146 cos ，5SABCD SABD S BCD 3 sin BD212 5
13、127 sin 3 cos 352 57 (sin 2cos )7 sin () ，352 152此时 sin ，cos 且 ，(10 分)25 15 (0，2)当 时 ，四边形 ABCD 的面积最大，即 ，此时 sin ，cos 2 2 15 ， 25所以 BD2146 cos 146 ( )26，即 BD ，(13 分)5 525 26所以当草坪 ABCD 的面积最大时，小路 BD 的长度为 百米. (14 分)2618. (1) 设直线 AP 的斜率为 k，P(x 0，y 0)，由题意得 2a4， ，ca 12所以 a2，c1，b ，3所以椭圆 M 的方程为 1.x24 y23因为点 P
14、 在椭圆 M 上，且位于第一象限，所以 00，令 m(x)x 2(1a)x2a3，所以函数 yf(x)g(x)在区间1，2 上单调递增等价于对任意的 x1，2，函数 m(x)0恒成立，所以 解得 a3，(8 分)m（1） 0，m（2） 0，)故 a 的取实范围是 3，) (3) 由题意得 h(x) ，f（x） g（x）x （3 x）ex x ax则 h(x) .ex（ x2 3x 3） ax2令 r(x) ex(x 23x3) a, 因为 h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，所以 h(x)0 在区间(0，)上有两个不等的实数根，即 r(x) ex(x 23x3) a0 在区间(0
15、，) 上有两个不等的实数根x1，x 2(x10，r(x)单调递增；当 x(1，)时，r(x)0，)所以 r e a0，则必有 MnMn1 ，所以 anM nMn1 a n1 ，即对 n2，nN *都有 anan1 ，所以 Mna n，m na 1，b nb n1 Mn mn2 Mn 1 mn 12 an a12 an 1 a12d ，an an 12所以 ana n1 2d，即a n为等差数列；当 db2b6b7，当 n7 时，b n1 b n0，即 b7a2a6a7，a 7Mn，则 Mn1 a n1 ，m n1 m n，则 bn1 矛盾，不合题意；所以 an1 a2a6a7；同理可证：a 7
16、7 时，a 1a2a6a7，且 a70)，则 E(0，0，a)因为 AD平面 ABE, 所以平面 ABE 的一个法向量为 n1(0 ，1，0)(6 分)设平面 BDE 的法向量为 n2(x 1，y 1，z 1)因为 (2，0，a)， ( 2，2，0)，BE BD 所以 n2 ，n 2 ，BE BD 所以 n2BE 2x1 az1 0，n2BD 2x1 2y1 0，)解得 取 z12，则 x1y 1a ，x1 a2z1，x1 y1，)所以平面 BDE 的一个法向量为 n2(a，a，2) ，(8 分)所以 cosn 1， n2 .n1n2|n1|n2| aa2 a2 41 a2a2 4因为二面角
17、ABED 的大小为 ，3所以 ，解得 a ，a2a2 4 12 2所以 AE 的长度为 .(10 分)223. (1) 设点 P(x，y) ，则 Q(2，y)，所以 (x，y)， (2 ，y) OP OQ 因为 0，OP OQ 所以 2xy 20，即 y22x.(2 分)OP OQ (2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 3，y 3)，直线 BD 与 x 轴交点为 E，直线 AB 与内切圆的切点为 T.设直线 AM 的方程为 yk ，则联立方程组 得 k2x2(k 22)(x 12) y k(x12)，y2 2x，)x 0，k24所以 x1x2 且 01，12所以 r 在区间(1，)上单调递增，则 r ，112t 1 1t2 1t 12 1即 r 的取值范围为( 1，) (10 分)2
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