1、天津市和平区 2018 届高三二模理数试题（解析版）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 已知全集 ， ， ，则集合 等于 = =|1 |2 |10,0)B，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若 ，则双曲线=4的渐近线方程为 ( )A. B. C. D. =6 =62 =63 =66【答案】C【解析】解：抛物线 的准线为 ，2=4 =代入双曲线 可得2222=1，=2即有 ， ，(2,) (2,)由 ，可得=4，12=2由 ，12+=90可得 ，=30，=33=2即有 ，=63则双曲线的渐近线方程为 ，=即为 ，=63故选：C先求出抛物线的准线方程，再代入双曲线
2、的方程，可得 B，C 的坐标，再得到，根据斜率公式得到 ，再根据渐近线方程，即可得到结论=3033=2本题考查了抛物线的准线方程和双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于中档题6. 已知 是定义在 R 上的函数，它的图象上任意一点 处的切线方程为() (0,0)，那么函数 的单调递减区间为 =(2002)+(030+20+20) () ( )A. B. C. D. (1,2) (2,1) (,1) (2,+)【答案】A【解析】解：因为函数 ， 上任一点 的切线方程为() () (0,0)，=(2002)+(030+20+20)即函数在任一点 的切线斜率为 ，(0,0) =2002即知任一点的导数
3、为 ，()=22=(2)(+1)由 ，得 ，即函数 的单调递减区间是 ()0()=424+1,01 于 x 的方程 的实根的个数为 6()2+()=1 ( )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】解：设 ，则=()关于 x 的方程，等6()2+()1=0价 ，62+1=0解得 或 ，=12 =13当 时， ，此时=0 (0)=0不满足方程若 ，则 ，10()=424+1,01 当 时， 对应 4 个交点=13 ()=13函数 是奇函数， ()当 时，由 ， 0 ()=12综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根，故选：B先设 ，求出方程 的解，利用函数的奇偶性作出函数在=()
4、 6()2+()1=0时的图象，利用数形结合即可得到结论0本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. 设 i 是虚数单位，则复数 的虚部为_151【答案】 2【解析】解： 151=(15)(1+)(1)(1+)=642=32复数 的虚部为 151 2故答案为： 2直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10. 在 中， ， ， 的面积 ，则 BC 边长为_=3 =23 =352【答案】 6【解析】解： ， ，可得： ，=3 =
5、23 =12=53的面积 ，解得： ， =352=12=12353 =3由余弦定理可得：=2+22=9+923323=6故答案为： 6由已知利用同角三角函数基本关系式可求 ，利用三角形面积公式可求 AC 的值，进而根据余弦定理可求 BC 的值本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题11. 在极坐标系中，直线 l： ，M 为圆 上的任意一(+)=6 2=43点，设点 M 到直线 l 的距离为 d，则 d 的最大值为_【答案】 22+1【解析】解：直线 l： ，化为： (+)=6 +6=0由 可得： ，配方为： 2=43 2+2=
6、43 (2)2+2=1设 (2+,)设点 M 到直线 l 的距离为 d，则 当=|2+6|2 =42(+4)2 4+22=22+1.且仅当 时取等号(+4)=1故答案为： 22+1直线 l： ，化为： 由 可得：(+)=6 +6=0.2=43，配方为： 设 再利用点到直线的距2+2=43 (2)2+2=1.(2+,).离公式、三角函数的单调性即可得出本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12. 如图，已知正四面体 的棱长为 6，则它的内切球的体积为_【答案】 6【解析】解：设正四面体为 PABC，内接和外接球的两球球心重合，设为
7、 O设 PO 的延长线与底面 ABC 的交点为 D，则 PD 为正四面体 PABC 的高， 底面 ABC，且 ， ， = =正四面体 PABC 内切球的高=设正四面体 PABC 底面面积为 S将球心 O 与四面体的 4 个顶点 PABC 全部连接，可以得到 4 个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面每个正三棱锥体积 而正四面体 PABC 体积1=13 2=13(+)根据前面的分析， ，41=2所以， ，413=13(+)所以， ，=3由题意，正四面体 的棱长为 6，带入以上推论：所以 ，=23所以 ，=26即内切球半径 =62内接球的体积 =433=6由正四面体的棱长，求出正四面体的
8、高，设内接球半径为 x，利用勾股定理求出 x 的值，可求内接球的体积本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题13. 已知 ， ，则 的最小值为_ 0 +=32+2+2+1【答案】32【解析】解： ， ， 0 +=3 +2+1=6则 2+2+2+1 =16(+2)+(+1)(2+2+2+1)162+2+2(+1)+2+2(+2)+1162+2+2=16(+)2=32，当且仅当 ， ，即 ， 时取等号(+1)=(+2)+=3 =53 =43故答案为： 32， ，可得 代入0 +=3 +2+1=6.，再利用2+2+2+1=16(+2)+(+1)(2+2+2+1)162+2+
9、2(+1)+2+2(+2)+1基本不等式的性质即可得出本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14. 从 0，1，2，3，4，5，6，7 这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，则可组成的四位数中奇数的个数为_ 用数学作答 ( )【答案】360【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：，选出的 2 个偶数中不含有 0，在 2、4、6 中任选 2 个数，有 种选法，在 1、3、5 、7 中任选 2 个数字，有23=3种选法，24=6选出的 2 个奇数中任选 1 个，作为个位数字，有 2 种情况，将选出的 3 个数字全排列，安排在前 3 个
10、数位，有 种排法，33=6则此时有 种取法，3626=216，选出的 2 个偶数中含有 0，在 2、4、6 中任选 1 个数，有 种选法，在 1、3、5 、7 中任选 2 个数字，有13=3种选法，24=6选出的 2 个奇数中任选 1 个，作为个位数字，有 2 种情况，0 不能在首位，则 0 有 2 种安排方法，将剩下的 2 个数字全排列，安排在剩下的 2 个数位，有 种排法，22=2则此时有 种取法，36222=144则一共有 种不同的情况，即可以组成 360 个四位奇数；216+144=360故答案为：360根据题意，分 2 种情况讨论： ，选出的 2 个偶数中不含有 0， ，选出的 2
11、个偶数 中不含有 0，利用分步计数原理分别求出每一种情况的四位奇数的个数，由加法原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，注意要先选取，再排列三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15. 已知函数 ()=3(+2)(6)(3)14 求函数 的最小正周期及单调递减区间；( ) () 将函数 的图象向左平移 个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变( ) =()6为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，且=() ()=1213，求 的值(56,43) (+512)【答案】解：函数 ()=3(+2)(6)(3)14化简 ()=3(66)(3+3)
12、14 函数 的最小正周期 ；=322(12)2+(32)214=322142+34214=32214(12+122)+34(12122)14=322122=(26).( ) () =22=令 ， 2+2262+32 得： +356+函数 的单调递减区间为 ， () +3,+56 函数 的图象向左平移 个单位，可得 ；再将所得图象上各点( ) =()6 =(2+6)的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 ，=(+6)即 ，()=(+6)可得 ，()=(+6)=1213，(56,43)则 ，+6(,32) (+6)=513那么：(+512)=(+6+4)=(+6)4+(+6)4=221713
13、=17226【解析】 利用诱导公式，二倍角、辅助角公式化简即可求函数 的最小正周期( ) ()及单调递减区间； 根据三角函数的平移变化规律求解 ，通过 ，且 ，利用三角( ) () ()=1213 (56,43)恒等式公式化简即可求 的值(+512)本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式化简函数的解析式是解决本题的关键 要求熟练掌握公式的变形应用 属于中档题. .16. 甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于 130 分的概率依次为 、 甲若第一次成绩不低于 130 分，则第二次14 13、 12.成绩不低于 130 分的概率为 ，若第一
14、次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于23130 分的概率为 ；乙若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的13概率为 ，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ；14 12丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于 130 分的概率为 23 设 A 为事件 “甲的英语高考最终成绩不低于 130 分”，B 为事件“乙的英语( )高考最终成绩不低于 130 分”，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，分别求出事件 A、事件 B、事件 C 发生的概率； 设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X，求 X 的
15、分布列( )与数学期望【答案】解： 甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，( )三人第一次成绩不低于 130 分的概率依次为 、 14 13、 12甲若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ，若第一次成绩23在 130 分以下，则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ；13乙若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ，若第一次成绩14在 130 分以下，则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ；12丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于 130 分的概率为 23设 A 为事件“甲的英语高考最终成绩不低于 13
16、0 分”，事件 A 发生的概率 ，()=14+(114)13=12B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，事件 B 发生的概率 ，()=13+(113)12=23C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，事件 C 发生的概率 ()=12+(112)23=56 设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X，则 X 的可能取值为( )0，1，2，3，(=0)=()=121316=136，(=1)=(+)=121356+122316+121316=836，(=2)=(+)=122356+121356+122316=1736，(=3)=()=122356=10
17、36的分布列为：X 0 1 2 3P 136 836 1736 1036数学期望 ()=0136+1836+21736+31036=2【解析】 利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果( ) 设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X，则 X 的可能取值为( )0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 ()本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17. 如图，在四棱柱 中，底
18、面 ABCD 是等腰梯形， ，1111 =2=2，M 为 AB 的中点， 平面 ABCD，且 =60 1 1=3 求证： 平面 ；( ) 1/ 11 求平面 与平面 所成角的正弦值；( ) 11 11 若 N 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值( ) 1 1 11【答案】证明： 连接 ，( ) 1为四棱柱， ，1111 /11又 M 为 AB 的中点， =1， ， ，/=/11为平行四边形， ，11 1/1又 平面 ， 平面 ，1 11 1 11平面 ；1/ 11解： 作 于 P，以 C 为原点，CD 为 x 轴，CP 为 y 轴，( ) 为 z 轴建立空间坐标系，1则 0， ， ，
19、0， ， ，1(1, 3) 1 (0, 3) (12,32,0)，1(12,32, 3)0， ， ，11=(1, 0) 1=(12,32,3)，11=(12,32,0)设平面 的法向量 ，11=(1,1,1)则 ，取 ，得 2， 11=1=0 1=121+32131=0 =2 =(0, 1)设平面 的法向量 y， ，11=(, )则 ，取 ，得 ， 11=12+32=0 1=12+323=0 =3 =(3,1,0)设平面 与平面 所成角为 ，11 11 则 ，=|= 254=15=12=115=255平面 与平面 所成角的正弦值为 11 11255 为 的中点， 0， ，( )1 (12, 3
20、2)， ， 0， ，1=(12,32,3) 11=(12,32,0) 1=(12, 32)设平面 的法向量 b， ，11=(, )则 ，取 ，得 ， 11=12+32=0 1=1232=0 =3 =(3,1,1)设直线 与平面 所成角为 ，1 11 则 =|1|1|= 345=1510直线 与平面 所成角的正弦值为 1 111510【解析】 连接 ，易证 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证( ) 1 11得 平面 ；1/ 11 作 于 P，以 C 为原点，CD 为 x 轴，CP 为 y 轴， 为 z 轴建立空间坐标( ) 1系，利用向量法能求出平面 与平面 所成角的正弦值11 11 求
21、出 和平面 的法向量，利用向量法能求出直线 与平面( )1=(12,32,3) 11 1所成角的正弦值11本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力18. 已知数列 满足条件 ， ，且 ， 1=1 2=3 +2=(1)(1)+2+1 求数列 的通项公式；( ) 设 ， 为数列 的前 n 项和，求证： ( ) =212 22+1【答案】解： 根据题意，数列 满足 ，( ) +2=(1)(1)+2+1当 n 为奇数时， ，+2=(1)+2+1=+2又由 ，则 ，1=1 =当 n 为偶数时，
22、 ，+2=(1)+2+1=3又由 ，则 ，2=3 =(3)=32则 ，=,(是奇数 )32,(是偶数 ) 证明：设 ，则 ；( ) =212 =213则 ，=13+39+527+213则有 ，13=19+327+581+213+1可得： ，23=13+2(19+127+13)213+1变形可得： ，=1+13若证明 则需要证明 ，22+1. 1+1322+1即证明 ，32+1 (1)即证明 ，321显然成立；故有 22+1【解析】 根据题意，由数列的递推公式，分 n 为奇数、n 为偶数 2 种情况讨论，分( )析 与 的关系，综合即可得答案；+2 根据题意，由 的结论，分析可得 ，利用错位相减
23、法分析可得( ) ( ) =213，据此用分析法证明 即可得结论=1+13 22+1本题考查数列的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式19. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成22+22=1(0) 12三角形的面积为 ，过椭圆的右焦点的动直线 l 与椭圆交于 A、B 两点3求椭圆的方程；() 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D，与直线 l 交于 N，当( )时，求直线 l 的斜率的取值范围；180) 12 =12椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为 ，可得 ，3122=3又 ，解得 ， ， ，22=2 =2 =3 =1则椭圆方程为 ；2
24、4+23=1 设 ， ，中点 ，( ) (1,1) (2,2) (0,0)设直线 AB： ，=(1)代入椭圆方程 ，32+42=12可得 ，(3+42)282+4212=0即有 ， ，1+2=823+4212=42123+42可得中点 ，(423+42, 33+42)AB 的垂直平分线的方程为 ，+33+42=1( 423+42)可得 ，(23+42,0)弦长 |=1+2|12|=1+2 ( 823+42)24(4212)3+42，=1+2121+23+42 |41+2，|=32(1+2)3+42由 ，可得 ，180 (1)=(2)=0 1+20【答案】解： 定义域为 ，( )() (,+)其
25、导数 ，()=1+1=+1当 时， ，函数 在 上是增函数；0 () (,+)当 时，在区间 上， ；在区间 上， ，0 (,0) ()0 (0,+) ()1=1()不合题意；0 ()=() ()=2(+)问题化为求 恒成立时 a 的取值范围()0由于 ，()=2 1+=2+(+)在区间 上， ；在区间 上， ， (,2) ()0的最小值为 ，所以只需 ，() (2) (2)0即 ， ，2(2)(2+)0 20构造函数： ， ，()=()() (0)=0， ，()()0 (1)=0，(1)0=(2)1+20【解析】 先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于 0 从而确定出函数( )的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域；() 讨论 ，取 ，证明不合题意； ，令 ，求出导数和单( ) 0 ()=()调区间，可得所求范围； 设 ，求得导数 ，判断符号，然后利用单调性，问题得以( ) ()=()() ()证明本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度
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