1、温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分、全卷共4 页、满分150 分，考试时间120 分钟选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知 i 是虚数单位，则 等于（ ）21iA、1 i B、1 i C、 1 i D、 1i答案：B考点：复数的运算。解析： ，故选 B。21i()1i2、已知集合 A1，2，1，集合 By | yx 2，xA ，则 AB（ ）A、1 B、1，2，4 C、1，1，2，4 D、 1，4答案：C考点：集合的运算，二次函数的值域。
2、解析： B1 ， 4，所以，AB 1，1，2，4 3、已知 a，b 都是实数，那么“ ”是“ ” 的（ ）3ab3A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件答案：C考点：充分必要条件，指数函数和幂函数的性质。解析：因为 是增函数，且 ，所以，ab，3xy3又因为 是增函数，所以， ，是充分必要条件。4、双曲线 的一个顶点坐标是（ ）21yxA、( 2，0) B、( ，0) C 、(0 ， ) D、(0 ， ) 222答案：D考点：双曲线的性质。解析：双曲线的顶点在 y 轴上，令 x0，得： ， ，所以，一个顶点为 D、(0 ， ) 21225以下不等式组表示的
3、平面区域是三角形的是（ ）A、 B、 C、 D、026xy1026xy1026xy1026xy答案：D考点：不等式在平面直角坐标系表示的区域。解析：不等式组表示的平面区域为下图中的三角形 ABC，只有 符合。1026xy6随机变量 X 的分布列如下表所示，则 D (X )（ ）A、1 B、2 C、3 D、4答案：B考点：随机变量的分布列。解析：因为 ，所以， ，14a12aE（X）2，D（X）（02） 2 +（22） 2 +（42） 2 217、在平面上，e 1，e 2 是方向相反的单位向量，| a | 2 ，(be 1 ) (be2 ) 0 ，则| a b | 的最大值为（ ）A、1 B、2
4、 C、2 D、3答案：D考点：平面向量的数量积。解析：(b e1 ) (be2 ) 0 ，得：b 2b（e 1 +e2 ) e 1e20 e1，e 2 是方向相反的单位向量，所以，e 1 +e2 0 ，e 1e2 1，所以， | b | 1，| a b | ，2|cosa 54cos当向量 a，b 反向时，| a b | 取得最大值为 38已知实数 a 0，b 0，a 1，且满足 lnb ，则下列判断正确的是（ ）1aA、a b B、a b C、log a b 1 D、log a b 1答案：C考点：函数的导数及其应用，对数函数和幂函数的图象及其性质，数形结合的思想。解析：lnb ，记 ，则1
5、aa()lnfx1()x()2fxx21x2x当 x1 时， 0，f（x ）递减， ，所以， ()()0flnx1当 0x1 时， 0，f（x）递减， ，所以， ()()1fxlx画 和 的图象，如下图，lny1x当 b1 时，有 ba1， 为增函数，所以，log a b loga a 1，logayx当 0b1 时，有 0ba1， 为减函数，所以，log a b loga a 1，logayx故只有 C 正确。9在正四面体 ABCD 中，P，Q 分别是棱 AB，CD 的中点，E，F 分别是直线AB，CD 上的动点，M 是 EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（ ）A、PEQF2 B
6、、PEQF2 C、PE2QF D、PE 2QF 22答案：D考点：向量的三角形法则，曲线的轨迹。解析：如下图，取 BC、BD、AC、AD 的中点为 G、H 、K、L，P、Q 是定点，则 PQ 的中点 O 也是定点，由对称性可知，PQ、EF 的中点均在中截面 GHLK 上运动，因为 ， ，OMPE QFM所以， ，1F2 （ ）当 的值是定值时，点 M 的轨迹是以 O 为圆心的圆，Q由正四边体，知：PEQF ， ，2PEF 2所以，只有 D、PE 2QF 22 符合。10已知数列x n 满足 0 x1x 2 ，且 ，则（ ）A、 B、3429, 342019,x C、 D、342019,x 34
7、2019,x 答案：A考点：三角函数，分类讨论的数学思想。解析：由 0 x1x 2 ，取特殊值： ，12,3x得： ， ，排除 C、D；3cos433sinx，5 4()22x x，6 51sinc1si均小于 ，猜想： ，选 A。26,xA2019x非选择题部分（共 110 分）二、填空题： 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为 1 的小正方形拼成一个边长为 5 的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为 a，b ，有 ，则 ab ，其中直角三角形的较小的锐角
8、 的正切值为 256ba答案：7， 34考点：解方程，配方法，三角函数。解析： 25+2449，所以，ab7，22()ab不妨设 ab，由 ab7， ，可解得： ，所以，2534a3tan412、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）等于 ，表面积（单位：cm 2） 等于 答案：3， 12考点：三视图，组合体的体积与表面的计算。解析：由三视图可知，该几何体为两个三棱柱和一个长方体的组合体，体积：V 3，121表面积：S12+4+ (4)21213、若 ，则 答案： ，06考点：二项式定理。解析：令 x0，得 0，所以，6615()()Cx56a14在ABC
9、 中，C 45，AB 6 ，D 为 BC 边上的点，且 AD 5，BD 3 ，则 cos B ，AC 答案： ，59873考点：余弦定理，正弦定理。解析：由余弦定理，得：cosB ，226359由正弦定理，得： ，即 siniACB2561()sin9ABC142687315、已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有 种答案：20考点：排列组合。解析：乙用支付宝付款时，方式有：现金、支付宝、微信；现金、支付宝、银联卡，（
10、1）丙、丁不同时：丙、丁中有一个人用现金或支付宝，另一个人用微信或银联卡，共 8 种；1122C（2）两、丁相同时，同用微信或同用银联卡，共 2 种；8+210 种；乙用微信付款时，同理，也有 10 种可能，所以，答案为 20 种。16已知 F 是椭圆 的右焦点，直线 交椭圆于 A、B 两点，若21(0)xyabbyxacos AFB ，则椭圆 C 的离心率是 13答案： 25考点：椭圆的性质，余弦定理。解析：设椭圆的左焦点为 F1，直线 AF1 与直线 BF 的斜率相等，所以， AF1BF，cosFAF 1 ，设 AF1m ，AFn，在AFF 1 中由余弦定理，得：3，又221()coscn
11、A2a所以， ，即 ，24a23b，得 A（ ， ），B（ ， ），所以，21byxa22abAB ，2bAFB 中，由余弦定理，得： ，2a2cosmnAFB28()3mn得： ，所以，34b，即： ，2234ba25ab离心率：e2151c17、已知 ，若对任意的 aR，存在 x0 0，2 ，使得 成立，则实数 k2()fxa 0|()|fxk的最大值是 答案： 18考点：函数的导数及其应用，数形结合法。解析：三、解答题： 本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（本小题满分 14 分） 如图，在单位圆上， AOB ( )，62 BOC ，且AOC 的面积
12、等于 3237（ I）求 sin 的值；（ II）求 2cos( )sin( )2619（本小题满分 15 分） 在三棱锥 D ABC 中，ADDC，ACCB，AB2AD 2DC2，且平面 ABD 平面 BCD ，E 为 AC 的中点（ I）证明： AD BC ；（ II）求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值20（本小题满分 15 分） 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且 S28 ， 2(1)nnSa（ I）求 a1，a 2 并证明数列 an为等差数列；（ II）若不等式 对任意正整数 n 恒成立，求实数 的取值范围0nSA21、（本小题满分 15 分）如图，A 为椭圆 的下
13、顶点，过 A 的直线 l 交抛物线21xy于 B、C 两点， C 是 AB 的中点2(0)xpy（ I） 求证：点 C 的纵坐标是定值；（ II）过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l 交椭圆于 M 、N 两点，求 p 的值，使得 BMN 的面积最大22（本小题满分 15 分） 记 ()1)lnafxx（ I）若 对任意的 x 0 恒成立，求实数 a 的值；()0afx（ II）若直线 l : 与 的图像相切于点 Q ( m，n ) ；1yk()af（ i） 试用 m 表示 a 与 k ；（ ii） 若对给定的 k ，总存在三个不同的实数 a1，a 2，a 3，使得直线 l 与曲线， ，
14、 同时相切，求实数 k 的取值范围。1()afx2()af3()afx数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C C D D B D C D A二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分117， ； 123， ； 13 ， ； 14 ， ； 1520；41209316 ； 17 258三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18解：（I） 123sin()
15、27AOCS43sin()7，5,62361cos()37=sini()sin()sin431=72514（II） = =cosin()6（ ）2sin()681cos()3719解：（I）法一：过 做 ， （其中 与 都不重合，否则，若 与 重合，则CHBDB, HB与 矛盾；若 与 重合，则 ，与 矛盾）CBD12 1AD2A面 面A面H，又 AC面B法二：参见第（II）问的法三（II）法一：做 ，则 ，由（1）知： 面EQ/HEQADB即 与面 所成角，且DA2,3D3sinE法二：由（I）知： ，且,AB2ACB记 的中点为 ， 的中点为BFM是 的中点， ， ECED面 DM面 面即
16、 与面 所成角，且AB132,2E3sinED法三：由（I）知 平面 ， ，以 为原点，分别以射线 为 轴，ABCDABD,DBAx轴的正半轴，建立空间直角坐标系y xyzQEA BDCHMFEA BDCHxyzEA BDC由题意知： 12(0,)(,0)(,)(,0)33DAFC ，1(,)236E(,)26E平面 的法向量为 ，AB0,1)n设 与面 所成角为D 3sin|co,|DE法四：以 为坐标原点， 为 轴，建立空间直角坐标系,CA,xyDxyz则 ，设 ，面 的法向量为 ，面 的法向量为 ，则1,0,CABabc1nBC2n，即 ，则120Bn22124,0,0n 2abc，AD
17、CABC，即 与面 所成角的正弦值为 .13sinEDEA320解：（I） ， ，得 .2Sa28S25a1，则 ，21nnS11nn两式相减得 ，12aa即 10nn21aa 得 ，120nnna即 ，210naa故数列 为等差数列， .21n（II） ，21naSx yzEA BDC由 得 对任意正整数 恒成立， ，20nS2nnmax2n令 ，nnb，2113， 234b max2()nb.21解：（）易知 ，不妨设 ，则 ，代入抛物线方程得：(0,1)A(,)tBp2(,)4tpC，得： ， 为定值.22()4ttp24t41Cy（） 点 是 中点，CBBMNAS直线 的斜率 ，直线
18、的斜率 ，l1()32kttl3kt直线 的方程： ，即 ，不妨记 ，则 ：l ()2yxt2yxt3mtl2ymx代入椭圆方程整理得： ，设 ，则1860m12(,)(,)yNx， ，1228x2，21 3| 1MNx到 的距离 ，A23dm所以 .|MNS231223244m取等号时， ，得 ，所以 ， .2243279187t291tp22解：（I） 1()afxx ，又 恒成立， 是 的最大值100af(1)afafx ，()af1反过来，当 时，显然 恒成立.()afx 1（II） （i） ，由切点 ，则有：1()2)afxx(,)Qmn，1(2)lnmk 把代入可得： ，2la代入
19、式得： （*） ，(1)mk（ii）根据题意方程（*）有三个不同的解，令 2()ln)Fm241l(1)ln2)() mm32ln)lnl63 3l5(1)52ln)m由 ，解得两根分别为 与()0F 12e当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调,1()0()Fm52(1,)e()0Fm()递增；当 时， ， 单调递减52me 的极小值为 ； 的极大值为()F(1)()524()eF又 时，52(,)e21ln() 0mF当 时，方程（*）有三个不同的根，5241(0,)ke下面说明三个不同的 对应的 也是不同的：a设方程（*）的三个不同的根分别为： ，且123,m52130me则有： ， ， ，显然12lnma22ln3ln2,0a只需说明 即可，23又由 可得：23()(Fm 3332222(1)ln)(1)ln)mm即 ，假设 ，23231()()aa23a则有 ，即2332()m231m即 322223 3lnlnl1即 ，令 ，即323ln()0m231sm1l()0s设 1)lGss 221()()0s 在 上是减函数，即 ，与 矛盾)s0,1(G()0Gs假设不真，即 23a当 ，存在三个不同的实数 使得直线 与曲线 ， ，541(0,)ek123a， ， l1()afx2()af同时相切 3()afx
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