1、 深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的共轭复数是（ ）i(2)zA B 12iC 12iD 12i2已知集合 ，则 （ ）2|lg(),|30xyxx ABA |02xB |0 C |3xD |3x3设 为等差数列 的前 项和若 ，则 的公差为（ ）nSna5342,8SanaA B 1C1 D24已知某产品的销售额 与广告费用 之间的关系如下表：yxx（单位：万元） 0 1 2 3 4y（单位：万元） 10 15 20 30 35若求得其线性回归方程为 ，
2、则预计当广告费用为 6 万元时的销售额为（ ）6.5aA42 万元 B45 万元 C48 万元 D51 万元5如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A72 B64C48 D326已知直线 是函数 的图象的一条对6x()sin2)2fx称轴，为了得到函数 的图象，可把函数 的图象（ ）yf sinyxA向左平行移动 个单位长度6B向右平行移动 个单位长度6C向左平行移动 个单位长度12D向右平行移动 个单位长度127在 中， ， 为 的中点，则 （ ）B 0,2ACBAECABEA B C0 D18古希腊雅典学派算法
3、家道克萨斯提出来“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段 ，过点 作 的垂线，并用圆规在垂线B上截取 ，连接 ；（2）以 为圆心， 为半径2画弧，交 于点 ；（3）以 为圆心，以 为半径画弧，ACDAD交 于点 则点 即为线段 的黄金分割点BE若在线段 上随机取一点 ，则使得FBEFA 的概率约为（参考数据： ） （ ）52.6 EDBCAA 0.236B 0.382C 0.472D 0.6189已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得()fx(1,)ab ()fba成立的 的取值范围是（ ）(1)fxA 0,2B (2,0)C
4、 (,0)(2,)D (,2)(0,)10已知直线 与双曲线 交于 两点，以 为直径的圆恰好经ykx21,xyab,AB过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）FAB 24A 2B 3C2 D 511已知 为球 的球面上的三个定点， 为球 的球面上的动点，记三,CO60,2,ABPO棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，若 的最大值为 3，则球 的表面积为（ P1V2V1）A 169B 649C 3D 612若关于 的不等式 有正整数解，则实数 的最小值为（ ）x1x A6 B7 C8 D9二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13
5、设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 ,xy2401xy zxy14若 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 的系数为 3nx15已知点 在 轴上，点 是抛物线 的焦点，直线 与抛物线交于 两点，EyF2(0)ypxEF,MN若点 为线段 的中点，且 ，则 M1N16在右图所示的三角形数阵中，用 表示第,()ija行第 个数（ ） ，已知 ，ij,ij,1,1()2iiiN且当 时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的3两个数之和，即 ，若,1,1,()ijijijaaji ，则正整数 的最小值为 ,210mam01234781521566 1 12n n 三、解答题：共 70 分
6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17如图，在平面四边形 中， 与 为其对角线，已知 ，且 ABCDB1BC3cos5BD（1）若 平分 ，且 ，求 的长；AC2A（2）若 ，求 的长45ABCD18如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的菱形， 为PABCAB45,2,BADPM的中点， 为 的中点，点 在线段 上，且 PDEMFP3FP（1）求证： 平面 ；/F（2）若平面 底面 ，且 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值DCC19如图，在平面直角坐标系 中，椭圆
7、的中心在坐标原点 ，其右焦点为 ，且点xOyO(1,0)F在椭圆 上 （1）求椭圆 的方程；31,2PC（2）设椭圆的左、右顶点分别为 是椭圆上异于 的任意一点，直线 交椭圆 于另一点,ABM,ABMC，直线 交直线 于点 ，求证： 三点在同一条直线上NMB4xQ,N20某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如下图所示：ABONFy Q4xxPACMFE622 25358 4010203040(0,800 (800,1600 (1600,2400(2400,3200 (3200,4000(4000,4800消 费 金 额 /元人数2535（1）将去年的消费金额超过 32
8、00 元的消费者称为“健身达人” ，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在 内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在 内的(0,16 (160,32消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 内的消费者都将会申请办理金卡会员消费(320,48者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星
9、”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案 2：每位会员均可摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一
10、种方案投资较少？并说明理由21已知函数 ，其定义域为 （其中常数 ，是自然对数的底()2xafe(0,)2.718e数） （1）求函数 的递增区间；()f（2）若函数 为定义域上的增函数，且 ，证明： ()fx12()4fxfe12x22在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴xOyl cosinxtyt x会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡会员 3200的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 交于不同的两点C2coslC （1）求曲线 的参数方程；（2）若点 为直线 与 轴的交点，求 的取值范围,ABPlx
11、21PAB23设函数 2()1,()1fxxgxm（1）当 时，求不等式 的解集；4mf（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围()fxg12,深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D B A C B C B A C D B A13 3 14 15 15 8 16 1031答案：D 解析： ，其共轭复数是 i(2)1iz12i2答案：B 解析： ，|lg()|0|xyxxx，所以 2|30|30|3x |02ABx3答案：A 解析：由 ，得 ，又 ，可得 ，所52Sa35348a43a以 432da4答案：C
12、解析： ，所以 ，01234100, 255xy 26.59所以当 时， （万元） 6x.698y5答案：B 解析： 145(4)36V6答案：C 解析：因为函数 的一条对称轴为 ，而 ，所以将函数sin2yx4x612的图象向左平行移动 个单位长度，可得到函数 的图象sin2yx12()yf7答案：B 解析：由 ，可知 ，60,ABCAB90C以 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则A33(0,)1,0,(1,)1, 122EEE8答案：A解析： ，所以,5,5,35BCADABABCxyE351AF 故所求概率为 ()(35)20.3629答案：C 解析：由题可知当 时， 单调递减，作
13、出 的图象如图所示，由x ()fx()yfx，(1)fx得 或 ，解得 或 10210答案：D 解析：设双曲线的左焦点为 ，连接 ，则 ，所以1F1,AB1ABFS ，218AFa解得 ，所以 ，即 ，142a222110FAFa2240,5,caca离心率 5ce11答案：B 解析：设 的外接圆圆心为 ，其半径为 ，球 的半径为 ，且 ，依BC OrOROd题意可知 ，即 ，显然 ，12max3VRd2d22Rd故 ，又 ，故 ，3Rr4sinABC3r所以球 的表面积为 O2216439R12答案：A解析： ，*1,lnl3,09xxxx N （法一） ，令 ，则 ，易知 在 上递增，在l
14、n2l3 ()f21ln()f()fx,e上递减，注意到 ，只需考虑 和 的大小关系，(,)ee3又 ，l8ln92,(3),()66fffPABCOBAFF1 O654321123410 8 6 4 2 2 4 6 8 10O所以只需 ，即 ，即实数 的最小值为 6，故选 Aln32l()f 6 （法二） ，令 ，则 ，ln3l,xx 2ln3kl()xk不等式（*）有正整数解，即 在 的图象上方（或者图象的交点）存在横坐标为正整数的点，lyx易知直线 与曲线 相切，如图所示， ，或 ，解得 ，或xyenxln2k ln3k 4ln32，即实数 的最小值为 6，故选 A6 13答案：3解析：
15、作可行域为如图所示的 ，其中 ，ABC (1,2),0(,)BC则 ，所以 ,1,2ABCzzmax3z14答案：15 解析：令 ，得展开式的各项系数之和为 ，132,5n则展开式中含 的项为 ，所以展开式中 的系数为 15x4453()15x x15答案：8解析： ，因为点 为线段 的中点，所以 ，将 代入,02pFMEF4Mpxx，得 ，所以 ，2yxyp2,4p所以 ，设 ，则 ，024MFkNFx1tan2,cos3所以 ，解得 311cospN8p16答案：103解析： ，下面求数列 的通项，,11,2()2nnnaa ,2na由题意可知 ，,1,2,1,2,1(3) (3)n na
16、 ，,2,2,3,2,25()()n n n因为数列 显然递增，又易知 ，所以 的最小值为 103,a102,10,2mNEMFO240xy1OyAC17解析：（1）若对角线 平分 ，即 ，ACBD2CABCD则 ，又 ，3 分23coscos15BD5cos0,cos在 中， ，AC ,cosAB由余弦定理可得 ，即 ，22cosCACB2530AC解得 ，或 （舍去） ，所以 的长为 6 分5AC355（2） ，7 分24cos,sin1cosBDBDB又 45,i(805)sin(5)CCD，9 分21(sincos)C所以在 中，由正弦定理 ，可得 ，BD insiBCDBsin5BC
17、即 的长为 512 分18 （1）证明：（法一）如图，设 的中点为 ，连接 ，则有 ，MN,EFD/NEA平面 平面 平面 ，2 分NE,AC,/AAC又 ，4 分3/4PFNDBDB平面 平面 平面 ，5 分,/CNFBD又 ， 平面 平面 ， 平面 6 分NE/EA/EAC（法二）如图，设 的中点为 ， 为线段 上一点，且 连接 ，ARQ3Q,ERAQF则有 ，1 分/RPD，3 分1,/4BFQF，且 ，4 分/EE即 为平行四边形， ，5 分R/QR平面 平面 平面 6 分F,ABCD,/ABCFABCD（2） （法一）解：因为平面 底面 ，且 底面 ，7 分P,PABCD如图，以 为
18、坐标原点建立空间直角坐标系 ， 则 ，xyz(0)(,2)(1,0)， ，8 分2,0C 2(1,0),BCADPC设平面 的一个法向量为 ，则 ，P1(,)nxyz1020nBxyz取 ，可得 ，10 分2y1(0,2)又易知平面 的一个法向量为 ，11 分PAD2(0,1)n设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，BC12cos3n所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 PA（法二）如图，过 分别作 的平行线，交于点 ，则 ，、 PDA、 S/PADBC所以直线 为平面 与平面 的交线，过 作 ，交 于点 ，连接 ，则SBCGGP平面 ， 即为平面 与平面 所成锐二面角，设为 ，BCDG
19、BC9 分因为底面 是边长为 1 的菱形， ， 为等腰直角三角形，A45，又 ， ， 12 分2P322cos3PABCDPSGPABCDMFERQx yzPABCDMFEN19解析：（1）设椭圆 的方程为 ，21(0)yab则由题意可得 ，解得 ，所以椭圆方程为 4 分2194ab243b2143xy（2）设 ，直线 的方程为 ，由 ，消去 ，并整理得：12(,)(,)MxyNMN1xmy2143xyx，2 22(34)690,(6)3(4)0m，7 分1212229yym直线 的方程为 ，BM1()x将此方程与直线 联立，可求得点 的坐标为 ，9 分4xQ124,yx，122(,)6,yA
20、NyAx1211221122 2212121()()6()()6()944()3340,xymyyxmmyy，11 分/ANQ又向量 和 有公共点 ，故 三点在同一条直线上12 分A,NQ20解析：（1）设随机抽取的 2 人中，去年的消费金额超过 4000 元的消费者有 X 人，则 X 的可能取值为 0，1，2，1分3 分12846319()(1)()CPXPX（2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星” ，则“幸运之星”中的普通会员， ，银卡会员，金卡会员的人数分别为：，4 分860257,15,300所以按照方案 1 奖励的总金额为：元，5 分1
21、3849方案 2：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为 0，200，300，6 分因为摸到红球的概率 ，125CP312 21 3383628(0) ,(20),(0)5551PPCP的分布列为0 200 300P 8125361258125元，10 分81360276.5E所以按照方案 2 奖励的总金额为：元，11 分2()7.814.2因为方案 1 奖励的总金额 多于方案 1 奖励的总金额 ，所以预计方案 2 投资较少12 分221解析：（1） ，1 分2()xeaf若 ，由 解得 ，所以函数 的递增区间为 ；2 分0a (0f1()fx(1,)若 ，则x (,)a a
22、 (,)a1 (,)()f 0 0 x 极大值 极小值 所以函数 的单调递增区间为 和 ；3 分()f (0,)a(1,)若 ，则 ，所以函数 的单调递增区间为 ；4 分1a21xef ()fx(0,)若 ，则x (0,)1 (,)aa (,)()f 0 0 x 极大值 极小值 所以函数 的递增区间为 和 5 分()f(0,1),)a综上，若 ， 的递增区间为 ；若 ， 的单调递增区间为 和 ；0a fx01a()fx(0,)a(1,)若 ， 的单调递增区间为 ；若 ， 的递增区间为 和 1()f (0,)()f(,1),)（2）因为函数 为 上的增函数， ，即 ，6 分fx(,)1a2xfe
23、注意到 ，故 ，不妨设 ，7 分(1)2fe12(4()ffxef120 （法 1）欲证 ，只需证 ，只需证 ，即证x 1 2()xfx，即证 ，令 ，只需114()2)efxfx 11()2)4fxfe ()(2),01xfx证 ，8 分，下证 ，22 2()3()()(1)xxexxffe()0x即证 ，由熟知的不等式 可知 ，22130()xex 1x 2122()()xxex当 时，即 ， ，100x 2e 2 3222()31)()()xexx分易知当 时， ，1 232210,1()1)0xx，11 分22()3)xe，即 单调递增，即 ，从而 得证12 分()0 (x()1x 1
24、2x22解析：（1） 等价于 ，1 分2cos2cos将 代入上式，2 分2,xyx可得曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，3 分C20yx2(1)y所以曲线 的参数方程为 （ 为参数） 5 分1cosinx（2）将 代入曲线 的直角坐标方程，整理得： ，6 分2cosinxtyC26cos80t由题意得 ，故 ，又 ，7 分236s028cos922cos1,19设方程 的两个实根分别为 ，则 ，8 分2co8t12,t12126s,8tt所以 与 同号，由参数 的几何意义，可得12t，1212 126cos,8PABt PABt，9 分222 21()9cos416PABtt，所以 的取值范围是 10 分89cos415cos,1,662PAB5,23解析：（1） ，1 分21,()13,xfx当 时， ，4m2()4g当 时，原不等式等价于 ，解得 ；2 分1x 20x20,1xx当 时，原不等式等价于 ，2解得 ；3 分,1xx当 时，原不等式等价于 ，解得 ，此时无解4 分 2603131x综上所述，不等式 的解集为 5 分()fxg(,2)（2）当 时， 恒成立等价于 ，又 ，1 ()fx2mx0x，故 ；7 分mx4当 时， 恒成立等价于 恒成立，即 ，12 ()fxg()3gmin()3g只需 即可，即 ， ，9 分()3g 392m 综上， 10 分9,2m
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