1、2019 年高考数学仿真模拟卷五文科数学（本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）第卷（选择题，共 60 分）一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 ，则 （ ）01|,01|xBxA BACUA. （0，1） B. C. （-1，1） D. （0，1），（），（ -2. 设 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）iA. ，复数 a-3+i 是纯虚数RB. 在复平面内 i（2-i）对应的点位于第三象限C. 若复数 z=-1-2i，则存在复数 ，使得1zR
2、z1D. 关于 x 的方程 在实数范围内无解02x3. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的 a 的值为（ ）A. B. C. D.314374174. 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的渐)(12Rmxy1482xy近线方程为（ ）A. B. C. D. xy3xy3xy31xy35. 从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数，则所取 2 个数的乘积为奇数的概率是（ ）A. B. C. D. 62536. 已知数列 满足 ，则na 9,12),( 536421 aanan（ ）43aA. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 若 ， 满足 ，则 的最小值为（
3、）xy031y2zxyA. -1 B. -2 C. 1 D. 28. 函数 的图象大致是（ ） （附：|2)(xf）4ln20.6931.,.89， ，来源:Z*xx*k.Com9. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图)3sin(2)(xf 12象关于原点对称，则 的最小正值为（ ）A. B. C. D. 124312510. 已知函数 ，对于某常数 ，计算 和)()1ln()(22Zaxexf m()f所得正确结果一定不可能是（ ） ()fmA. 2 和 4 B. e 和 C. 1 和 7 D. 3 和 611. 已知三棱锥 A-BCD 内接于球 O，且 ，,4,AD
4、BCD13CAB则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 389761912. 已知函数 ， 对任意的 ， 恒有1()+fx()gxa,2x,成立，则 的范围是（ ）12()fxgaA. B. C. D. 3a320a32a第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 夹角为 ，且 ， ，则 。nm,1201|n|32|13mn|m14. 设直线 是曲线 的切线，则直线 的斜率的最小值是 。l xxyl9l15. 在直角坐标系 xOy 中，动点 P 到 F（1，0）的距离等于它到直线 l：x=-1 的距离
5、，PQ 垂直 l 于点 Q，M、N 分别为 PQ、PF 的中点，直线 MN 与 x 轴交于点 R，若，则 = 。60FR|16. 在正方体 中，棱长为 ，点 是棱 的中1ABCD1MNP、 、 1,ABCD点，则 与 所成角的正弦值为_。P三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共 60 分。17. （本小题满分 12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知ABC, cba,。Bcbcaoss222（1）求角 的大小；（2）若 ，且ABC 的面积为 ，求 。
6、a,3318. （本小题满分 12 分）在三棱锥 中，底面 为等边三角形， 为 的中点，ABCPFE,PBC,。平 面平 面 （）求证： ；AECF（）若 且 ，求点 C 到平面 ABF 的距离。3,2PBPB19. （本小题满分 12 分） 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了 50 人，他们月收入的频数分布及对“ 楼市限购令” 赞成人数如下表。月收入（单位百元） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1（I）由以上统计数据填下面 列联表并问是否有 99%的把握
7、认为“月收入以 55002为分界点”对“楼市限购令” 的态度有差异；月收入高于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计赞成不赞成合计（II）若采用分层抽样在月收入在15 ，25） ，25，35）的被调查人中共随机选取 6 人进行追踪调查，并给予其中 3 人“红包”奖励，求收到“ 红包 ”奖励的 3 人中至少有 1 人收入在15， 25）的概率。参考公式： ，其 中 n=a+b+c+d。 来源:学科网)()(22 dbcadbanK参考数据： )(2kP0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.82820. （本小题满分 12 分）已知 是椭圆 的左右顶点
8、，P 为椭圆上任意一点，若BA, )0(12bayx。43Pk（）若椭圆过 点，求椭圆的标准方程。),0(（）在（）的条件下，若抛物线 与椭圆在第一象限交于点 Q，过 Q 作抛xy42物线的切线，求该切线方程。21. （本小题满分 12 分）已知函数 。xaxfln)(2（）若曲线 在点（1，0）处的切线与直线 垂直，求 的值；)(fy xya（）函数 是函数 的导函数，若 恒成立，求 的范 )(xfyfln)(围。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）已知极坐标系的极点在直角坐标
9、系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合，直线 的参数xl方程为： （t 为参数， ），曲线 C 的极坐标方程为：sin1cotyx ),0。si4（1）写出曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 相交于 两点，若 ，求直线 的斜率。,PQ15|l23. 选修 45：不等式选讲 （10 分）已知函数 。|2|2|)(axxf（1）当 a=1 时，求不等式 的解集； 1)(f（2）若不等式 对任意 恒成立，求 a 的取值范围。f)(),0答案与解析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A C C A B B B B来源:Z|xx|k.Com B D D B1. A【解析】由题
10、意，B 集合中，不等式 的解集为 ，所以01x(,1)，故选 A。|01| xxU或【解题技巧】利用分式不等式的解法正确化简 B，再求出 A 的补集与 B 的交集。【命题依据】本题考查集合的运算，分式不等式的解法，集合以考查基本运算为主，常与解不等式相结合，故命制本题，考查学生的数学运算能力。2. C【解析】A 选项，只有当 a=3 时，复数 a-3-i 是纯虚数， A 错；B 选项，因为 i（2-i）=2i+1，所以对应的点位于第一象限，B 错；C 选项，若复数 z=-1-2i，则存在复数，使得 ；D 选项，因为 x=0 是方程 的实数解，D 错。iz21Rz51 02x因此 C 正确。【解
11、题技巧】命题的真假判断是对每个命题分别进行判断。【命题依据】本题考查复数的概念与运算，考查复数的几何意义，复数以考查基本概念与运算为主，故命制本题，考查学生的数学运算能力。3. C【解析】由题意，模拟运行程序，第一次，t=2， ，t3 ；退出循环，故选 C。1732,4ta74,327t【解题技巧】当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法进行解答。【命题依据】本题考查程序框图，通常以考查循环结构为主，考查学生的识图和逻辑推理能力。4. A【解析】因为椭圆 的焦点为 ，1482xy)2,0(双曲线的焦点为 ， ，),0(m31双曲线中 ，3,12abc该双曲线的渐近线方程为 。故选 A
12、。xy3【解题技巧】明确双曲线与椭圆的几何量的关系是解题的关键。【命题依据】本题考查双曲线与椭圆的方程与性质，圆锥曲线性质的考查以考查焦点坐标、离心 率为主，故命制本题，考查学生的数学运算能力。5. B【解析 】由题意，从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数，有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4 共 6 个基本事件，所取 2 个数的乘积为奇数的为1，3，所以所求的概率是 ，故选 B。6【解题技巧】古典概型的概率计算，利用列举法确定基本事件的个数是关键。【命题依据】本题考查古典概型，古典概型中的基本事件一般可以用列举法表示，重点考查古典概型的概率公式，故命制本题，考
13、查学生的分析题目与理解条件能力。6. B【解析】通解 由题意，数列 是等差数列，设公差为 d，则na，解得 ，所以 ，942125311daad1d 7321143 daa故选 B。巧解：由题意，数列 是等差数列，将两方程相加可得 ，n 34()9所以 ，故选 B。743a【解题技巧】数列通项问题常采用基本量法或利用通项的性质进行解决。【命题依据】根据数列的通项与性质的运用，以基本量建立方程组而命制本题。7. B【解析】由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，要求 的最小值，只需2zxy要平移直线 到点 处， 取得最小值，最小值是 ，故选 B。20xy)(,1C2zxy【解题技巧】线性目标函数
14、的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，通过大小比较从而确定目标函数的最值。【命题依据】线性规划的应用，给出不等式组，考查线性目标函数的最值而命制本题。8. B【解析】由题意，函数是偶函数，因为 ，所以24,16，分情况讨论如下：(2)40f时， ，x02)(|xf时， ，|时， ，所以排除 C，D，|xf又当 ， ， ，因为 ， ，所以02x2ln)( l1542ln1即函数在 上不是单调1544(1)ln, (n2)0ff (,)函数，排除 A，故选 B。【解题技巧】函数的图象的判定，通常要分析其
15、单调性与奇偶性，有时需要借助于特殊点进行解决。【命题依据】函数的图象反映了函数的性质，本题考查函数图像的判定，能反映学生对函数知识的掌握程度，故命制本题。9. B【解析】函数 的图象向右平移 个单位长度得到：)3sin(2)(xf 12，因为 的图象关于原点对称，所以43sin2)(xg )43sin(2xg，所以 ，所以 的最小正值为 。故选 B。)(4Zkk【解题技巧】掌握正弦型函数的图象的变换规律，明确正弦型函数的图象性质是关键。【命题依据】本题考查正弦型函数的图象及性质，考查图象变换，三角函数的图象与性质的研究可以结合三角函数的化简与图象的变换进行考查，由此命制本题，考查学生的数学运算
16、能力。10. D【解析】由题意， 2222()(ln(1)ln(1)mmfmfeaea，222ln(1)lmeea因为 为整数，而选项 A、B、C、D 中两个数之和除以 2 不为整数的是选项 D，所以a正确结果一定不可能的为 D。【解题技巧】本题解题的关键是证明 。()(ffa【命题依据】本题考查函数的运算和性质，重点是函数的奇偶性，本题在此基础上略有变通，考查函数的对称性，故命制本题，考查学生的数学运算能力。11. D【解析】由题意可得三棱锥 A-BCD 的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥 A-BCD 的外接 球 O，长方体共顶点的三条面对
17、角线的长分别为 ， ， ，设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c ，则根据题意341有以上三式相加，化简得2229,6,3,abcac，设球 O 的半径为 R，则有119，222()4RR所以三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积是 ，故选 D。19【解题技巧】将三棱锥补成一个长方体，该长方体的外接球就是三棱锥 A-BCD 的外接球 O，由此即可解决。【命题依据】本题考查三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积的计算，高考中的考查往往不是直接给出球的半径，而是借助于几何体的外接球进行计算，故命制本题，考查学生的直观想象、数学运算能力。12. B来源:学*科*网 Z*X*X*K【解析】本题考查函数的基
18、本性质以及函数与不等式的综合应用。因为对任意的， 恒有 成立，所以只要 即可。而1,2x1,12()fxgminax()()fxg，在 上单调递增，所以 ；而()2fx,i12f，所以 ，故选 B。ma()ga3a【关键点拨】解答本题的关键是把问题转化为求 ，这是本题的重要miaxn()()fxg突破口。【命题依据】函数的单调性和不等式的问题是高考热点，求参数范围是重点问题。13. 2【解析】由题意， ，解524|6|94129)23( 22mnmnm得 ，故答案为 2。|m【解题技巧】向量的模长，在没有坐标的情况下，通常可以先平方，再开方进行计算。【命题依据】本题考查向量的数量积公式，向量模
19、的求解涉及两种类型，有坐标、无坐标，此题主要考查无坐标时向量的模的求解，考查学生的数学运算能力。14. 6【解析】由题意，函数的定义域为 ，又 ，当且仅当),0(6218xy时取等号，所以直线 的斜率的最小值 是 6。18,26x即 l【解题技巧】正确理解与运用导数的几何意义是关键。【命题依 据】本题考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，导数的几何意义是切线的斜率，是导数的运用的体现，本题又将它与基本不等式相结合，体现知识的综合，但又比较基础，考查学生的数学运算能力。15. 2【解析】由题意，动点 P 到 F（1，0）的距离等于它到 l:x=-1 的距离，所以动点 P 的轨迹方程为 ，如图
20、所示：xy4连接 MF，QF，则 FH=2，PF=PQ，因为 M、N 分别为 PQ、PF 的中点， ， 垂直 l 于点 Q， ， ，QFMN/PORP/ 60,NRFPQ为等边三角形， ， ，F4,， 。|2R|2R【解题技巧】利用抛物线的定义，求出抛物线的方程是关键。【命题依据】本题考查抛物线的定义与性质，抛物线轨迹方程的求解以考查抛物线的定义的运用为主，充分利用抛物线的定义是巧解，故命制本题，考查学生的数学运算能力。16. 3【解析】将直线 AB 进行平移，如下图所示，取 中点 ，连接 ，所以1ADEN， 所以 AB 与 NP 所成的角等于 NE 与 NP 所成的角，在 中，/ABNE R
21、tEP为异面直线所成的角，因为正方体棱长为 1，所以 ， ，P2，所以 。16223sin6ENP【解题技巧】平移直线，使其相交，在三角形中进行求角计算，是求解空间角的常用做法。【命题依据】立体几何中，对应空间中的位置关系是考试热点，在选填中，通常考查的是空间中异面直线所成的角。17. 解：（1）因为 ，BcCbcaoss222由余弦定理可得 Bos即 ，Cbaocs2由正弦定理得 ，Acosincsicin即 ， ，)(iACin)()( ， ， ， ，Bsios2 01o2iBs0 ， ，所以 。1c03（2）因为 ，所以 。2sinac12ac又 ，6)(o2 Bcab所以 ，又 ，得
22、。74【解题技巧】正弦定理与余弦定理的作用在于边角互化，注意形式上的统一。【命题依据】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查两角和差的三角变换，解三角形问题通常与三角函数知识相结合，体现知识的综合，同时又考查基础，故命制本题，考查学生的逻辑推理、数学运算能力。18. 解：（）证明：因为平面 ，底面 为等边三角形， 为PBCA平 面 BCE的中点，所以 ， ， ，所以BCAE=平 面 平 面 EA平 面 ，所以 ；,AEPF平 面 平 面 F（）因为 ，所以 ， ，所以 ，B23P， 1，设点 到平面 的距离为 ，2=ABd因为平面 ， ， ，C平 面 =CB平 面 平 面 E，所以 ，PE平 面
23、 PE平 面点 F 到平面 ABC 的距离等于 PE 的一半，根据等体积转化可知， ，11323FABCFABCABFVSPSd，又 ，123ABCS=,6EP因为 ， ， ， 为等腰三角形，PA 边上的高为6，22 10=4P所以 ，所以 ，562ABS1524ABFPABS所以 ，13124d所以 。5d【解题技巧】本题考查空间中的垂直关系以 及几何体的体积公式。 （）根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直 ，再利用线面垂直的性质来线线垂直即可；PBCAE平 面（）等体积转换思想，把 ，再结合dSPESVABFABAFBCF 31231所给数据即可求出距离。【命题依据】文科在立体几何的考查中
24、主要围绕空间中的平行和垂直关系的证明与存在问题，和几何体的体积的求法或者是可以通过求体积来求线面距离等问题，要把握考什么，如何考，如何做作为训练的目的，做到心中有数。19. 解：（I） 列联表如下2月收入高于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计赞成 3 29 32不赞成 7 11 18合计 10 40 50，2250(319)6.7.3548K所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令 ”的态度有差异。（II）按照分层抽样方法可知：15 ，25）抽 2 人，年龄25，35）有 4 人。年龄在15，25）记为（A，B ） ；年龄在25 ，35） 记为（
25、a，b，c，d） ，则从 6 人中任取 3 名的所有情况为：（A， B，a） 、 （A ，B，b） 、 （A ， B，c） 、 （A，B，d） 、 （A，a，b） 、（A，a，c） 、 （A，a ，d） 、 （ A，b，c） 、 （A ，b，d） 、 （A，c，d） 、 （B，a，b） 、 （B ，a ，c） 、（B ，a ，d） 、 （ B，b，c ） 、 （ B，b，d） 、 （B，c，d） 、 （a ， b，c） （a ，b，d） （a，c，d）（b，c，d）共 20 种情况， 其中至少有一人年龄在15， 25）岁情况有：（A ，B ，a） 、 （A ，B ，b） 、 （A ，B ，c）
26、 、（A，B ，d） 、 （A，a ，b） 、 （ A，a，c ） 、 （A，a，d） 、 （A，b，c ） 、 （A，b，d） 、 （A，c，d） 、（B ，a ，b） 、 （ B，a ，c ） 、 （B，a，d） 、 （B ，b，c） 、 （B，b，d） 、 （B，c，d） ，共 16 种情况，所以 3 人中至少有 1 人年龄在15，25）的概率为 。542016【解题技巧】古典概型的计算关键是求出基本事件的个数；独立性检验知识的运用关键在于正确列出 列联表，求出 的值。22K【命题依据】本题主要考查古典概型的计算，考查独立性检验知识的运用，文科考查统计知识，往往与古典概型相结合，古典概型
27、中基本事件的确定，通常用列举法进行列举，故命制本题，考查学生 的逻辑推理、数学运算能力。数据分析。20. 解：（）设 ，因为 ， ， 因),(yxP)0,(,(aBAaxykxykPBPA,为 ，所以 ，所以 ，21xyab222 21bxa 22b又椭圆过 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ；(0,3),3b 1342yx（）联立方程组 ， 解得 ，所以 ，设1342yx（ 舍 ）或 632x )6,(Q椭圆在 点处的切线为 ，联立方程组)362,(Q)(k，整理得 ，由 解之得 ，所xyk4362)(2 26043ky26k以切线方程为 。0【另解】在第一象限，抛物线的方程可化为 ， ，又
28、，xy21 )36,(Q所以 ，所以切线方程为26k 063x【解题技巧】（）设出 ，求出 ，根据题意，可直接求出椭圆方程；),(yPPBAk,（）联立方程组，求出交点，接下来可以设出直线，联立方程组，根据判别式等于 0 来求斜率，进而求出切线方程，也可以利用导数，求出抛物线在该点处切线的斜率，进而求出切线方程。21. 解：（）令 ，所以 ，又在点1ln1)(2xaxfh xah2)(（1，0）处的切线与直线 垂直，所以 ，所以 ；y)(h3（）由题意可得， 即 ，也即 恒成xfln)()0(ln2xa2lnax立，令 ， ，令 ，解)0(2ln)(xxg xxg2 41(0)(xg，因为 时
29、， ， 时， ，所以121（ 舍 ） 或 210)( 在 单调递增，在 单调递减，所以2ln)(xxg），（ 0,。所以 。ln4l)(ma 21lna【解题技巧】本题考查导数的几何意义以及导数与函数单调性之间的关系。 （）构造函数 ，求出导函数，确定切线的斜率，进而根据切线与直线 垂直直接1)(xfy xy求出参数 的值；（）代入导函数，分离参数，构造函数 ，对函数进a 2ln)(xg行求导和讨论单调性，进而求出函数的最大值即可。【命题依据】导数的几何意义考查的题型一般是在某点处的切线和过某点处的切线，注意切线斜率满足的条件，解决与导数有关的不等式问题，通常采用构造函数的方法，通过求函数的极
30、值和最值来解决。22. 解：（1） ， ，sin4,sin42yx42曲线 的直角坐标方程为 。C4)2(2yx（2）把 代入 ，整理得 ，sin1cotyx2 03sin2t设其两根分别为 ，即 对应的参数为 ，则2,PQ21,t,121t， 51si4|1tPQ得 ， 3tan,co,3sin直线 的斜率为 。l【解题技巧】 （1）利用 将极坐标方程与直角坐标方程互化；si,coyx（2）参数的几何意义的运用必须注意参数方程的形式。【命题依据】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，来源:学科网 ZXXK考查直线参数方程的几何意义的运用，极坐标系与参数方程的考
31、查，以考查三种方程的转化及运用参数的几何意义求值为主，故命制本题，考查学生的数学运算能力。23. 解：（1）当 a=1 时， ，2,413,|2|2|)( xxxf当 时，由 ，解得 ；x14当-1x2 时，由 ，解得 ，所以-1x2；23x当 时，由 ，解得 ，所以 。25x52x综上可得，原不等式的解集为 。|（2）因为 ，所以 等价于|ax -2|2，-2ax -22，),0(xf2)(即等价于 ，所以由 题设得 在 上恒成立，a4xa40)2,0(又由 ，可知 ，所以 a 的取值范围为（0， 2。)2,0(x2x【解题技巧】利用绝对值的意义分类讨论将绝对值不等式转化为一元一次不等式是解题的关键。【命题依据】本题主要考 查绝对值不等式的解法，通常涉及分类讨论，同时常与恒成立问题相结合，故命制本题，考查学生的逻辑推理、数学运算能力。
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