1、2019 年高考数学仿真模拟卷二文科数学（本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知全集 ，集合 ， ，1,023,4U=|4AxN=|12BxZ则 ( )()=CABA. B. C. D. 1,04-,10,12. 已知 i 为虚数单位， ，则关于复数 的说法正确的是( )来源:学科网21zizA. B. 对应复平面内的点在第三象限 |zC. 的虚部为 D. iz3. 据市场调查，某种环保产
2、品在 12 月至 2 月一个销售季度内的市场需求量的频率分布直方图，如下图所示。根据频率分布直方图，用频率近似概率估算该产品的需求量的平均数为( )A. B. C. D. 90.591.5924. 设 满足 ，则 的取值范围是( ),xy240y4zxyA. B. C. D. 34,)53(.52,(.25. 已知 中， ， ， 是 的中点，则 （ ABC2,)(,6)BCDBCAD）A. B. C. D. 1040240136. 张丘建算经是我国古代内容极为丰 富的数学名著，书中有如下问题：“ 今有懒女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何。 ”其意思为：有个懒惰的女
3、子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少。根据这一问题背景，现绘制如下的流程图，根据流程图，输出的结果是（ ） 。A. B. C. D. 430304297. 已知直线 与圆 始终有两个交点，则 的取值范围为( )230axy21xyaA. B. C. D. 727a27或8. 已知 ， ， ，则 的大小关系是( )23(log)a21(log3)b2log()3c,bcA. B. C. D. caaa9. 已知 ，任意 都满足 ，最小()sin)(0,|)2fxx1()()2fxf正周期为 3，则关于 的单调性说法正确的是( )f
4、A. 函数的单调递减区间为 13,kkZB. 函数的单调递增区间为 (,),2C. 函数的单调递增区间为 1(3,),2kkZD. 函数的单调递减区间为 ,10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. 42364236C. D. 11. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，:20lxy2:1(0)xyCabM椭圆 的离心率为 ，若 ，则直线与曲线 的公共的个数（ Ce2）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 个或 2 个12. 已知函数 ，关于 的方程 有两不同实根 ，则下()lnfxx()faxR12,x列结论正确的（ ）A. B. C. D.
5、 与 无关12xa 121212a第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知 是数列 的前 项和，则 是 是等差数列的_条nSna21()nnSa件。14. 某人根据周髀算经自制了一个赵爽弦图，并标识如下图，图中小正方形的边 长为单位长度，在正方形 内任意投放一个直径等于单位长度的圆形纪念币（纪念币圆ABEF心落在正方形 内） ，则 纪念币和黄实部分有接触的概率为_。15. 如图所示， 是正方体棱 中点， 在 上，当 时， 与M1ANB1MNC所成角的余弦值为_。1DC16. 如图所示的数阵。那么第 个数位于第_列_行。2019三、解
6、答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共 60 分。17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别是 ，且 。ABC, ,abc()sin)sin()ABcb（）若 ， ， 求边 的长；34ABCS2bca（）若 是最大内角，则 的取值范围。os()BA18. （本小题满分 12 分）2017 年 4 月 20 日 19 时 41 分 35 秒在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空，并于 4 月 27 日成功完成与天宫二号的首次推进剂在轨补
7、加试验。为了研究青少年对航天航空事件的关注和喜好与性别是否有关系，某机构对 100 名初中生做了一个观看长征火箭飞行情况的调查。调查情况如下表：（）根据统计表格已有数据，填写未知的数值，并求出随机的从被采访的学生中任取一人，是女生的概率；（）利用独立性检验的原理，判断是否观看和热爱航天科技与性别有关。并说明理由。（参考公式和数据： ，)()(22 dbcadbanK)2(P0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 3.841 5.024来源:Z+xx+k.Com 6.637 7.879 10.82819. （本小题满分 12 分）如图所示，正三棱柱 中， 是 中点， 在 上，
8、若 ，1ABCE1ACF112AB。2|(13)|CF（）求证： ；（）若 ，求 到平面 的距离。1F平 面 2B1E20. （本小题满分 12 分）已知顶点为原点的抛物线 C 的焦点与椭圆 的上焦点重合，且过点 。21yxa(2,1)（）求椭圆的标准方程；（）若抛物线上不同两点 作抛物线的切线，两切线的斜率 ，若记,AB12k的中点的横坐标为 ， 的弦长 ，并求 的取值范围。ABm()g()m21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， 。()(0)fxa()0xef（）当 时，求函数 在点 处的切线方程；1g,)（）关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。来()11a源:学科网
9、ZXXK（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。来源:学+科+网22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）已知直线 的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半l312()xty为 参 数 x轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 。32sin()4（）求圆 C 的标准方程；（）直线 与圆 C 交于 A，B 两点， ，求 。l (1,)P|APB23. 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知函数 ()|21|fxxa（）若 的最小值为 2，求 的值；()fxa（）若 恒成立，求 的范围。14答案与解析1 2 3
10、4 5 6 7 8 9 10 11 12C A C A C B C A B D C B1. C【解析】依题意可知 ， ，所以 ，=0,1231,023,4U1,4U，所以 。故选 C。=1,0B()-U【关键点拨】对于集合的交并补运算，特别的集合 要正确求解，再次需要注意共同B元素与交集和并集之间的关系。【命题依据】历年高考第一题都是考查集合的计算，难度较小，主要涉及的是集合的基本运算。2. A【解析】已知 ，所以 ，所以 。故选 A。21zi2(1i)z|1z【命题依据】考试大纲对复数的概念和复数的乘除运算要求较低，而且多以考查复数的乘除计算、复数的几何性质为主，结合这几年高考真题，在这个考
11、点上的冷热变化，特命制此题。来源:学科网 ZXXK3. C【解析】本题考查统计利用频率分布直方图估算平均数。由频率分布直方图可得，70.18.290.310.25.19.5x故选 C。【关键点拨】解决统计图表问题，关键在于理清所给数据和图表之间的关系，结合数据和统计图表所反映的问题，对事实的一个总结和对未来的合理推断。【命题依据】根据考试大纲对统计概率的要求，统计概率更加强调应用性，以及在高考中，考查的难点较小，主要是根据统计图表，特征数据来估算实际情况，结合这几年在选填题目中忽视这类问题的考查，因此特命制此题。4. A【解析】本题考查简单的线性规划。意在考查画图能力和转化问题的能力。如图所示
12、，不等式组表示的平面区域，所以在 处取得最小值，所以412(,)5的取值范围是 。42zxy34,)5【关键点拨】准确的解决线性规划问题，需要注意两点，准确画出可行域是前提，明确最优解对应的位置是关键，特别的是对于线性目标函数 来说，当 时，zaxby0直线 上移 值越来越大，下移时 值越来越小；当 时，直线0axbyz 上移 值越来越小，下移时 值越来越大。z【命题依据】简单的线性规划是高考必考问题之一，而且在高考中，难度较小，只考查线性目标函数的最值，含参数的线性目标函数，根据历年高考真题的规律，特命制此题。5. C【解析】本题考查向量的数量积，通过本题主要考查了学生的分析问题转化问题的能
13、力。依题意可知，在 中， 是 的中点，所以 ，ABCD1(,5)2ADBC，所以 。故选 C。(0,8)A40【命题依据】考纲在对平面向量的要求较高，要求能够熟练掌握向量的数量积计算以及向量的坐标运算等，考查的难度中等，根据这几年高考的实际考查情况，特命制这道与三角形相结合的问题。6. B【解析】本题考查数 学文化、循环结构的流程图， 意在考查学生的推理演算能力。本题需要充分理解流程图中变量的关系，根据问题模型，可知问题背景是等差数列，首项为 5，末项为 1，项数为 ，显然问题所要求的是 30 天的平均织布量，所以30，所以应填的是 。故选 B。30()92ss【解题技巧】本题的技巧是充分考虑
14、循环结构的流程图中变量之间的变化关系，尤其是要把实际问题和流程图中的变量进行整合。流程图问题常考常新，主要围绕的就是循环变量、终止条件以及执行功能，变量之间的赋值，需要考虑到赋值中的递进关系。【命题依据】数学文化是考纲中重要的变化之一，尤其是在最近两年，明确的要求渗透或直接考查数学文化，数学文化与程序框图相结合，也是高考命题的趋势，基于以上这些，特命制此题。7. C【解析】本题考查直线与圆的位置关系。意在考查学生的计算能力和分析问题、解决问题的能力。依题意，圆心为 ，所以定点到圆心的距离 ，解之得(0,1)2|3|4ad。故选 C。27a【关键点拨】直线与圆的位置关系问题，一般的处理方法都是转
15、化为圆心到直线的距离与半径之间的关系来解决。当然本题也可以联立方程组，考虑方程组有两解来解决。【命题依据】直线与圆的位置关系是高考的高频考点，考查难度较难，尤其是 含参数的问题是近些年高考考查的导向，考查的方法主要是利用方程组思想和点到直线的距离来解决问题。8. A【解析】本题考查指数函数和对数函数的大小比较，综合考查学生的计算能力、对函数图象及性质的运用能力。因为 ，所以 ，30log2101a， ，所以 。故选 A。221(log3)(l)1bccb【关键点拨】关于指对数的比较大小问题，重点考查的是指对数的运算和函数单调性以及特殊的值得运用。【命题依据】指数函数和对数函数的单调性以及根据单
16、调性比较大小，是高考高频考题，考查难度中等，尤其是利用其单调性比较大小问题，往往把指数运算、对数运算以及幂的运算结合在一起来考查是高考的趋势。9. B【解析】本题考查正弦函数的图象与性质，意在培养学 生数形结合思想和化归思想。因为 最小正周期为 ，而 ，则 ，()sin)(0,|)2fx3223又 是一条对称轴，所以 ，所以 ，所以函数解析式为12,3kZ6，令 ，所以函数的对称中心为()sin)36fxx2,6x，当 ，所以单调递增区间为1,024kZ23kk，故选 B。()【命题依据】三角函数的图象与性质是高考的必考考点，考查难度中等，尤其是围绕其解析式、周期性、单调性和对称性来全面的考查
17、三角函数，直接通过抽象函数的性质，考查三角函数性质是本题的创新。10. D【解析】本题考查根据三视图求几何体的表面积。依题意，可知该几何体是由一个棱长为 2 的正方体切割成的一个六面体，分别利用三角形的面积公式，可得，故选 D。PABCPDABCADSSS26324在 中， ，所以 ；ABC5,23AC1236ABCS在 中， ，所以 ；P,P在 中， ，所以 ；在 中，2,h12ABCSPD，所以 ；2,CD1ABCS在 中， ，所以 ；在 中，A2,D12ACDSA，所以 ；所以P 321PAS。26324S表【命题依据】三视图是近几年高考的必考问题，在高考中难度中等，通常考查的是根据三视
18、图求几何体的表面积、体积，由于考纲更加侧重对 知识的应用，特命制此题11. C【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生的推理演算能力。因为直线与椭圆有且只有一个公共点，联立方程组， ， ，所201xyab2e以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以2ab226840yb2648()023， ，所以双曲线的标准方程为 ，再联立方程组2324231xy， 方程组有两解，故选 C。10xy260y【关键点拨】圆锥曲线问题最主要的是结合标准方程联立方程组和计算，本题要注意，一个是椭圆，一个是双曲线，尤其是两次联立方程组的化简计算是一大难点，也是易错点。【命题依据】历年高考试题都会在 7-11 题
19、位置会考查一道关于双曲线的问题，考查的难点中等或较难，多以考查双曲与直线的位置关系，双曲线的几何性质为主，含参数问题是高考的趋势。12. B【解析】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，导数与函数的单调性等。意在考查学生对问题的分析和转化能力。 ，lnfxa1,0,axfx 当 时， 在 上为减函数；00,f,当 时，令 得ax1a当 时， 为减函数，10,x0,ff时， 为增函数。,a,fxf又因为 有两个不同零点，所以 ，且 ，得f 0amin10fxfa1ae由题意得 ，两式相减得 ，120 xlna2121l解得 ，不妨设 ，令 ，整合要解决的的问题可知只需要研12lx12x1t究函数 的
20、性质，lngtt21lnlngttt 令 ，12lhtt210httt 在 上单调递减，,h ，所以 在 为减函数，0gtgt1, 1即 在 恒成立，也即即证 ，21lntt,22111 2lnxx， 。故选 B。2111lnx2xa【命题依据】本题主要考查函数与方程以及函数与不等式，是高考的热点和难点，常常出现在选择题的压轴题位置，通常以综合考查了函数的奇偶性、单调性，函数与零点以及导数与函数的单调性，对于选择题，也可以直接排除的方法来解答本题。综合考查学生的分析问题，解决问题的能力。13. 必要不充分【解析】本题考查等差数列的性质。意在考查学生对性质的运用意识。当 是等差数列，显然有 ，而
21、当 时，若 ，na21()nnSa21()nnSa1，当 时， ，又 ，而当 时， ，所以1S23a32353，但是无法预知是否有 ，所以由34541524，不能推出 是等差数列。2()nnn所以 是 是等差数列的必要不充分条件。21【解题技巧】结合等差数列的性质以及充分必要条件的相互推导关系，对于不成立的式子，只需要举出一个反例即可。【命题依据】等差数列和等比数列性质是高考必考知识点，考查难度中等，本题结合近几年高考考题的导向，把数列性质与充分必要条件相结合是一个符合命题趋势的小创新。14. 12+0【解析】本题考查几何概型意在考查学生转化问题和分析问题的能力。依题意整个正方形 的面积为 个
22、单位长度，而所投掷的圆形纪念币要与“黄实”ABEF25接触，所以考虑圆心所在的最大的区域是绕“黄实”外围距离黄实边线距离为 个单位长度12以内，所以可接触的圆心所在的区域面积为 ，所以1424（ ）所求事件的概率为 。120【命题依据】几何概型问题是全国卷常考问题，考查难度较小，本题让几何概型与数学文化相结合，既符合高考要求，也符合常考的面积比或体积比这一规律，特命制此题。15. 310【解析】本题考查根据空间中的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力。依题意， ， ，所以 ，所以 ，又1MNC1B1MNBC平 面 1MNB是正方体棱 中点，所以 ，设正方体棱长为 1，所以 ，设A12
23、54为 中点，所以 即为所求 与 所成的角， ，在EBE1D21,E中，由余弦定理可知， 。NM30cosNM【关键点拨】本题的易错点是几何体左侧是个棱柱，不是棱台，错误的当成棱台直接导致体积求错。【命题依据】高考考纲对空间位置关系考查主要围绕着垂直、平行、线线角、体积、表面积等，而且通常是以长方体或正方体为背景，这是高考的热点，结合最近几年的考试变化趋势，命制此题。16. 62，3【解析】本题考查推理与证明。根据数阵和计数个数之间的关系，可知，每次对角线计数，即个数关系是第 个对角线有 个数，所以第 2019 个数最接近的是n，所以第 2019 个数是在第 64 个对角线上，从上往下的第三个
24、数，根据数642016阵计数原理，可知第 2019 个数位于点 62 列，第 3 行。【关键点拨】解决本题的关键在于通过数阵寻找计数的规律：（1）个数关系是第 个n对角线有 个数；（2）从第二个对角线开始，当 n 是偶数时，是从右上方向左下方进行计n数；当 n 是奇数时，是从左下方向右上方进行计数。【命题依据】从高考的趋势来看，关于实际问题的解决是一个趋势，因此在逻辑推理类问题的要求上也越来越高，往往通过一些数阵背景来设置问题，通过本题的解决，让我们更加贴近高考，同 时培养了能力，激发了学习兴趣。17. 解：（）因为 ，即 ，()sin)sin()abABcsinabCcAB由正弦定理可得 ，
25、所 以 ，即 ，又 ，所以221o23A34BCS，又 ，所以 ，所以在 中，由余弦定理可知，1bccbcBC；21os3a（）依题意，可知 ， ，所以 ， 所以 ，A232303BA所以 的取值范围为 。cos()B(,1【关键点拨】对于解三角形问题，由于考纲要求灵活运用公式和培养学生的计算能力，因此无论所给什么条件和要解决什么问题，都需要把问题转化到具有一定已知条件的三角形中，然后结合正余弦定理的两组公式来解决，常用的两组公式是：；112,sinsisinsinisin2ABCabcRSabcAacBAB。222o,sc【命题依据】根据今年高考真题可以发现，解答题第一题难度较小，多以考查解
26、三角形和数列为主，去年考查的是数列问题，因此今年命制解三角形，在问题设置上第一题多以考查解三角形、正余弦定理为主要对象， 第二问一般是求面积和求某个角的三角函数值得范围。18. 解：本题考查独立性检验、古典概型等知识，主要考查学生对数据的处理能力。（）由题意易得， ， ， ， ，350A1520B25，所以女生共有 40 人，可见女生人数占总人数的 ，所以随机的从被40CAB 4%采访的学生中任取一人，恰是女生的概率为 ；.4（）由独立性检验的计算可得， ，根据检验2210(351).16760数据可知， ，所以只有 的把握说明观看航天科技节目与性别有关。23.8415.049【关键点拨】由于
27、统计问题的应用性非常强，需要我们对所学知识要有较高的把握，而且在对于实际问题的抽象和分析上也有很高 的要求，解决本题的关键是要注意所给的统计图表反映的实际问题是什么，其次需要分析第二问求线性回归方程所需要的平均数能否用第一问的数据。【命题依据】概率统计是高考必考考题，难度中等，一般情况下，考查古典概型、独立性检验，线性回归方程，而且高考各年是相互交错的来命题的。这类题更加侧重应用性和与统计的结合，以及最近几年高考对新事物的认知和考查，特命制本题。19. 解：（）证明：因为正三棱柱 中， 是 中点，所以1ABCE1AC，又 ， ，所以 ，又11BEAC1A11C平 面F平 面所以 ，又 ， ，1
28、12B|(3)|F所以 ，22222111|EA由勾股定理可知，所以 ， ，A所以 ；1AFE平 面（）求 到平面 的距离，利用等体积转化，由题意可知，B，13,32AEFAESS又 ，11 1322BFBV d所以 。39d【关键点拨】本题考查空间中的平行关系和空间几何体的体积计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力。 （）通过线面垂直的判定定理来证明；（）通过变换几何体的顶点及底面，利用等体积法进行转化求解。【命题依据】空间中的平行和垂直关系是必考问题，文科立体几何第二问常考查点到面的距离或者是几何体的体积问题。20. 解：（）由题意可知，点 在抛物线 C 上，所以抛物线 C 的方程为(
29、2,1)，所以椭圆的上焦点为 ，所以椭圆的标准方程为 ；28xy(0,) 215yx（）设 ，在 点处的切线的斜率 ，在 点处的切线的221(,),8xABA14kB斜率 ，又 ，所以 ，24k1216k221218ABxxmk，而21xm12212|()4ABx，所以 ，又26 42m864f，所以 。20|8【查漏补缺】与抛物线有关的问题，在设点时候特别有讲究的，利用方程为时，一般设点为 ，如果方程是 ，点一般设成 ；涉及2ypx2(,)yp2xpy2(,)xp抛物线的焦半径，直接用焦半径公式 或 。|Ar|Ar【关键点拨】本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，意在考查学生分析
30、问题转化问题的能力以及计算能力。 （）根据轨迹满足的条件，结合抛物线的定义，求出曲线方程；（）设出两点坐标，再根据两点处的切线垂直，建立 的方程，联立AB方程组来求解。【命题依据】圆锥曲线问题在高考中主要考查的是椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，最近两年对抛物线有所侧重，因此命制此题，符合高考考查趋势。21. 解：（）依题意， ，又 ，所以 ，()0xegf1a1()xxage所以 ， ，所以 ，所以切线方程为 ，即(0)1g2()x 2 2y。2xy（）依题意， ，即 ，所以 ，当 时，显()10g1xae()xae1然成立；当 时， 即 ，令 ，x()()hx，且 时，解得
31、 ，所以 在 单调递增，2()1eh()0hx2x)1xe(,2)在 上单调递减，所以 ，所以 ；当 时，,xma()()he2a1x即 ，令 ， 所以()xae()x(1)x2()0xe在 单调递增，所以 ，又 ，综上可(1)h, min1()aha得， 。2,0(,)aee【关键点拨】本题主要考查导数几何意义，导数与函数的单调性的关系以及利用导数解决不等式问题。 （）把 代入 ，求出 ，再写出切线方程即1a()gx(),0()xg可；（）分离参数，构造新函数，对新函数求导并探究其单调性即可解得本题。【命题意图】导数压轴题多考查切线问题，讨论函数的单调性、函数的极值以及函数与不等式等问题，本
32、题的命制依据是结合了近三年高考的命题趋势以及考试大纲要求的。22. 解：（）依题意， 可化为 ，即32sin()420xy；（）由（）可知，圆的圆心在 ， ，而直线过点22(1)()xy(1,)2r，且 在圆内，直接把 代入圆的方程可得，P312xty，所以 ，而 。2(13)20tt123t12|3PABt【关键点拨】极坐标与参数方程问题，特别需要注意的极坐标和普通方程之间的转化关系： ，同时消参数常用的方法是加减消参法。2cosinxy【命题依据】高考对于参数方程问题主要考查极坐标和参数方程之间的转化关系，以及直线与圆的位置关系等，从考纲的要求可以看出难度不大，多考常规问题。23. 解：（）因为 ，根据绝对值的1()|21|2(|)fxxaxa几何意义，可知，数轴上的点到 和 对应点的距离最小值为 1，所以 或 ；321（）依题意，由（）可知， ，得到 或 。()4fx52a【解题技巧】与绝对值有关的不等式问题，常用的处理方法是：根据绝对值的定义去绝对值号，把问题转化成分段函数问题；如 前面系数相同或者是可化为系数相同的问题，直接考虑进绝对值的几何意义解决；含参数的问题需要参变分离或者是对参数进行分类讨论。【命题依据】高考中不等式选讲中的考查，主要考查对象是含有绝对值的不等式，以及含参数的不等式讨论问题，本题依据刚刚和高考真题，命制如下。
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