1、2019 年高考数学仿真模拟卷一文科数学（本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ， ，则 （ ）|02Ax2|30BxZxABA. B. C. D. 0,2),11,0,12. 已知 。则“ ”是“ ”成立的（ ）,abR0abaA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知双曲线 C： 右焦点与抛物线 的焦点重合，则抛物213
2、xy2:(0)ypx线 的准线方程为（ ）2:(0)ypA. B. 1xxC. D. 24. 已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系12089a018log9b2019log8cabc为（ ）A. B. caC. D. bacb5. 设不等式 表示的平面区域为 D，在区域 内随机取一 个点，则此点到点1|yx的距离小于 1 的概率是（ ）(1,0)PA. B. 48C. D. 6. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构。榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫
3、榫头） ，已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头” 的体积是（ ）A. 36 B . 45 C. 54 D. 637. 函数 的图象大致是（ ）21xef8. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的3sin26yx3cosyx点（ ）A. 先将横坐标缩短到原来的 倍，然后向右平移 个单位126B. 先将横坐标伸长到原来的 2 倍，然后向左平移 个单位C. 先将横坐标缩短到原来的 倍，然后向右平移 个单位13D. 先将横坐标伸长到原来的 2 倍，然后向左平移 个单位9. 刘徽是中国古代伟大的数学家。他的杰作九章算术注和海岛算经 ，是我国宝贵的数学遗产。在“九章算术注”中，刘徽发展了
4、中国古代“率”的思想和“ 出入相补”原理。用“率”统一证明了九章算术 中的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。为了证明圆面积公式和计算圆周率，刘徽创立了“割圆术”。如图是 利用刘徽的 “割圆术”设计的程序框图，执行该程序框图，则输出的 n值为（ ）参考数据： ， ， 。31.72sin50.28sin7.5013A. B. C. D. 124489610. 若 ，且 ，则 （ ）0,23sincossin2cosA. B. C. D. 2511. 如图，四边形 ABCD 和 ADEF 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 AE
5、上，设直线 CM 与 BF 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 0,30,30,20,212. 已知函数 ，若方程 恰有 4 ,()()ln1xfe()()()fxafaR个不等的实根，则实数 的取值范围为（ ）aA. B. 21(,0)e2(,0)eC. D. 2,21,第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 =（ 2，1） ， =（1，m ） ， =（1，2） ，且（ + ） ，则abcabc=_。b14. 已知函数 为定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，若()fx0x2()fx，则实数 _。(1
6、)2fa15. 圆 ： 22()(1)4y的圆心为 C，过点 作圆 的切线，切点为C(4,1)AC，则三角形 的周长等于_。BA16. 在三角形 中， ，且角 满足 ，则BB,28sincos()7AB三角形 的面积的最大值是_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共 60 分。17. （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，且nanS2(1)na（）求数列 的通项公式；n（）若 ，求数列 的前 项和 。(1)bnbnT18. （本小题满分 12
7、分）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，ABCDEBE/BECD90且 ， 底面 。2D（）若 F 为 AD 的中点，求证： 平面/FA（）若 AB 与底面 所成角为 ，求四棱锥 的体积419. （本小题满分 12 分）随着互联网经济的兴起，网上购物成为很多人的消费习惯，每年的“双 11”都是一场全民网购的盛会。网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司招聘打包工。两个快递公司提供的工资方案如下：甲快递公司每天固定工资 60 元，且打包工每打包一件快递另赚 元；乙快递公司无固1定工资，如果每天打包量不超过 250 件，则打包工每打包一件快递可赚 元；如果打包工.2当天打
8、包量超过 250 件，则超出的部分每件赚 元。1.7下表记录了某打包工过去 10 天每天的打包量 （单位：件）：n打包量 n210 230 250 270 300频数 1 2 3 3 1以 10 天记录的各打包量的频率作为各打包量发生的概率。（）若该打包工选择去乙快递公司工作，求该打包工当天收入不低于 300 元的概率。（）该打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由。20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的中心为原点 ，一个焦点 ，且下顶点21(0):xyabTO(1,0)F到过左顶点 和上顶点 的直线
9、 的距离为 。2B1A1B1A123|A（）求椭圆 的方程；（）过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 。设直线 和直线 的(2,0)MlT,BFB斜率分别为 和 ，求证： 为定值。FAkBFABk21. （本小题满分 12 分）已知函数，2()lnfxx1()(),gaxaR（）求函数 在点 处的切线方程；1,f（）若 ，求函数 的极值点。()()hf()h（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为x l，曲线
10、 的极坐标方程是 。2sin4C2cos4in0（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的倾斜角；l（）已知点 ，直线 与 曲线 相交于 两点，设线段 的中点为 ，求1,0Pl,ABABQ的值。PQ23. 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）设函数 ，()|1|fx()1|gxa（）解不等式 f（）若函数 的图像始终在函数 图像的上方，求实数 的取值范围。()()a答案与解 析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D B C A D C C A B A A D1. D【解析】 ，所以2|30|130,12xZxxZ，故选 D。0,1A【命题依据】本题考查集合的交集运算及一元二次不等
11、式的解法。考查运算求解能力。2. B【解析】当 成立时，不妨设 ，此时不满足 ，所以不是充分0ab0ab1ab条件；当 ，则有 ，即 ，所以是必要条件。故选 B。1【命题依据】本题考查充分条件和必要条件的判别。考查运算求解能力和推理论证能力。3. C【解析】 的右焦点坐标为 ，故抛物线的焦点坐标为 ，所以抛213xy2,02,0物线的准线方程为 ，故选 C。【命题依据】本题考查抛物线和双曲线的简单几何性质。考查运算求解能力。4. A【解析】因为 ， 。12089a20182018log9=log9b（ ， ）2019logc（ ， ）所以 ，故选 A。abc【关键点拨】三个数比较大小，一般可以
12、先确定三个数的大致范围，再比较大小。【命题依据】本题考查指数和对数的运算法则。考查运算求解能力。5. D【解析】先画出不等式 表示的平面区域 D，如图所示的正方形 ABCD，|1xy设区域内的点的坐标为 ，则随机事件：在区域 D 内取点，此点到点 的距离小(,) (1,0)P于 1 表示的区域就是圆 的内部，即图中的阴影部分，故所求的概率为21xy。故选 D。4=28【解题技巧】与面积相关的几何概型求解，关键是确定平面区域的位置，求解相关区域的面积。【命题依据】本题考查不等式表示平面区域的画法和几何概型的求解。考查运算求解能力。6. C 【解析】作出该几何体的直观如图，两个直四棱柱的组合体。3
13、63615422V【解题技巧】由三视图求几何体的体积，需要先由三视图还原几何体。【命题依据】本题考查三视图的识别和还原及棱柱的体积公式。考查直观想象能力和运算求解能力。7. C【解析】函数的定义域为 且|1x， 为奇函数，排除选项 。221xeef ffxB当 时， ，排除选项 ，20,1,0xD因为 ， ，所以 ，即23ef45ef2415fe，排除选项 A，故选 C。42ff【解题技巧】由函数解析式确定函数图象的选择题，一般是利用函数的奇偶性和特殊点，用排除法找答案。【命题依据】本题考查由函数的解析式辨别函数的图象。考查逻辑推理能力和运算求解能力。来源:学_科_网 Z_X_X_K8. A【
14、解析】 3cosin()2yx把 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数in()2 12的图象，再把 的图象向右平移 个单位得到函数3si()yx3sin(2)yx6，故选 A。in2si()626【关键点拨】在三角函数找变换规律前，首先要将函数名称统一。【命题依据】本题考查三角函数的诱导公式和三角函数的图象变换。考查运算求解能力。9. B 【解析】由程序框图， 值依次为： ， ； ， ； ，,nS6n2.598S1n=3S24n，此时满足 ，输出 ，故选 B。3.1056S3.1024【命题依据】本题考查循环结构的程序框图的应用及数学文化，考查推理论证能力和运算求解能力。10. A
15、 【解析】因为 ，所以23sincossin2，即 ，23sini23icosin因为 ，所以 ，所以 ，0,si0si1所以 ，即 ，又因为 ，2si()161in()6263故 ， ，所以 。3cos【关键点拨】三角恒等变换中，高次式一般要先降次。【命题依据】本题考查倍角公式和降幂公式。考查运 算求解能力。11. A【解析】易证 BFCE，CM 与 BF 所成的角为即为MCE ，当 M 点与 A 点重合时，MCE 最大为 ，当 M 点与 E 点重合时，MCE 最小为 0，故选 A。3【命题依据】本题考查两直线所成的角的求解。考查运算求解能力和化归与转化思想。12. D【解析】当 时， 在
16、上为增函数；0x()ln1)fx0，当 时， ，由 ，得 ，xfe0fx1当 时， ， 为增函数，1()，f当 时， 为减函数，0x10xf，所以函数 在 上有一个最大值为 ，且f()，1e时， ，可以画出函数 的大致图像，如图所示，)(x， xe)(xf令 ，要使方程 恰有 4 个不等的实根，()tfx2()()0()fxafaR即 应有两个不等根，且一个根在 内，一个根在 内，20a1e，(1)e，再令 ，因为 ，则只需 ，即 ，2tt020()20a解得： ；1ea所以，要使方程 恰有 4 个不等的实根，实数 的取值2()()0()fxafaRa范围是 ；故选 D。21(,e【解题技巧】
17、将方程根的个数，转化为函数图象的交点 个数，通过导数探究函数的图象来解决。【命题依据】本题考查函数与方程及零点问题。考查运算求解能力、函数与方程思想和数形结合思想。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 52【解析】 ，因为（ + ） ，所以来源:学科网(1,)mababc(1)()20m所以 。所以 =（1， ） ，故225=42【命题依据】本题考查平面向量的坐标运算。考查运算求解能力。14. 3【解析】因为函数 为定义在 R 上的奇函数，且 ，所以 ，即()fx(1)2f(1)2f，解得 。12aa【命题依据】本题考查奇函数的性质。考查运算求解能力和转化与化归思
18、想。15. 8+0【解析】圆 C标准方程为 22()(1)4xy，圆心为 (2,1)C，半径为 2r，2(4)10A，AB 与圆 C 相切，所以BrAB222(4)(1)46。三角形 的周长为 。8+0【关键点拨】求圆的切线长，一般是构造直角三角形，利用勾股定理求解。【命题依据】本题考查直线切线长的求解。考查运算求解能力。16. 3【解析】 ，28sincos()7CAB即2i 0因为2 1cos8sincos()82C，24414cos6CC即 ，解得 ，所以 ，2cos10cos23设 分别为角 的对边，ba,BA,由余弦定理得 ，即 。22csabC24ab又因为 ，即 ，当且仅当 时等
19、号成立。243abab43ab=ab所以三角形 的面积 。ABC1sin2SC【解题技巧】对于双变量的最值求解，基本不等式是常用方法。【命题依据】本题考查三角恒等变换和余弦定理、基本不等式。考查运算求解能力和转化与化归思想。17. 解：（）因为 ，2(1)nSa当 时， ，2n1-得 ，即 ， （3 分）na1n由式中令 ，可得 ， （4 分）12a数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，n 。 （6 分）a（）由（1）知 (1)2nnb，（7 分）231nnT )1(32n设 ，- -231()2nnnM则 ，-4 12 减式得 23nn，（10 分）1(1)2 11()2n n得 ，
20、nM又 ， （11 分）()13(1)2n 。 （12 分）()2nnT【关键点拨】 （）先利用等比数列的定义证明数列为等比数列；（）利用分组求和和错位相减法求和。【命题依据】本题考查等比数列的定义、通项公式和前 n 项和公式及错位相减法求和。18. 解：（）取 AC 的中点 G，连接 BG，FG，EF （ 1 分） 因为 ，且/BECD12又因为 FG 为三角形 ACD 的中位线，所以 FG 平行且等于 12CD故 且 ，即 BEFG 为平行四边形，/BEFG因此 （ 3 分） 又因为 平面 ， 平面ABCAB所以 平面 （ 4 分）/（）因为 底面ED所以 即为 AB 与底面 所成角，E故
21、 。因此 （ 6 分）4AB1AB因为 底面 ， ，所以ECC平 面 AED在直角三角形 中， ， ，所以DE2D313+2BCES梯 形 （ ）。1332ADBCDEVA梯 形【关键点拨】构造平行四边形是证明线线平行的常用作图技巧。【命题依据】本题考查线 面平行的判定定理和棱锥的体积公式。考查运算求解能力和转化与化归思想。来源:学*科*网 Z*X*X*K19. 解：（）打包工的打包量为 时当天收入记为 （单位：元）n()fn对于乙快递公司，则有 (210).25,3021.76,f(250)1.3,71.74,f， （8 分）5.3若该打包工选择去乙快递公司工作，则打包工当天收入不低于 30
22、0 元的打包量有250，270 和 300，概率分别是 ， 和 ，所以该打包工当天收入不低于 300 元的概01率为 。 （4 分）0.3.17（）打包工的打包量为 时当天收入记为 （单位：元）n()fn对于甲快递公司，则有 (210)61270,(3)62019,f f573， （5 分）(3)6f若该打包工选择甲快递公司，则该打包工 10 天的日平均收入为（元） （7 分）2701923103013对于乙快递公司，由（）可知若该打包工选择乙快递公司，则该打包工 10 天的日平均收入为（元） 。 （10 分）251762304385109.1由于 ，所以推荐该打包工到甲快递公司工作。 （12
23、 分）39.【关键点拨】在统计中，常用频率作为概率的估计值。【命题依据】本题考查互斥事件概率公式和平均数公式。考查逻辑推理能力和运算求解能力。20. 解：（）因为直线 方程为 ，即 ，1AB1xyab0xayb又 到直线 的距离 ，即 ，2(0,)Bb12|3d23a即，整理得 ，又 ，23a2ab21a解得 ， ，所以椭圆 的方程为 。 （5 分）1bT2xy（）由题意显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为ll(2)kx由 得 （6 分）2(),1ykx22()80kxk因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ，lTAB所以 ，解得4226()8(1)0kkk21k设 ， ，1(,)Axy2,B则
24、 ， ， （8 分）221,kkx1(2)ykx2()ykx（9 分）12FABykx12()()k12211xx（10 分）12213()4kkx2228810()kk所以 为定值 0。 （12 分）FAB【解题技巧】对于斜率和为定值的问题，一般是先用参数表示出斜率和，再证明斜率和与参数无关。【命题依据】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系以及点到直线的距离公式。21. 解：（） ， ，则 ， ，2()lnfxx21()fx(1)3f()0f故函数 在点 处的切线方程为 ；（4 分）()fx1, 3y（）易知函数()()lahxfgxx的定义域为 ， ， （5 分）()hx(0,)2
25、(1)当 时， ，易得函数 在区间 上单调递增，在区间a21x()hx(,)上单调递减，则函数 有极小值点为 1，无极大值点；（6 分）(0,1)()h当 时， ，令 ，解得 ，a2()ax()0hx1xa， （7 分）21x当 时，函数 开口向上， ，02()(1)xa1xa0得函数 在区间 上单 调递增，在区间 上单调递减，则函数 有极()h1,(0,)()hx小值点为 1，无极大值点；（8 分）当 时，函数 开口向下， ，得函数102a2()(1)xa1xa在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则函数()hx(,)0,)a有极大值点为 ，极小值点为 1；1a当 时，函数 开口向下， ，
26、得函数 在区间2a2()()xa1x()hx上单调递减，则函数 无极值点；(0,)f当 时，函数 开口向下， ，得12()()x10a函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则函数()hx(,a0,1,()a有极小值点为 ，极大值点 1；1当 时， ，得函数 在区间 上单调递增，在区间a10xa()hx(0,1)上单调递减，则函数 有极大值点为 1，无极小值点。(1,)()h综上，当 时，函数 有极小值点为 1，无极大值点；0x当 时，函数 有极大值点为 ，极小值点为 1；2a()a当 时，函数 无极值点；1fx当 时，函数 有极小值点为 ，极大值点 1；2a()h1a当 时，函数 有极
27、大值点为 1，无极小值点。 （12 分）1x【解题技巧】函数图像在某点处的切线斜率等于该点处的导数值。【命题依据】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的图象和性质。考查运算求解能力和转化与化归的数学思想。22. 解：（）由 ，得 ，即 ，2cos4in02cos4in0240xy曲线 的直角坐标方程为 。 （2 分）Cxy由 ，得 ， （*）sin42sics1将 代入（*） ，化简得 ，所以直线 的倾斜角为 。 （5 分） xcosyin1yxl34（）直线 的倾斜角 。直线 的参数方程为 （ 为参数） 。l34l21xty代入 ，得 。 （7 分）24xy260tt设
28、 两点对应的参数为 。,AB12, 为线段 的中点，点 对应的参数值为 。 （9 分）QQ12632t又点 ，则 （10 分）1,0P123t【关键点拨】 （）将 展开得 ，由极坐标与直sin4sincos1角坐标互化公式可以求出曲线 的直角坐标方程和直线 的直角坐标方程，从而得到 的倾Cl l斜角；（）写出直线 的标准参数方程，代入曲线 C 中，利用参数 的几何意义求l t长。PQ【解题技巧】极坐标方程转化为直角坐标方程，主要是利用公式 将方程xcosyin化为用 x 和 y 来表示。【命题依据】本题考查极坐标方程化直 角坐标方程以及直线标准参数方程中参数 t 的几何意义。考查运算求解能力。
29、23. 解：（）不等式 ()1fx即来源:学科网|1|1x即 3（） 时，不等式化为 ，即 。解得 3x 2x 32x又 ，此时解集为 。 （1 分）1x(2，（）当 时，不等式化为 ，不可能成立。 3x此时不等式的解集为 。 （2 分）（）当 时，不等式化为 ，即 。解得1x1 2x 32x又 ，此时的解集为 。 （3 分）1x)2，综上得，不等式 的解集为 。 （4 分）()1fx 3()2， ，（）函数 的图像 始终在函数 图像的上方，即 恒成立)gx(fxg即 恒成立，即 ，令()0fxg|a)|1|ha即 恒成立，则 （5 分）2hmin()2hx若 ，不满足题设条件。1()|1|a，若 的最小值为 。()12()ahxx， ， ， ， ， ()h1a所以有 ，解得 （7 分）1aa若 的最小值为 。 （9 分）1()2()xhxa， ， ， ， ， ()h1a所以有 ，解得1a3a从而 的取值范围为 。 （10 分）(1)， ） （ ，【关键点拨】准确的通过零点分区间去绝对值是解绝对值不等式的关键。【命题依据】本题考查绝对值不等式解法。考查运算求解能力和转化与化归思想。
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