1、八、函数与不等式（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末14 填 空 分段函数、零点2018无锡期末13 填 空 分段函数、零点2018镇江期末9 填 空 二次函数、恒成立2018镇江期末13 填 空 基本不等式、最值2018镇江期末13 填 空 分段函数、零点2018扬州期末11 填 空 解不等式2018扬州期末13 填 空 分段函数2018扬州期末14 填 空 最值2018常州期末11 填 空 导数几何意义2018南京盐城期末7 填 空 值域2018南京盐城期末11 填 空 分段函数、零点2018苏州期末5 填 空 对数函数2018苏州期末12 填 空
2、 基本不等式2018苏州期末14 填 空 应用导数求最值2018苏北四市期末3 填 空 定义域2018苏北四市期末13 填 空 分段函数、解不等式2018 苏北四市期末10 点到直线距离公式、基本不等式（二）试题解析1.（2018南通泰州期末14）已知函数 .若函数 有 个21,0()ln),xaxf2()1gxa()yfgx4零点，则实数 的取值范围是 .【答案】51,22.（2018 无锡期末13）已知函数 ， .若存在 ，使得()fx2121,2log(),x2()gxxaR，则实数 的取值范围是 ()0fabb【答案】 ,)3.（2018镇江期末9）已知函数 f (x) x2 kx 4
3、 对任意的 x 1,3，不等式 f (x) 0 恒成立，则实数 k 的最大值为 【答案】44.（2018 镇江期末13）已知 a, b R, a b 4, 则 的最大值为 122b【答案】 2545.（2018 镇江期末14）已知 为常数，函数 ，若关于 的方程 有且只有 4k0ln,12)(xf x2)(kxf个不同的解，则实数 的取值集合为 k【答案】31(,)e6.（2018 扬州期末11）已知函数 ，则关于 x 的不等式 0 的解集为xxf241sin)( )75()1(2xff_.【答案】 (2,3)7.（2018 扬州期末13）已知函数 ，若存在实数 k 使得该函数的值域为 ，()
4、=log12(+1)1,1,2|1|,(, 2,0则实数 a 的取值范围是_.【答案】 1(,28.（2018 扬州期末14）已知正实数 x,y 满足 5x2+4xy-y2=1，则 12x2+8xy-y2 的最小值为_.【答案】 739.（2018 常州期末11）已知函数 ，其中 若过原点且斜率为 的直线与曲线 相切，()lnfxbbRk()yfx则 的值为 k【答案】1e10.（ 2018南京盐城期末7）. 设函数 的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是 xyaeA0,)a【答案】 (,211.（ 2018南京盐城期末11 ）. 设函数 是偶函数，当 x0 时， = ，若函数 ()fx()f
5、x3),03,1x()yfxm有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 【答案】 91,)412.（ 2018苏州期末5）已知 ， ，则正实数 2alogaxx【答案】 113（ 2018苏州期末12）已知正实数 a，b ，c 满足 ， ，则 的取值范围是 1ab1c【答案】 4(1,314（ 2018苏州期末14）已知直线 ya 分别与直线 ，曲线 交于点 A，B，则线段 AB 长度的最2yx2exy小值为 【答案】 3ln215.（ 2018苏北四市期末3）函数 的定义域为 12logyx【答案】 (0,16（ 2018苏北四市期末13）已知函数 函数 ，则不等式 的解集为 21()xf
6、， ， ， ()()gxfx()2gx 【答案】 ,17. （2018苏北四市期末10 ）在平面直角坐标系 中，曲线 上任意一点 到直线 的距离的最xOy:3CxyP:30lxy小值为 【答案】 3九、导数（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末10 填空 导数几何意义2018无锡期末14 填空 导数与单调性2018南通泰州期末19 解答 导数综合2018无锡期末20 解答 导数综合2018镇江期末19 解答 导数综合2018扬州期末19 解答 导数综合2018常州期末20 解答 导数综合2018南京盐城期末20 解答 导数综合2018苏州期末20 解答
7、导数综合2018 苏北四市期末19解答 导数综合（二）试题解析1.（2018南通泰州期末10）若曲线 在 与 处的切线互相垂直，则正数 的值为 .lnyx1xtt【答案】 2e2.（2018 无锡期末14）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 2()1|fxxa1,2a【答案】 7(,)23.（2018南通泰州期末19）已知函数 有极值，且函数 的极值点是32()gxabx(,)R()xfxae的极值点，其中 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的e值）（1）求 关于 的函数关系式；ba（2）当 时，若函数 的最小值为 ，证明： .0()()Fxfgx()Ma7
8、()3a【答案】 【解】 （1）因为 ，令 ，解得()()xxfea(1)xe()0f.xa列表如下. x(,1)a1a(1,)a()f 0xA极小值 A所以 时， 取得极小值.1a()fx因为 ，2()3gxb由题意可知 ，且)02410ab所以 ，2(1(1aa化简得 ，43b由 ，得 .21a2(1)30a32a所以 ， .243b（2）因为 ，()()Fxfgx32)()xaebx所以 1(13)a(1)()(3)xaexa记 ，则 ，令 ，解得 .()3xhe()xhe()0hxln3x列表如下. x(,ln)ln3(ln3,)()h0()hxA极小值 A所以 时， 取得极小值，也是
9、最小值，ln3()x此时，ln(3ea63lna.(2l)2(l)0e令 ，解得 .()0Fx1xa列表如下. x(,1)a1a(1,)a()F0xA极小值 A所以 时， 取得极小值，也是最小值.1a()x所以 ()MF132()(1)()aeaba.12()ae令 ，则 ，tt记 ， ，2()()tm32t1t则 ， .3tet因为 ， ，10t25所以 ，所以 单调递增.()m()t所以 ，1723tte所以 .7()Ma4.（2018 无锡期末20）已知函数 ， ，其中 .()32)xfe(2)gxa,axR（1 ）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；,0yf（2 ）若对任意 ，有 恒
10、成立，求 的取值范围；xR()x（3 ）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围 .000()fgxa【答案】 （1）设切点为 ， ，则切线斜率为 ，(,)xy31e0(31)xe所以切线方程为 ，因为切线过 ，0031()ex(2,)所以 ，00(32)()2xxe化简得 ，解得 .0808,3当 时，切线方程为 ，xyx当 时，切线方程为 .03883391e（2 ）由题意，对任意 有 恒成立，xR(2)()xax当 时， ，(,2)xmax332eea令 ，则 ，令 得 ，3()xeF2(8)xF()0F，故此时 .max()01F1a当 时，恒成立，故此时 .2R当 时， ，(,)x
11、min(32)(32)xxee令 ，8()03Fx，故此时 .综上： .83min()9Fxe839ae8319ae（3 ）因为 ，即 ，()fgx(2)()xx由（2）知 ，83,19,ae令 ，则(2)xeF当 ，存在唯一的整数 使得 ，(,2)x0x00()fgx等价于 存在唯一的整数 成立，3xea0因为 最大， ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，(0)1F5()3e1()Fe53ae所以 .5,)3ae当 ，存在唯一的整数 使得 ，(2x0x00()fgx等价于 存在唯一的整数 成立，)xa0因为 最小，且 ， ，所以当 时，至少有两个整数83()9Fe3()7Fe4()5e45
12、ae成立，所以当 时，没有整数成立，所有 .37ae34(7,5ae综上： .345,1)(,e5.（2018 镇江期末19）已知 b 0, 且 b 1，函数 f (x) ex b x ，其中 e 为自然对数的底数：（1）如果函数 f (x) 为偶函数，求实数 b 的值，并求此时函数的最小值；（2）对满足 b 0, 且 b 1 的任意实数 b ，证明函数 y f (x) 的图像经过唯一定点；（3）如果关于 x 的方程 f (x) 2 有且只有一个解，求实数 b 的取值范围.【答案】 （1）由 得： ，解得 （舍）， ，()1f1ebe1e经检验 为偶函数，所以 ，()xfee又 ，当且仅当 时
13、取等号，1()2xfe0x所以 的最小值为 2.()xf(2)假设 y= f (x)过定点 ，则 对任意满足 b 0, 且 b 1 恒成立.0(,)y0=xeb令 b=2 得： ；令 b=3 得：02xe03xy所以 ， ，解得唯一解 ，所以 .023x0()1x00=2y经检验，当 ，f (0)=2，所以函数 y f (x) 的图像经过唯一定点(0，2) .8 分（3）令 为 R 上连续函数，且 g (0)=0，则方程 g (x)=0 存在一个()2xgxfeb解.1当 b1 时，g (x )为增函数，此时 g (x)=0 只有一个解.20b1 时，令 ，解得 .ln1)ln0xxxbebe
14、(ln)0ogbex因为 ，令 ， 为增函数，0,1xe()lxhbe()h所以当 时， ，所以 ， 为减函数，0(,)()0x()0g()x当 时， ，所以 ， 为增函数，0x， hx所以 ，又 定义域为 R，所以0()gx极 小 值 ()gmin0()gx若 ， 在 上为减函数， ，而0x0,0，ln2ln2(l)gb所以 时， 至少存在另外一个零点，矛盾！0,)()gx若 ， 在 上为增函数， ，而0x(0， 0()gx，log2log2(l)bbbgee所以 时， 存在另外一个零点，矛盾！0,)()x当 ，则 ，解得 ，此时方程为 ，(ln)0ogbexl1be1()20xge由(1)
15、得，只有唯一解 ，满足条件0x综上，当 ，或 时，方程 f (x) 2 有且只有一个解 .16 分1be6.（2018 扬州期末19）已知函数 ， .xefRbag,(1) 若 ，且函数 的图像是函数 图像的一条切线，求实数 a 的值；01gxf(2) 若不等式 x 2+m 对任意 x 恒成立，求实数 m 的取值范围；f ,0(3) 若对任意实数 a，函数 在 上总有零点，求实数 b 的取值范围.xgfxF,0【答案】解：（1）由 知， 的图象直线过点 ，(1)0g()x(1,)设切点坐标为 ，由 得切线方程是0(,Txyxfe00xye此直线过点 ，故 ，解得 ，1,)00(1)x0所以 .
16、3 分(0af（2）由题意得 恒成立，2,()xme令 ，则 ，再令 ，则 ，2(),(0)x2xe()2xnxme()2xne故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，ln(nl,()0n从而 在 上有最小值 ，()x,)l)l0所以 在 上单调递增， .6 分m0,所以 ，即 .8 分()1注：漏掉等号的扣 2 分（3）若 ， 在 上单调递增，0a()()xFxfgeab(0,)故 在 上总有零点的必要条件是 ，即 ， 10 分()xfg0,F1b以下证明当 时， 在 上总有零点。1b()()f,)若 ，0a由于 ， ，且 在 上连续()10Fb()()0bbaaFee()Fx0,
17、)故 在 上必有零点； 12 分()x,)a若 ， ，0a(10Fb由（2）知 在 上恒成立，22xe(,)x取 ，则0ab0()()abFeb2() 1)0ab由于 ， ，且 在 上连续(0)1Fb()0Fab()Fx0,)故 在 上必有零点，x,)综上得：实数 的取值范围是 。 .16 分b(1,)7.（2018 常州期末20）已知函数 ，其中 为常数2ln()xfa（1）若 ，求函数 的极值；0(f（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；()fx)， a（3）若 ，设函数 在 上的极值点为 ，求证： 1a(fx01)， 0x0()2fx【答案】解：（1）当 时， ，定义域为 a
18、2ln(fx(，令 ，得 32ln()xf )0fe(e)， (e)，()fx 0 极大值 12e当 时， 的极大值为 ，无极小值ex()fx12e（2） ，由题意 对 恒成立312ln()afx ()0fx ()a， ， ，0， 3(a 对 恒成立12lnax 0)x， 对 恒成立 (，令 ， ， 则 ，()lg)a， ()2ln1gx若 ，即 ，则 对 恒成立，120ea 120e - 0()xa， 在 上单调递减，()lnxx()，则 ， ， 与 矛盾，舍去；)a - ln()a 1 12e -若 ，即 ，令 ，得 ，12ea12e()2ln10gx12ex当 时， ， 单调递减，0x(
19、)l()lng当 时， ， 单调递增，12ea2n10gx2xx当 时， ，x1122mi()(e)ln(e)eA 综上 12ea 1a（3）当 时， ， ln()xf 3l()()xxf令 ， ，()1lhx01，则 ，令 ，得 2(n)2lxx()0hx12e当 时， ， 单调递减， ，1e 0h 1ln12()0ehx， 恒成立， 单调递减，且 ，3l()(1)xxf2()xf()ff当 时， ， 单调递增，20ex ()0hx ()1lnhxx其中 ，114()lnl2eh又 ，2 25eel()10存在唯一 ，使得 ， ，201(,)xhx()fx当 时， ， 单调递增，0f2ln(
20、)1f当 时， ， 单调递减，且 ，120ex ()fx2l()xf12()e)fxf由和可知， 在 单调递增，在 上单调递减，2ln(1)f0， 0(1，当 时， 取极大值0xl)xf ， ，0()12lnh01ln2x ，0200l(1)()()xf x又 ， ， 01()2x， 201()(0)x， 021()fx8.（2018 南京盐城期末20）. 设函数 ， （ ）.()lnfx()bgxac,R（ 1）当 时，若函数 与 的图象在 处有相同的切线，求 的值；0cf()x1,ab（2 ）当 时，若对任意 和任意 ，总存在不相等的正实数3b01,(0,3)a，使得 ，求 的最小值；12
21、,x12()()gxfc（3 ）当 时，设函数 与 的图象交于aygx1,Axy两点求证： .212(,By1212b【答案】解：（1）由 ，得 ，又 ，所以 ，.()lnfx()0f()f()f当 时， ，所以 ，所以 . 0cbga2gxagab2 分来源:学,科,网 Z,X,X,K因为函数 与 的图象在 处有相同的切线，()fx1所以 ，即 ，解得 . 1()gf0ab2ab4 分（2 ）当 时，则 ，又 ，设 ，01x0()fx3a0()tfx则题意可转化为方程 在 上有相异两实根 ()act,12,x6 分即关于 的方程 在 上有相异两实根 x2()3txat(,)12,所以 ，得
22、，120()403ctatxa23()4()0cta所以 对 恒成立 ()ct(0,)(,3)8 分因为 ，所以 （当且仅当 时取等号）0322(3)()a 32a，又 ，所以 的取值范围是 ，所以 t()at-(,3)c故 的最小值为 . c310 分（3 ）当 时，因为函数 与 的图象交于 两点，1a()fxg,AB所以 ，两式相减，得 . 122lnbxc 2112ln()xb12 分要证明 ，即证 ，1212xbx21121221ln()xxx即证 ，即证 . 21ln21ln14 分令 ，则 ，此时即证 1xtlt令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调()ln1t2()0tt1t()t
23、递增又 ，所以 ，即 成立；()0()ln1ttlnt再令 ，所以 ，所以当 时，函数 单lmt()0mt1t()mt调递减，又 ，所以 ，即 也成立(1)0()ln1ttln综上所述， 实数 满足 . 16 分12,x212xbx9.（2018 苏州期末20）已知函数32,0()e.xfa（1 ）当 时，求函数 的单调区间；2a()f（2 ）若方程 在区间(0,+) 上有实数解，求实数 a 的取值范围；()e3xfx（3 ）若存在实数 ，且 ，使得 ，求证：,02mn|1n ()fmfn1ea 【答案】解（1）当 时，232,0()e+,xf当 时， ，则 ，0x32()fx2()(32)f
24、x令 ，解得 或 （舍） ，所以 时， ， ()0fxx230x()0fx所以函数 在区间 上为减函数. 2 分(,0)当 时， ， ， )exf(exf令 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，()fxln2ln2()fxln()0fx所以函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，(,)l,且 . 4 分(0)1f综上，函数 的单调减区间为 和 ，单调增区间为 ()fx(,0)(,ln2)(ln2,)5 分（注：将单调减区间为 和 写出 的扣 1 分）(,)(,l)(,l)（2 ）设 ，则 ，所以 ，0xx32exfxfa由题意， 在区间 上有解，32e3xa(0,)等价于 在区间 上有解.
25、 6 分a(,)记 ，2()0)gxx则 ， 7 分3222(1)3)1xx令 ，因为 ，所以 ，故解得 ，()0gxx01当 时， ，当 时， ，,()0g(,)()gx所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，,1,故函数 在 处取得最小值 . 9 分()x()5要使方程 在区间 上有解，当且仅当 ，ag(0,min()(1)5agx综上，满足题意的实数 a 的取值范围为 . 10 分,)（3 ）由题意， ，()exf当 时， ，此时函数 在 上单调递增，0a 0()fx0,)由 ，可得 ，与条件 矛盾，所以 . 11 分()fmfnn|1mn 0a令 ，解得 ，xlxa当 时，
26、，当 时， ，(0,l)a()0f(l,)xa()fx所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.f,lnn若存在 ， ，则 介于 m，n 之间， 12 分,2()ffl不妨设 ，0lma 因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，()fx,n)(l,)a()ffn所以当 时， ， ()fxffn由 ， ，可得 ，故 ，02mn |1n ,mn(1)()fmfn又 在 上单调递减，且 ，所以 ()fx,l)a0la 0所以 ，同理 14 分1(f ()2f即 解得 ，2e, e1ea 所以 . 16 分1ea 10.（ 2018苏北四市期末19 ）已知函数 2()1()ln()fxgxaR，当
27、 时，求函数 的极值；1ahf若存在与函数 ， 的图象都相切的直线，求实数 的取值范围()f a【答案】 （1）函数 的定义域为x(0,)当 时， ，a2()lnhfgxx所以 2 分112所以当 时， ，当 时， ，0x()02()0h所以函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增，()h,2,所以当 时，函数 取得极小值为 ，无极大值；4 分12x()hx1+ln4（2）设函数 上点 与函数 上点 处切线相同，()f1,f()gx2,()gx则 212()gfgx所以 6 分1212(ln)aaxa所以 ，代入 得：112(ln)xxa8 分22ln0(*)44xax设 ，则2()l2F23
28、2311()axaFx不妨设 则当 时， ，当 时，001()x0()00()0F所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，10 分(), ,代入 可得：200=a2min0001()()ln2xxx设 ，则 对 恒成立，21()ln2Gxx2G 所以 在区间 上单调递增，又(,)(1)=所以当 时 ，即当 时 , 12 分0 0 0x 0)Fx又当 时2axe22421()ln4aaaFxee14 分21(04a因此当 时，函数 必有零点；即当 时，必存在 使得 成立； ()x01x 2x(*)来源: 学_科_网即存在 使得函数 上点 与函数 上点 处切线相同12,xf1,)f()g2,()g又由 得：y20y所以 单调递减，因此(0,)x在2001=+)xax，所以实数 的取值范围是 16 分a1,)
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