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    2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类:应用题

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    2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类:应用题

    1、十、应用题(一)试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末18 解 答 直线、圆、三角函数的定义、基本不等式建模思想2018无锡期末17 解 答 2018镇江期末17 解 答 2018扬州期末17 解 答 2018常州期末17 解 答 2018南京盐城期末17 解 答 2018苏州期末17 解 答 2018苏北四市期末17 解 答 (二)试题解析1.(2018南通泰州期末18)如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为 的正方形 ,另一部80cmABCD分是以 为直径的半圆,其圆心为 .规划修建的 条直道 , , 将广场分ADO3P割为 个区域:、为绿化区域

    2、(图中阴影部分) ,、为休闲区域,其中6点 在半圆弧上, 分别与 , 相交于点 , .(道路宽度忽略不计) PPBCEF【答案】 【解】以 所在直线为 轴,以线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系.ADxADy(1)直线 的方程为 ,PB2y半圆 的方程为 ,O240x()由 得 .22,40(),yxy165所以,点 到 的距离为 .PADm(2)由题意,得 .(40cos,in)P直线 的方程为B,sin280()co1yx令 ,得.s40in2Ex8cos40ini2直线 的方程为 ,PC()cs1yx令 ,得 .0y8o04in2Fx8cos40ini2所以, 的长度为E, .()FE

    3、fx8sin20,区域、的面积之和为,180si2n2S640sin2区域的面积为,240siSEF180si4si2n2160sin所以 .21260sin40S()2设 ,则 ,sint3t.21260()40St.8()t1(28)60(21)当且仅当 ,即 时“ ”成立.tsin所以,休闲区域、的面积 的最小值为 .12S2640(1)m答:当 时,绿化区域、的面积之和最大.sin22.(2018 无锡期末17)如图,点 为某沿海城市的高速公路出入口,直线 为海岸线, ,CBD3CAB, 是以 为圆心,半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海ABDA1km岸的观光专线 ,其中 为

    4、 上异于 的一点, 与 平行,设PQC,PQ.(1 )证明:观光专线 的总长度随 的增大而减小;ACPQ(2 )已知新建道路 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当 取何值时,观ACP光专线 的修建总成本最低?请说明理由.A【答案】解:(1)由题意, ,所以 ,3CAPA3CP又 ,cos1sPQAB所以观光专线的总长度, ,()s3fcos1303因为当 时, ,0()inf所以 在 上单调递减,()f,即观光专线 的总长度随 的增大而减小.ACPQ(2 )设翻新道路的单位成本为 ,(0)a则总成本 , ,()2cos3ga(2cos)303,1sin令 ,得 ,因为 ,所以 ,()

    5、02036当 时, ,当 时, .6()g6()0g所以,当 时, 最小.答:当 时,观光专线 的修建总成本最低.ACPQ3.(2018 镇江期末17)如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成,焊接点 D 把杆 AC 分成 AD, CD 两段,其中两固定点 A,B 间距离为 1 米,AB 与杆 AC 的夹角为 60 ,杆 AC 长为 1 米,若制作 AD 段的成本为 a 元/米,制作 CD 段的成本是 2a 元/米,制作杆 BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB ,则制作整个支架的总成本记为 S 元.(1)求 S 关于 的函数表达式,并求出 的取值范围;(2)问 A

    6、D 段多长时, S 最小?【答案】在ABD 中,由正弦定理得 ,12sinisin()3BDA所以 ,3co,2sin2siBDA则co1313()()4()i in2sinSaa,43s()2in2a由题意得(,)(2 )令 ,设214cos30inSa01cos40(,)3002()3,cos1,42141,4S 0 单调递减 极大值 单调递增所以当 时,S 最小,1cos4此时153cos15sin,42in0AD答:(1)S 关于 的函数表达式为 ,且 ;43cos3()2in2Sa2(,)3(2 )当 时 S 最小.510AD4.(2018 扬州期末17)如图,射线 OA 和 OB

    7、均为笔直的公路,扇形 OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中P、Q 分别在射线 OA 和 OB 上。经测量得,扇形 OPQ 的圆心角(即POQ )为 、半径32为 1 千米。为了方便菜农经营,打算在扇形 OPQ 区域外修建一条公路 MN,分别与射线OA、OB 交于 M、N 两点,并要求 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 。设POS= (单位:弧度) ,假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路 MN 的长度表示为 的函数,并写出 的取值范围: (2) 试确定 的值,使得公路 MN 的长度最小,并求出其最小值.【答案】解:因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S,所以 OSMN.在 OSM

    8、 中,因为 OS=1,MOS= ,所以 SM= ,RTAtan在 OSN 中,NOS= ,所以 SN= ,232()3所以 , .4 分ta1tan()nMN其中 6 分62 因为 ,所以 ,3ta10令 ,则 ,3tan103tan(1)t所以 , . .8 分4(2)MNt由基本不等式得 , 10 分3()23t当且仅当 即 时取“=” . .12 分4t2t此时 ,由于 ,故 . . .13 分tan363答: ,其中22(tan1)tan()MN62当 时, 长度的最小值为 千米 .14 分33注:第问中最小值对但定义域不对的扣 2 分5.(2018 常州期末17)已知小明(如图中 A

    9、B 所示)身高 1.8 米,路灯 OM 高 3.6 米,AB ,OM 均垂直于水平地面,分别与地面交于点 A,O 点光源从 M 发出,小明在地面上的影子记作 AB(1)小明沿着圆心为 O,半径为 3 米的圆周在地面上走一圈,求 扫过的图形面积;(2)若 米,小明从 A 出发,以 1 米/ 秒的速度沿线段 走到 , ,且3 1A31O米 秒时,小明在地面上的影子长度记为 (单位:米) ,求 的表达式与10At )(tf )(tf最小值 (第 17 题)【答案】解:(1)由题意 , , ,所以 ,ABOM1.8362AB3OA6B小明在地面上的身影 扫过的图形是圆环,其面积为 ; 27()平 方

    10、米(2)经过 秒,小明走到了 处,身影为 ,由(1)知 ,所以t00AB01M,200 0() cosftABOAO化简得 , ,当 时, 的最小值为2()39,10fttt 237()4ft32t()ft,32答: ,当 (秒)时, 的最小值为 (米) 2()39,01fttt 32t()ft326.(2018 南京盐城期末17). 有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计) ,一边 长为 6 分米,另一边足够长现从中AB截取矩形 (如图甲所示) ,再剪去图中阴影部分,用剩 下的部分恰好能折卷成ABCD一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计) ,其中 是以OEMF为圆心、 的扇形,

    11、且弧 , 分别与边 , 相切于点 ,O120EFEFGHCADN(1)当 长为 1 分米时,求折卷成的包装盒的容积;(2)当 的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?B【答案】解:(1)在图甲中,连接 交 于点 设 ,MOEFTOEFMR在 中,因为 ,所以 ,则RtOET1602T22M从而 ,即 . 2 分BRBE故所得柱体的底面积 OFSS扇 形A DCBEGFOM NH第 17 题 -图甲NE FG H第 17 题 -图乙MNA DCBEGFOM NHT. 4 分214sin1033R又所得柱体的高 ,EG所以 .VS6答:当 长为 1 分米时,折 卷成的包装盒的容积B为 立方分米

    12、. 6 分643(2 )设 ,则 ,所以所得柱体的 底面积Ex2Rx. OEFSS扇 形 2214sin0(3)x又所得柱体的高 ,6G所以 ,其中 .10 分V328()()x令 ,则由 ,32(),0fxx263(2)0fxx解得 . 12 分列表如下: (,) (,)()fx 0 增 极大值 减所以当 时, 取得最大值.2f答:当 的长为 2 分米时,折卷成的包装盒的容积最大. 14 分BE7.(2018 苏州期末17)如图,B,C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C 之间的距离为 100km,海岛 A 在城市 B 的正东方 50 处从海岛 A 到城市 C,先

    13、乘船按北偏西 角(km,其中锐角 的正切值为 )航行到海岸公路 P 处登2 12陆,再换乘汽车到城市 C已知船速为 25km/h,车速为 75km/h. (1 )试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数解析式;(2 )试确定登陆点 P 的位置,使所用时间最少,并说明理由【答案】解(1)由题意,轮船航行的方位角为 ,所以 , ,90BAP50B则 , 50cos(9)sinAP5sin()cos50tan(9)coinBP 4 分co1CB(注:AP,BP 写对一个给 2 分)BCP东北A由 A 到 P 所用的时间为 ,125sinAPt由 P 到 C 所用的时间为 , 6 分20co4

    14、cos73int 所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为 8 分124cos62s()sin3iitf 函数 的定义域为 ,其中锐角 的正切值为 . (,212(2 )由(1) , , ,6co4()3sinf(,,令 ,解得 , 10 分2()9if()0f1cos3设 0 ,使,01cos3(,)0 0(,)2)f0 (减函数 极小值 增函数12 分所以,当 时函数 f()取得最小值,此时 BP= 17.68 ,0 05cos2inkm答:在 BC 上选择距离 B 为 17.68 处为登陆点,所用时间最少 14 分km(注:结果保留根号,不扣分)8.(2018 苏北四市期末1

    15、7)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图 1为了便于设计 ,可 将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180而成,如图 2已知圆 O 的半径为 10 cm,设BAO=, ,圆锥的侧面积为 S cm202求 S 关于 的函数关系式;为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积 S 最大求 S 取得最大值时腰 AB 的长度来源:Z.xx.k.ComAB COAB CO图 1 图 2(第 17 题)【答案】 (1)设 交 于点 ,过 作 ,垂足AOBCDOEAB为 , E在 中, , ,10cosE20cosA2 分在 中, ,Dinsin4 分所以 20sico20S, 6 分40sin()(2)要使侧面积最大,由(1)得:8 分23ico40sin)S设 3(),(1)fxx则 ,由 得:2 20fx当 时, ,当 时,(0,)3x()x3(,1)()0fx所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,f, ,所以 在 时取得极大值,也是最大值;()x3所以当 时,侧面积 取得最大值, 11 分sinS此时等腰三角形的腰长 2230620cos1sin01()AB答:侧面积 取得最大值时,等腰三角形的腰 的长度为 14 分SABcmDAB COE


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