1、2.5 二次函数与一元二次方程,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次函数与一元二次方程,学习目标,1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. （重点）,导入新课,情境引入,问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题：,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,（2）球从飞出到落地要用多少时间？,现在不
2、能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！,思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.,讲授新课,观察图象，完成下表：,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,3,x2-6x+9=0，x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0，x1=-2,x2=1,知识要点,有两个交点,有两个不相等的实数根，为交点的横坐标,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根，为交点的横坐标,b2-4ac = 0,没有交
3、点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系,例1 已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0) (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,(1)证明：m0， (m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20， 0， 此抛物线与x轴总有交点；,典例精析,(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0， 所以 x10或mx20， 解得 x11，x2 . 当m为正整数1时，x2为整数且x1x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是
4、整数 所以正整数m的值为1.,例1 已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0) (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,变式：已知：抛物线yx2axa2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值,(1)证明：a24(a2)(a2)240， 不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：x1x2a，x1x2a2， x12x22(x1x2)22x1x2
5、a22a43， a1.,例2 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题：,典例精析,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？,15,1,3,当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.,解：解方程 15=20t-5t2,t2-4t+3=0,t1=1,t2=3.,你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？,h=20t-5t2,（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形
6、指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？,20,4,解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2.,当球飞行2s时，它的高度为20m.,h=20t-5t2,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？,你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?,20.5,解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 4.10, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m.,h=20t-5t2,（4）球从飞出到落地要用多少时间？,0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.,当球飞行0s和4s时，它
7、的高度为0m.,即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.,h=20t-5t2,从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地，当y取定值且a0时，二次函数为一元二次方程.,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.,所以二次函数与一元二次方程关系密切,例如，已知二次函数y = x24x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x24x=3（即x24x+3=0）,反过来，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x24x+3 的值为0，求自变量x的值,1.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y
8、轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m （1）足球的飞行时间是多少？,针对训练,解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5）， 抛物线的解析式为 ，,故足球的飞行时间为,（2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？,解：抛物线的解析式为,当t= 时，y最大=4.5；,（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离
9、为28m，他能否将球直接射入球门？,解：把x=28代入x=10t得t=2.8， 当t=2.8时， 他能将球直接射入球门,1若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；,-1,2.一元二次方程 3 x2+x10=0的两个根是x1=2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是 .,(-2，0) ( ，0),当堂练习,3.若一元二次方程 无实根， 则抛物线 的图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限,A,4.已知函数y(k3)x22x1的图象与
10、x轴有交点，求k的取值范围,解：当k3时，函数y2x1是一次函数 一次函数y2x1与x轴有一个交点， k3； 当k3时，y(k3)x22x1是二次函数 二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点， b24ac0. b24ac224(k3)4k16， 4k160.k4且k3. 综上所述，k的取值范围是k4.,5.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？,解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得0.6=a（0-4）2+3，,(2)当y=0时，答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远,课堂小结,二次函数与一元二次方程,二次函数与一元二次方程的关系,y=ax2+bx+c(a 0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a 0),右边换成y时就成了二次函数.,二次函数与一元二次方程根的情况,二次函数与x轴的交点个数,判别式 的符号,一元二次方程根的情况,
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