1、第 1 页，共 14 页辽宁省沈阳市 2019 届高三上学期一模数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知全集 3，5， ，集合 ，=1, 7 =1,3，则如图所示阴影区域表示的集合为 =3,5 ()A. B. C. D. 3，3 7 3,7 1, 5【答案】B【解析】解： 全集 3，5， ，集合 ， ， =1, 7 =1,3=3,53， ，=1, 5如图所示阴影区域表示的集合为：()=7故选：B先求出 3， ，阴影区域表示的集合为 ，由此能求出结果=1, 5 ()本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题2
2、. 在复平面内，复数 对应的点位于 =11 ( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】解： ，=11= 1+(1)(1+)=12+12复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限 =11 (12,12)故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 设函数 ，则 ()=41,02,0 (12)=( )A. B. 1 C. D. 1 12 22【答案】A【解析】解： 函数 ，()=41,02,0，(12)=212=1第 2 页，共 14 页故 (12)=1故选：A由 ，得到 120 (12)=
3、1本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4. 已知命题 p： ， ，则 2+10 ( )A. ， B. ， 2+10 2+10C. ， D. ， 2+10 2+10【答案】A【解析】解：命题“ ， ”是全称命题，否定时将量词对任意的 2+10变为 ，再将不等号 变为 即可 故选：A命题“ ， ”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等 2+10号的变化本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查 注意在写命题的否定.时量词的变化，属基础题5. 在等比数列 中， ， ，则 3=2 5=8 4=( )A. 4 B. 5 C.
4、D. 4 5【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列 的公比为 q，由已知得 ，所以 ，都符合题意，5=32 =2所以 ，4=3=4故选：C根据题意，设等比数列 的公比为 q，由等比数列的通项公式可得 ，解可 5=32得 q 的值，代入通项公式计算可得答案本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用6. 已知 m，n 是空间中的两条不同的直线， ， 是空间中的两个不同的平面，则下 列命题正确的是 ( )A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 / / / / / /C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D第 3 页，共 14 页【解析】解：对于选项 A，符合已知条件的直线 n
5、 还可以在平面 内，所以选项 A 错误；对于选项 B，符合已知条件的直线 m 还可以在平面 内，所以选项 B 错误；对于选项 C，符合已知条件的直线 m 还可以在平面 内，与平面 斜交，或者与平面 平行，所以选项 C 错误； 对于选项 D，根据面面垂直的判定定理可知其正确性故选：D对于 A，直线 n 还可以在平面 内；对于 B，直线 m 还可以在平面 内；对于 C，直线 m 还可以在平面 内，与平面 斜交，或者与平面 平行；对于 D，根据面面垂直的判 定定理可知其正确性本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7. 曲线 C 的方程为
6、，则曲线 C 的离心率为 21629=1 ( )A. B. C. D. 54 45 74 477【答案】A【解析】解：根据曲线方程可知，该曲线为双曲线，其中 ， ，则 ，2=162=9 2=2+2=25， ，=4 =5则双曲线的离心率为 ，=54故选：A由双曲线方程求得 a，b 的值，再由隐含条件求得 c，则曲线 C 的离心率可求本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题8. 某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k ”三个字母组成并且字母“k ”只可能在最后两个位置中的某一个位置上 如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确
7、的概.率为 ( )A. B. C. D. 16 14 13 12【答案】B【解析】解：某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成，并且字母“k”只可能在最后两个位置中的某一个位置上该同学根据已有信息填入上述三个字母，满足题意的字母组合有四种，分别是 eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种 eak，所以他拼写正确的概率为 =14第 4 页，共 14 页故选：B由列举法得到满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此能求出他拼写正确的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能
8、力，考查函数与方程思想，是基础题9. 函数 的图象大致为 ()=21 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 不是偶函数，可以排除 C，D，()=21又令 得极值点为 ，()=2+2+1 =0 1=12,2=1+2所以排除 B，故选：A根据奇偶性和单调性即可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作 圆锥曲线论 中给出了圆的另一种定义：平 面内，到两个定点 A、B 距离之比是常数 的点 M 的轨迹是圆 若两定(0,1) .点 A、B 的距离为 3，动点 M 满足 ，则 M 点的轨迹围成区域的面积|=2|为 ( )A. B. C. D. 2 3
9、4【答案】D【解析】解：以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 设 ，(3,0).(,)依题意有， ，2+2(3)2+2=2化简整理得， ，2+28+12=0第 5 页，共 14 页即 ，(4)2+2=4圆的面积为 4故选：D以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 设 ，依题意有，(3,0).(,)，化简得 ，即可求出圆的半径，则面积可求2+2(3)2+2=2 (4)2+2=8本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于基础题11. 如图，四棱锥 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B ，C，D 在球 O 的同一个大圆上，且球的表面积为 ，点 P 在
10、球面上，则四棱锥 体积的最16 大值为 ( )A. 8B. 83C. 16D. 163【答案】D【解析】解：因为球 O 的表面积是 ，16所以 ，解得 =42=16 =2如图，四棱锥 底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C ，D 在球 O 的同一个大圆上，设矩形的长宽为 x，y ，则 ，当且仅当 时上式取等号，2+2=(2)22 =即底面为正方形时，底面面积最大，此时 点 P 在球面上，正方形 =22=8.当 底面 ABCD 时， ，即 ， = =则四棱锥 体积的最大值为 163故选：D由球 O 的表面积是 ，求出 四棱锥 底面为矩形且矩形的四个顶点16 =2. A，B，C ，D 在球 O 的同
11、一个大圆上，推导出底面为正方形时，底面面积最大，由此能求出四棱锥 体积的最大值本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则()=2 (+1)() (1,+)实数 a 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 2 2 0 02第 6 页，共 14 页【答案】A【解析】解：由于当 时， 恒成立，0 11 ()0即 ，解得 恒成立，2 2(1)所以 ，2故选：A根据函数的单调性问题转化为 ，求出 a 的范围即可2本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转
12、化思想，是一道常规题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 ， ，且 与 垂直，则 x 的值为_=(3,1)=(,1) 【答案】13【解析】解： ；=31=0=13故答案为： 13根据 与 垂直即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 x 的值 =0考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算14. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ， ，则 1=1 3=5 =2019_=【答案】1010【解析】解：根据题意，设等差数列 公差为 d，则 ，3=32=3(1+)又由 ， ，则 ， ，1=1 3=5 3(1+)=1+4 =2则 ，解可得 ；=1+(1)=21
13、=2019 =1010故答案为：1010根据题意，设等差数列 公差为 d，结合等差数列的通项公式可得 ， 3(1+)=1+4解可得 d 的值，又由 ，解可得 m 的值，即可得答=1+(1)=21=2019案本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于基础题第 7 页，共 14 页15. 抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 M 到坐标原点的距离为2=6 (1,1)92_【答案】 33【解析】解：由题意知，焦点坐标为 ，准线方程为 ，(32,0) =32由 到焦点距离等于到准线距离，得 ，则 ，(1,1) 1+32=92 1=3，可得 ，21=18 |=21+21=33故答案为
14、： 33由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由 到其焦点的距离为 求得 M 横坐(1,1)92标，进一步求得 M 纵坐标，则答案可求本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题16. 设函数 ，则下列结论正确的是_ 写出所有正确命题的序号()=(24) .()函数 的递减区间为 ； =() +38,+78()函数 的图象可由 的图象向左平移 得到； =() =28函数 的图象的一条对称轴方程为 ； =() =8若 ，则 的取值范围是 724,2 () 22,1【答案】 【解析】解：令 ，解得 ，2+2242+32() +38+78()所以函数 的递减区间为
15、 ，故 正确；=() +38,+78() 由于 ，所以函数 的图象是由 的图象向右平(24)=2(8) =() =2移 得到的，故 错误；8 令 ，解得 ，所以函数 的图象的对称轴方24=+2() =2+38() =()程为 ，故 错误；=2+38() 由于 ，所以 ，当 时， ，当 时，724,2 243,34 24=34 ()=22 24=2，故 正确，()=1 故答案为： 由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论第 8 页，共 14 页本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分）17. 在 ABC 中，角 A
16、，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2+2=2+求角 A 的大小；(1)若 ，试判断 ABC 的形状并给出证明(2)=2【答案】 本题满分为 12 分( )解： 根据题意，由 可知， - 分(1) 2+2=2+2+222=12 (2)根据余弦定理可知， ，- 分=12 (4)又角 A 为 的内角，所以 ；- 分 =3 (6)法一： 为等边三角形 - 分(2) . (7)由三角形内角和公式得， ，=(+)故 - 分=(+). (8)根据已知条件，可得 ，(+)=2整理得 - 分=0 (9)所以 ，- 分()=0 (10)又 ，(,)所以 ，- 分= (11)又由 知 ，(1)=3所以 为
17、等边三角形 - 分 . (12)法二： 为等边三角形 - 分 . (7)由正弦定理和余弦定理，得 ，- 分=22+222 (8)整理得 ，即 - 分2=2 = (10)又由 知 ，(1)=3所以 为等边三角形 - 分 . (12)【解析】 由已知利用余弦定理可求 ，结合角 A 为 的内角，可求 ；(1) =12 =3法一：由三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得(2)，结合 ，可求 ，由 ，可得 为等边三角形；()=0 (,) = =3 法二：由正弦定理和余弦定理化简已知等式可求 ，根据 ，可得 为等边= =3 三角形本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正
18、弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题第 9 页，共 14 页18. 某篮球运动员的投篮命中率为 ，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季50%训练计划 为了了解训练效果，执行训练前，他统计了 10 场比赛的得分，计算出.得分的中位数为 15 分，平均得分为 15 分，得分的方差为 执行训练后也统计46.3.了 10 场比赛的得分，成绩茎叶图如图所示：请计算该篮球运动员执行训练后统计的 10 场比赛得分的中位数、平均得分与(1)方差；如果仅从执行训练前后统计的各 10 场比赛得分数据分析，你认为训练计划对(2)该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？
19、为什么？【答案】解： 训练后得分的中位数为： 分；- 分(1)14+152 =14.5 (2)平均得分为： 分；- 分8+9+12+14+14+15+16+18+21+2310 =15 (5)方差为： (815)2+(915)2+(1215)2+(1415)2+(1415)2+(1515)2+(1615)2+(1815)2+(2115)2+(2315)210=20.6.- 分(8)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，(2)训练后方差 小于训练前方差 ，说明训练后得分稳定性提高了 阐述观点合理即20.6 46.3 (可 ，这是投篮水平提高的表现)故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提
20、高有帮助 - 分. (12)【解析】 由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练后统计的 10 场比赛得分的中位数、(1)平均得分与方差尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，由此能求出结果(2)本题考查中位数、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题19. 将正方形 BCED 沿对角线 CD 折叠，使平面 平面若直线 平面 BCD， ， . =22 =2求证：直线 平面 ECD；(1) /求三棱锥 的体积(2) 第 10 页，共 14 页【答案】证明： 取 CD 中点为 M，连结 EM，BM(1)因为 ，所以 ，- 分= (2)又因为平面
21、平面 BCD，平面 平面 ， =平面 ECD，所以 平面 BCD，- 分 (4)因为直线 平面 BCD，所以直线 直线 EM， /又 平面 ECD， 平面 ECD， 所以直线 平面 - 分/ . (6)解： 因为原四边形 BCED 为正方形，M 为 CD 中点，所以(2)，又有平面 平面 BCD，平面 平面 ， 平面 ECD， =所以 平面 - 分 . (8)由于 ECD 为等腰直角三角形，所以 ，=2又 ，所以 ，- 分=2 三棱锥 =13=13 22=223 (10)由 可知，点 A 到平面 ECD 的距离等于点 B 到平面 ECD 的距离，(1)所以 - 分三棱锥 =三棱锥 =三棱锥 =
22、223. (12)【解析】 取 CD 中点为 M，连结 EM，BM，则 ，从而 平面 BCD，进(1) 而直线 直线 EM，由此能证明直线 平面 ECD/ /推导出 ， 平面 ECD，点 A 到平面 ECD 的距离等于点 B 到平面 ECD(2) 的距离，从而 三棱锥 =三棱锥 =三棱锥 =223本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20. 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，过焦点：22+22=1(0) 1 2 32且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 12 求椭圆 C
23、 的方程；( ) 点 为椭圆 C 上一动点，连接 ， ，设 的角平分( ) (0,0)(00) 1 2 12线 PM 交椭圆 C 的长轴于点 ，求实数 m 的取值范围(,0)第 11 页，共 14 页【答案】解： 由于 ，将 代入椭圆方程 ，得 ，( ) 2=22 =22+22=1 =2由题意知 ，即 22=1 =22又 ， ， =32 =2 =1故椭圆 C 的方程为 ；24+2=1 设 ，( ) (0,0)当 时，000其对称轴为 ， ， ，=12 (12)=12 (0)=当 ，即 时， ，即 (12)0 12 ()0 ()0此时， 在 上单调递增；() (0,+)当 且 ，即 时，令 ，(
24、12)0 00 (0)的符号，结合二次不等式的解法可得所求单调性(12)本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查分类讨论思想方法和方程思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数， ，以坐标1 =32=14( )原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为22+23=0求曲线 的直角坐标方程；(1) 2动点 P，Q 分别在曲线 ， 上运动，求两点 P，Q 之间的最短距离(2) 1 2【答案】解： 由 ，(1)2+23=0可得： 2+2+23=0化为 (+1)2+2=4由已知得曲线 的普通方程： ，(2) 1 27=
25、0点 Q 为曲线 上动点，令点 ， 2 (1+2,2) 设点 Q 到曲线 的距离为 d，1所以 ，=|429|5 =|25(+)9|5 =925(+)5 9552其中 ，=12即两点 P，Q 之间的最短距离为 9552【解析】 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转(1)换利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变变换求出结果(2)本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23. 设 ，且 ，记 的最小值为 M0 =22+2求 M 的值，并写出此
26、时 a，b 的值；(1)解不等式： (2) |3+3|+|2|第 14 页，共 14 页【答案】解： 因为 ，所以 ，(1) 0 0,40根据均值不等式有 ，2+2=()2+4 =+44当且仅当 ，=2=2即 时取等号，=3+1=31所以 M 的值为 4.当 时，原不等式等价于 ，(2)1 (3+3)+(2)4解得 ；4解得 ；124解得 ；2综上所述原不等式解集为 (,54)(12,+)【解析】 直接利用基本不等式的性质的应用求出结果(1)利用 的结论，进一步利用含绝对值的不等式的应用求出 x 的范围(20)(1)本题考查的知识要点，不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
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