1、第 1 页，共 16 页辽宁省沈阳市 2019 届高三上学期一模数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知全集 3，5， ，集合 ，=1, 7 =1,3，则如图所示阴影区域表示的集合为 =3,5 ()A. B. C. D. 3，3 7 3,7 1, 5【答案】B【解析】解： 全集 3，5， ，集合 ， ， =1, 7 =1,3=3,53， ，=1, 5如图所示阴影区域表示的集合为：()=7故选：B先求出 3， ，阴影区域表示的集合为 ，由此能求出结果=1, 5 ()本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题2
2、. 在复平面内，复数 对应的点位于 =11 ( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】解： ，=11= 1+(1)(1+)=12+12复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限 =11 (12,12)故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 设函数 ，则 ()=41,02,0 (12)=( )A. B. 1 C. D. 1 12 22【答案】A【解析】解： 函数 ，()=41,02,0，(12)=212=1第 2 页，共 16 页故 (12)=1故选：A由 ，得到 120 (12)=
3、1本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4. 已知命题 p： ， ，则 2+10 ( )A. ， B. ， 2+10 2+10C. ， D. ， 2+10 2+10【答案】A【解析】解：命题“ ， ”是全称命题，否定时将量词对任意的 2+10变为 ，再将不等号 变为 即可 故选：A命题“ ， ”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等 2+10号的变化本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查 注意在写命题的否定.时量词的变化，属基础题5. 等比数列 中，若 ， ，则 3=2 7=8 5=( )A. 4 B. C. D.
4、 54 4【答案】A【解析】解： 数列 为等比数列，且 ， ， 3=2 7=8，则 ，25=37=28=16 5=4等比数列中间隔两项的符号相同，5=4故选：A直接由等比数列的性质结合已知求得 5本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题6. 函数 的图象大致为 ()=21 ( )第 3 页，共 16 页A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 不是偶函数，可以排除 C，D，()=21又令 得极值点为 ，()=2+2+1 =0 1=12,2=1+2所以排除 B，故选：A根据奇偶性和单调性即可得答案；本题考查了函数图象变换，是基础题7. 某英语初学者在拼写单词“st
5、eak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k ”三个字母组成并且“k ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为 ( )A. B. C. D. 16 14 12 13【答案】B【解析】解：法一： ；=11222=14法二：满足题意的字母组合有四种，分别是 eka，ake，eak，aek ，拼写正确的组合只有一种 eak，所以概率为 =14故选：B法一：利用古典概型、排列组合直接求解概率 ；=11222=14法二：利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此能求出所求概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排
6、列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题第 4 页，共 16 页8. 若点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，则双曲线的(3,0) 1：2222=1(0,0) 2离心率为 ( )A. B. C. 或 D. 362 3 62 33【答案】A【解析】解：由已知，双曲线的渐进线方程为 ，=0又点 到渐近线 的距离为 ，(3,0) =0 2，即 ，|30|2+2=|30| =2 32=22又 ， ，2=22 =3故选：A先求出双曲线的渐近线，再由点 到 的距离(3,0)=0，即 ，再由离心率公式可得所求值=|30|2+2=|30| =2 32=22本题考查双曲线的离心率的求
7、法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题9. 设函数 ，则下列结论正确的是 ()=(24) ( )A. 函数 的递减区间为=() 8,38B. 函数 的图象可由 的图象向左平移 得到=() =28C. 函数 的图象的一条对称轴方程为=() =8D. 若 ，则 的取值范围是 724,2 =() 22,1【答案】D【解析】解：对于函数 ，()=(24)令 ，解得 ，2+2242+32() +38+78()所以函数 的递减区间为 ，故选项 A 错误；=() +38,+78()由于 ，所以函数 的图象是由 的图象向右平(24)=2(8) =() =2移 得到的，故
8、选项 B 错误；8令 ，解得 所以函数 的图象的对称轴方24=+2() =2+38(). =()程为 ，故选项 C 错误；=2+38()由于 ，所以 ，当 时， ，当 时，724,2 243,34 24=34 ()=22 24=2第 5 页，共 16 页()=1故选：D根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作 圆锥曲线论 中给出了圆的另一种定义：平 面内，到两个定点 A、B 距离之比是常数 的点 M 的轨迹是圆 若两定(0,1) .点 A、B 的距离为 3，动点 M 满足 ，则 M 点的轨
9、迹围成区域的面积|=2|为 ( )A. B. C. D. 2 3 4【答案】D【解析】解：以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 设 ，(3,0).(,)依题意有， ，2+2(3)2+2=2化简整理得， ，2+28+12=0即 ，(4)2+2=4圆的面积为 4故选：D以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 设 ，依题意有，(3,0).(,)，化简得 ，即可求出圆的半径，则面积可求2+2(3)2+2=2 (4)2+2=8本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于基础题11. 如图，四棱锥 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B ，C，D 在球 O 的
10、同一个大圆上，且球的表面积为 ，点 P 在球面上，则四棱锥 体积的最16 大值为 ( )A. 8B. 83C. 16D. 163【答案】D【解析】解：因为球 O 的表面积是 ，16所以 ，解得 =42=16 =2如图，四棱锥 底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C ，D 在球 O 的同一个大圆上，设矩形的长宽为 x，y ，第 6 页，共 16 页则 ，当且仅当 时上式取等号，2+2=(2)22 =即底面为正方形时，底面面积最大，此时 点 P 在球面上，正方形 =22=8.当 底面 ABCD 时， ，即 ， = =则四棱锥 体积的最大值为 163故选：D由球 O 的表面积是 ，求出 四棱锥 底面为
11、矩形且矩形的四个顶点16 =2. A，B，C ，D 在球 O 的同一个大圆上，推导出底面为正方形时，底面面积最大，由此能求出四棱锥 体积的最大值本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，()=2 (+1)2 (0,+)则实数 a 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 2 2 0 02【答案】A【解析】解： ，()=2所以 在 上恒成立，(+1)2 (0,+)等价于 在 上恒成立，(+1)() (0,+)因为 时， ，(0,+) 11 ()0即 时， 恒成立
12、， ，12 2所以 ，2故选：A问题等价于 在 上恒成立，根据函数的单调性求出 a 的范围即(+1)() (0,+)可本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 ， ，且 与 垂直，则 x 的值为_=(3,1)=(,1) 【答案】13【解析】解： ；=31=0=13第 7 页，共 16 页故答案为： 13根据 与 垂直即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 x 的值 =0考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算14. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ， ，则 1=1 3=5 =201
13、9_=【答案】1010【解析】解：根据题意，设等差数列 公差为 d，则 ，3=32=3(1+)又由 ， ，则 ， ，1=1 3=5 3(1+)=1+4 =2则 ，解可得 ；=1+(1)=21=2019 =1010故答案为：1010根据题意，设等差数列 公差为 d，结合等差数列的通项公式可得 ， 3(1+)=1+4解可得 d 的值，又由 ，解可得 m 的值，即可得答=1+(1)=21=2019案本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于基础题15. 抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 M 到坐标原点的距离为2=6 (1,1)92_【答案】 33【解析】解：由题意知，焦点坐标
14、为 ，准线方程为 ，(32,0) =32由 到焦点距离等于到准线距离，得 ，则 ，(1,1) 1+32=92 1=3，可得 ，21=18 |=21+21=33故答案为： 33由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由 到其焦点的距离为 求得 M 横坐(1,1)92标，进一步求得 M 纵坐标，则答案可求本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题16. 在正方体 中，下面结论中正确的1111有_ 写出所有正确命题的序号 ( )平面 ；/ 11平面 ；1 11异面直线 AC 与 成 角； 1 60与底面 ABCD 所成角的正切值是 1 2第 8 页，共 16 页【
15、答案】 【解析】解：在 中， ， 平面 /11 11， 平面 ，11 11平面 ，故 正确；/ 11 在 中， 平面 ， ， 1 1111 111又 ， 平面 ，1111 11 11，同理 ，111 11平面 ，故 正确；1 11 在 中， ， 为等边三角形，则异面 /11 11直线 AC 与 成 角，故 正确；1 60 在 中， 为 与平面 ABCD 所成的角， ，故 错 11 1=1=121=22 误故答案为： 在 中，由 ，推导出 平面 ；在 中，推导出 ，从右 /11 / 11 111平面 ，进而 ，同理 ，由此得到 平面 ；11 11 111 11 1 11在 中，由 ， 为等边三角
16、形，得到异面直线 AC 与 成 角；在 /11 11 1 60中， 与底面 ABCD 所成角的正切值是 1 1=1=121=22本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分）17. 在 ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2+2=2+求角 A 的大小；(1)若 ，试判断 ABC 的形状并给出证明(2)=2【答案】 本题满分为 12 分( )解： 根据题意，由 可知， - 分(1) 2+2=2+2+222=12 (2)根据余弦定理可知， ，- 分=12 (4)又角 A
17、 为 的内角，所以 ；- 分 =3 (6)法一： 为等边三角形 - 分(2) . (7)由三角形内角和公式得， ，=(+)故 - 分=(+). (8)根据已知条件，可得 ，(+)=2整理得 - 分=0 (9)所以 ，- 分()=0 (10)又 ，(,)第 9 页，共 16 页所以 ，- 分= (11)又由 知 ，(1)=3所以 为等边三角形 - 分 . (12)法二： 为等边三角形 - 分 . (7)由正弦定理和余弦定理，得 ，- 分=22+222 (8)整理得 ，即 - 分2=2 = (10)又由 知 ，(1)=3所以 为等边三角形 - 分 . (12)【解析】 由已知利用余弦定理可求 ，结
18、合角 A 为 的内角，可求 ；(1) =12 =3法一：由三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得(2)，结合 ，可求 ，由 ，可得 为等边三角形；()=0 (,) = =3 法二：由正弦定理和余弦定理化简已知等式可求 ，根据 ，可得 为等边= =3 三角形本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18. 随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷 为调查某款订.餐软件的商家的服务情况，统计了 10 次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：时间：分钟( )请计
19、算“送达时间”的平均数与方差；(1)根据茎叶图填写下表：(2)送达时间 35 分钟以内 包括 35 分钟( ) 超过 35 分钟频数 A B频率 C D在答题卡上写出 A，B，C，D 的值；在 问的情况下，以频率代替概率 现有 3 个客户应用此软件订餐，求出在 35(3)(2) .分钟以内 包括 35 分钟 收到餐品的人数 X 的分布列，并求出数学期望( )第 10 页，共 16 页【答案】解： “送达时间”的平均数：(1)分钟 ， 不写单位不扣分 - 分28+29+32+34+34+35+36+38+41+4310 =35( ) ( ) (2)方差为： - 分72+62+32+12+12+0
20、2+12+32+62+8210 =20.6 (4)由茎叶图得：(2)， ， ， - 分=6 =4 =0.6=0.4. (6)由已知人数 X 的可能取值为：0，1，2，3，(3)，(=0)=030.600.43=0.064，(=1)=130.610.42=0.288，(=2)=230.620.41=0.432错一个扣 1 分 - 分(=3)=330.630.40=0.216.( ) (8)X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216- 分(10)X 服从二项分布 ， (3,0.6)()=30.6=1.8- 分()=30.6=1.8 (12)【解析】 由茎叶图能求出“送达时
21、间”的平均数，方差(1)由茎叶图能求出 A，B，C ，D(2)由已知人数 X 的可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出收到(3)餐品的人数 X 的分布列，并求出数学期望本题考查平均数、方差、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题19. 如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， ， ，/=90， ， ， =3 =3 =4 =2求证： 平面 DCF；(1) /当 AB 的长为何值时，二面角 的大小为 (2) 60第 11 页，共 16 页【答案】证明：面 面(1) BEFC， 面
22、ABCD，且 ，面 BEFC以点 C 为坐标原点，以CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系设 ，则=0， ， ，(0, 0)(3,0,)0， ，(3, 0)， 4， ，(3,3,0)(0, 0)0， - 分(0, ). (2)， ， ，=(0,3,) =(3,0,0)=(0,3,0)所以 ， ，=0 =0又 =所以 平面 CDF即 为平面 CDF 的法向量 - 分 . (4)又 ， ，又 平面 CDF=0 所以 平面 - 分/ . (6)解： 设 与平面 AEF 垂直，则 ， ，(2)=(,) =(0,3,) =(3,1,0)由 ，得 ，解得 - 分=0=
23、0 3+=03=0 =(1,3,33). (8)第 12 页，共 16 页又因为 平面 BEFC， ，=(0,0,)所以 ，- 分|,|=|=334+272=12 (10)得到 =92所以当 时，二面角 的大小为 - 分=92 60. (12)【解析】 以点 C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立(1)空间直角坐标系 利用向量法能证明 平面 DCF. /求出平面 AEF 的法向量和平面 BEFC 的法向量，利用向量法能求出当 时，二(2) =92面角 的大小为 60本题考查线面平行的证明，考查满足二面角的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
24、置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20. 椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，过焦点：22+22=1(0) 1 2 32且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 12 求椭圆 C 的方程；( ) 点 为椭圆 C 上一动点，连接 ， ，设 的角平分( ) (0,0)(00) 1 2 12线 PM 交椭圆 C 的长轴于点 ，求实数 m 的取值范围(,0)【答案】解： 由于 ，将 代入椭圆方程 ，得 ，( ) 2=22 =22+22=1 =2由题意知 ，即 22=1 =22又 ， ， =32 =2 =1故椭圆 C 的方程为 ；24+2=1 设 ，( ) (
25、0,0)当 时，00， 在 递增；(1,1) () (1,1)所以 ， ，()=(1)=12=12 ()0 =22+2求 M 的值，并写出此时 a，b 的值；(1)解不等式： (2) |3+3|+|2|【答案】解： 因为 ，所以 ，(1) 0 0,40根据均值不等式有 ，2+2=()2+4 =+44当且仅当 ，=2=2即 时取等号，=3+1=31所以 M 的值为 4.当 时，原不等式等价于 ，(2)1 (3+3)+(2)4解得 ；4解得 ；124解得 ；2综上所述原不等式解集为 (,54)(12,+)【解析】 直接利用基本不等式的性质的应用求出结果(1)利用 的结论，进一步利用含绝对值的不等式的应用求出 x 的范围(20)(1)本题考查的知识要点，不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
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