1、第 1 页，共 18 页河南省郑州市 2019 届高三第一次（1 月）质量预测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若复数 的实部和虚部相等，则实数 a 的值为 1+22() ( )A. 1 B. C. D. 116 16【答案】C【解析】解： 复数 的实部和虚部相等，1+22 =(1+2)(2+)(2)(2+)=225 +1+45，解得 225 =1+45 =16故选：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数 a 的值本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2. 已知集合 ， ，则 =|30对于 D，
2、 ，其定义域为 R，()=(2+1)，为奇函数，()=(2+1+)=(2+1)=()设 ， ，t 在 R 上为减函数，而 为增函数，=2+1= 12+1+ = =则 在 R 上为减函数，不符合题意；()=(2+1)故选：C根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及 上的单调性，综合即可得答案(1,1)本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题5. 在 中，三边长分别为 a， ， ，最小角的余弦值为 ，则这个三角 +2 +41314形的面积为 ( )A. B. C. D. 1543 154 2143 3543【答案】A【解析】解：设最小角为 ，故 对应的边长
3、为 a， 则 ，解得 =(+4)2+(+2)222(+4)(+2)=2+12+2022+12+16=1314 =3最小角 的余弦值为 ， 1314=12=1(1314)2=3314=12(+4)(+2)=12353314=1534故选：A设最小角为 ，故 对应的边长为 a，然后利用余弦定理化简求解即可得 a 的值，再由 三角形面积公式求解即可本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题6. 如图，在 中， ，P 是 BN 上一点，若=23，则实数 t 的值为 =+13 ( )A. 23B. 25C. 16第 4 页，共 18 页D. 34【答案】C【解析】解：由题意及图，=+=+=+(
4、)=+(1)又， ，所以 ， ，=23 =25=25+(1)又 ，所以 ，解得 ， ，=+13 1=25=13 =56 =16故选：C由题意，可根据向量运算法则得到 ，从而由向量分解的唯一性得=25+(1)出关于 t 的方程，求出 t 的值本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，7. 已知双曲线 C： 的左右焦点分别为 ， ，实轴长为 6，渐2222=1(0,0) 1 2近线方程为 ，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 E：=13上一点，则 的最小值为 2+(+6)2=1 |+|2| ( )A. 8 B. 9 C. 10 D.
5、11【答案】B【解析】解：由题意可得 ，即 ，2=6 =3渐近线方程为 ，即有 ，=13 =13即 ，可得双曲线方程为 ，=1292=1焦点为 ， ， ，1(10,0)2 (10,0)由双曲线的定义可得，|2|=2+|1|=6+|1|由圆 E： 可得 ，2+(+6)2=1 (0,6)半径 ，=1，|+|2|=6+|+|1|连接 ，交双曲线于 M，圆于 N，1可得 取得最小值，且为 ，|+|1| |1|=6+10=4则则 的最小值为 |+|2| 6+41=9故选：B求得双曲线的 a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接 ，交双曲线于 M，圆于 N，计算可得
6、所求最小值1第 5 页，共 18 页本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题8. 已知函数 的图象相邻的两个对称中心之间的()=(+)(0,22)距离为 ，若将函数 的图象向左平移 后得到偶函数 的图象，则函数 的2 () 6 () ()一个单调递减区间为 ( )A. B. C. D. 3,6 4,712 0,3 2,56【答案】B【解析】解：函数 的图象相邻的两个对称中心之()=(+)(0,22)间的距离为 ，2则： ，=所以： =2将函数 的图象向左平移 后，()6得到 是偶函数，()=(2+3+)故： ，3+=+2
7、()解得： ，=+6()由于： ，22所以：当 时 =0 =6则 ，()=(2+6)令： ，2+22+62+32()解得： ，6+23()当 时，单调递减区间为： ，=0 6,23由于 ，4,7126,23故选：B首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型第 6 页，共 18 页9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( )A. 162+(32+162+16
8、5)B. 162+(16+162+165)C. 162+(32+322+325)D. 162+(16+322+325)【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为： ，1=162+8设中间的圆锥展开面的圆心角为 n，所以： ，85180=16解得： ，=3605所以圆锥的展开面的面积为 ，=3605(45)2360=165所以：中间的圆锥的表面积为 ，2=165+168同理得：下面的圆锥的表面积为 ，3=162+16所以总面积为： ，=1+2+3=162+(32+162+165)故选：A首先把三视图进行复原
9、，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题10. 已知直三棱柱 中的底面为等腰直角三角形， ，点 M，N 分别111 是边 ， 上动点，若直线 平面 ，点 Q 为线段 MN 的中点，则1 1 / 11Q 点的轨迹为 ( )A. 双曲线的一支 一部分 B. 圆弧 一部分( ) ( )C. 线段 去掉一个端点 D. 抛物线的一部分( )【答案】C【解析】解：如图当 N 与 C 重合，M 与 重合时， 平面1 ，11MN 的中点为 O；当 N 与 重合，M 与 A 重合时， 平面1 /，11MN 的中点为
10、 H；第 7 页，共 18 页一般情况，如平面 平面 ，可得点 M，N，/ 11取 MN 的中点 D，作 于 E，于 F，易知，E 为 KR 中点，且 D 在 OH 上，故选：C画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后推出 Q 点的轨迹为线段本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力11. 物线 的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足2=2(0)，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则 的=60|最小值为 ( )A. B. 1 C. D. 23233【答案】B【解析】解：设 ， ，|= |=由抛物线定义，得
11、 ，|=| |=|在梯形 ABPQ 中，2|=|+|=+由余弦定理得，配|2=2+2260=2+2方得， ，|2=(+)23又 ，(+2) 2得到 (+)23(+)234(+)2=14(+)2 |12(+)=|，即 的最小值为 1|1 |故选：B设 ， ，连接 AF、 由抛物线定义得 ，由余弦定理可得|= |= . 2|=+，进而根据基本不等式，求得 的取值范围，从而得到本题答|2=(+)23 |案本题考查抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义和余弦定理求 的最值，着重|考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题12. 已知函数 ，设 ，若 A 中有且
12、()= 32+6,0332+4,0 () 0 () |=|= 34+24=155解得 ，=21， ， 0， ， 0， ， 0， ， ，(3, 0)(0, 0)(0, 2)(3, 0)(32,12,1)， ， ，=(3,1,0)=(3,0,0)=(32,12,1)设平面 ACF 的法向量 y， ，=(, )第 13 页，共 18 页则 ，取 ，得 ，=3+=0=32+12+=0 =1 =(1,3,0)设平面 AEF 的法向量 y， ，=(, )则 ，取 ，得 2， ，=3=0=32+12+=0 =2 =(0, 1)设二面角 的平面角为 ， 则 =|=2325=155二面角 的余弦值为 155【解
13、析】 推导出 ， ，从而 平面 PAD，由此能证明无论点 F( ) 在 PC 上如何移动，都有平面 平面 PAD 以 A 为原点， AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向( )量法能求出二面角 的余弦值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 2012 年 12 月 18 日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一，郑州市正式发布 数据 资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成2.5 .效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有 9
14、 个监测站点监测空气质量指数 ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2，5，2()个监测站点，以 9 个站点测得的 AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量 若某日播报的 AQI 为 118，已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74，中度污染区( )AQ 的平均值为 114，求重度污染区 AQI 的平均值； 如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布，11 月份仅有一天 AQI 在( )内170,180)组数 分组 天数第一组 50,80) 3第二组 80,110) 4第三组 110,140)4第四组 140,170)6第五组 170,200)5第六组 200
15、,230)4第 14 页，共 18 页第七组 230,260)3第八组 260,290)1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的 AQI 为标准，如果 AQI 小于 180，则去进行社会实践活动 以统计数据中的频率为概率，求该校周.日去进行社会实践活动的概率；在“ 创建文明城市 ”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到的 AQI 不小于180 的天数为 X，求 X 的分布列及数学期望【答案】解： 设重度污染区 AQI 的平均值为 x，则( )，742+1145+2=1189解得 ；=172 月份仅有一天
16、 AQI 在 内，则 AQI 小于 180 的天数为 18 天，( )11 170,180)则该校周日去进行社会实践活动的概率为 ；=1830=35由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3；计算 ，(=0)=318330=2041015，(=1)=218112330=4591015，(=2)=118212330=2971015，(=3)=312330=551015的分布列为：X 0 1 2 3P 204101545910152971015551015数学期望为 ()=02041015+14591015+22971015+3551015=9631015【解析】 设重度污染区 AQI
17、的平均值为 x，利用加权平均数求出 x 的值；( ) 由题意知 11 月份 AQI 小于 180 的天数，计算所求的概率即可；( )由题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题20. 设 M 点为圆 C： 上的动点，点 M 在 x 轴上的投影为 动点 P 满足2+2=4 .，动点 P 的轨迹为 E2=3 求 E 的方程；( )第 15 页，共 18 页 设 E 的左顶点为 D，若直线 l： 与曲线 E 交于两点 A， B 不是( ) =+ (,左右顶点 ，且满足 ，求证：直线 l 恒过定点，并
18、求出该定点)|+|=|的坐标【答案】解： 设 ， ，( ) (,) (0,0)则 ，(0,0)， ，=(0,) =(0,0)，2=3， ，0= 0=233代入圆的方程得， ，2+432=4即 ，24+23=1故动点 P 的轨迹为 E 的方程为：；24+23=1 证明：( )由 知， ，( ) (2,0)，|+|=|，设 ， ，(1,1) (2,2)由 消去 y 得：=+24+23=1，(3+42)2+8+4212=0， ，1+2=83+4212=42123+42 ，12=(1+)(2+)=212+(1+2)+2 由 得：，11+222+2=1即 ，12=12+2(1+2)+4 由 得： ，(2
19、+1)12+(2+)(1+2)+2+4=0 把 代入 并整理得： ， 7216+42=0得： ，(72)(2)=0即 或 ，=27 =2故直线 l 的方程为 ，或 ，=(+27) =(+2)第 16 页，共 18 页当直线 l 的方程为 时，l 过定点 ；=(+27) (27,0)当直线 l 的方程为 时，l 过定点 ，这与 A，B 不是左顶点矛盾=(+2) (2,0)故直线 l 的方程为 ，过定点=(+27) (27,0).【解析】 设 ， ，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法( ) (,) (0,0)可得轨迹方程；由向量条件结合矩形对角线相等可得 DA，DB 垂直，斜率之积为 ，
20、再联立直线(2) 1与椭圆方程，得根于系数关系，逐步求解得证此题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大21. 已知函数 ()=28+()当 时， 取得极值，求 a 的值并判断 是极大值点还是极小值点；() =1 () =1 当函数 有两个极值点 ， ，且 时，总有( ) () 1 2(1(4+3121)【答案】解： ， ， 当 时， 取得极值，()()=28+ (0) =1 ()，解得 ，(1)=28+=0 =6此时， ， ，()=28+6 ()=28+6=2(1)(3)令 ，解得： 或 ，令 ，解得： ，()0 3 0(0)=0=20 0(4+3121) 21(41)111 (
21、41)(1+1)即 ，即 ，21111(1+1) 21111(1+1)0即 ，且 时， 11121+(211)10 00时， 即 10.() (0,2) (1)=0时， ，不合题意舍去(1,2)()0第 17 页，共 18 页时， 同 不合题意舍去0 ()0.时， 时，解得 ， ，0时， ，10时， ， 分子中的二次函数对称轴 ，开口向下，()0 11且函数值 ，即 ，=2(+1)0 =1,2则 时， ， 为增函数， ， ，故舍去(1,) ()0 () (1)=0 ()0综上可得：t 的取值范围是 1【解析】 求出函数的导数，求出 a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值( )点即可； 求
22、出函数极值点，问题转化为 ，根据 时，( )11121+(211)10 00.10) 1 2 (4,0)的面积【答案】1 解： 知曲线 ： ，( ) 1 2+(3)2=9整理得： ，2+26+9=9转换为极坐标方程为： ，=6A 是曲线 上的动点，以极点 O 为中心，1将点 A 绕点 O 逆时针旋转 得到点 B，设点 B 的轨迹方程为曲线 90 2所以得到的直角坐标方程为： ，(+3)2+2=9转换为极坐标方程为： =6 由于射线 与曲线 ， 分别交于 P，Q 两点，( ) =56(0) 1 2则： ，|=1=656=3，|=2=656=33所以： ，=12|6=124312=3第 18 页，
23、共 18 页，=12|6=1243312=33所以： =333【解析】 直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转( )问题求出结果 利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果( )本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题23. 已知函数 ()=|32|+|22|() 当 时，解不等式 ；( ) =12 ()6 若对任意 ，不等式 都成立，求 a 的取值范( ) 0 (0)+304+|202|围【答案】解： 时， ，( )=12 |31|+|22|6故 或 或 ，131+226 136 1313+226解得： 或 ，95 4+|202|则 恒成立，|302|+304故 时， 恒成立，023 602+4故 ，解得： ，6232+4 2时， ，解得： ，04 2综上， (2,+)【解析】 代入 a 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可；( ) 问题转化为 恒成立，故 时， 恒成立，( ) |302|+304 023 602+4时， ，求出 a 的范围即可04本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
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