1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.4 直线与圆的位置关系,第3课时 切线长定理,第24章 圆,学习目标,1. 掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）,导入新课,情境引入,同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？,讲授新课,问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？,A,B,合作探究,你可以作几条？,作法：1. 连接OP. 2. 以OP为直径作圆，设此圆 交O于点A，B. 3. 连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作.
2、,切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,知识要点,A,B,过圆外一点能够作圆的两条切线.,切线是直线，不能度量.,切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点，可以度量,切线长与切线的区别,O，A，B，P四点共圆哦！,问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？,解：PA = PB， APO =BPO.,试着自己证明.,证明：连接OA，OB，如图. PA切O于点A， OAPA.,同理可得 OBPB., OA = OB，OP = OP，, RtOAP RtOBP，, PA = PB，APO =BPO.,切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的
3、连线平分两条切线的夹角., PA、PB分别切O于A、B，, PA = PB，,OPA=OPB.,几何语言：,知识要点,切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.,1. 若连接两切点A、B，AB交OP于点M. 你又能得出什么新的结论? 请给出证明.,解：OP垂直平分AB.,证明：PA，PB是O的切线，点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB， PAB是等腰三角形， PM为顶角的平分线， OP垂直平分AB.,M,想一想：,2. 若PO交O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论? 请给出证明.,证明： PA，PB是O的切线，点 A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB
4、. 又 PC=PC. PCA PCB， CA=CB.,解：CA=CB.,C,B,PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.,(1) 写出图中所有的垂直关系；,OAPA，OB PB，AB OP.,(3) 写出图中所有的全等三角形；,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP.,(4) 写出图中所有的等腰三角形.,ABP，AOB.,(2) 写出图中与OAC相等的角；,OAC=OBC=APC=BPC.,练一练,例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 与 O 分别相切于点 E、F、G、H.,求证：AB+CD=DA+BC.,证明：AB
5、、BC、CD、DA与O相切，E、F、G、H是切点，, AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH., AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，,即AB+CD=AD+BC.,典例精析,例2 如图，PA、PB 分别与 O 相切于点 A、B，O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若PA长为2，则PEF的周长是_,解析：因为PA、PB分别与O相切于点 A、B，所以PAPB.因为 O 的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA EC，CF BF，所以PEF 的周长是PEEFPFPEECCFPFPAPB224.,4,例3 如图，PA、PB 是
6、 O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在O上，如果 ACB70，那么 OPA 的度数是_度,解析：如图，连接OA、OB. AOB2ACB140. PA、PB是O的切线，切点分别为A、B， O，A，P，B四点共圆，OP平分APB， APB180AOB180140402OPA. OPA20. 故答案为 20.,20,7,70,练一练,例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径,5cm,5cm,在RtOPA中，PA5，PO
7、A30，,Q,解：过 O 作 OQAB 于 Q，设铁环的圆心为 O，连接OP、OA.,AP、AQ为O的切线， AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.,又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.,即铁环的半径为,O,B,C,1. 如图，PA、PB是O 的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4，APB= 40 ，则APO = ，PB = .,当堂练习,20 ,4,2. 如图，从O 外一点P引O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果APB= 60，PA=8，则弦 AB = .,8,第1题图 第2题图,3. 如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果AB= 5，A
8、C=3，则BD = .,2,4. 如图，四边形 ABCD 的四条边分别与 O 相切，且AB =16，CD=10，则四边形的周长为 .,第3题图 第4题图,52,5. 如图，ABC三边都与O 相切，求证：AB + CF = AC + BF.,证明：ABC三边都与O 相切， AD=AE，BD=BF，CF=CE， +得， AD+BD+CF=AE+BF+CE， AB+CF=AC+BF.,6. 如图，已知在ABC中，B90，O是 AB上一点，以O为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于E，与AC相切于点D. 求证：DEOC.,证明：方法：连接OD，如图. AC切O点D，ODAC， ODC=B=90. 在RtOCD和RtOCB中，OD=OB ，OC=OC， RtODC RtOBC（HL）， DOC=BOC. OD=OE，ODE=OED， DOB=ODE+OED， BOC=OED，DEOC,方法：连接BD，如图. BCAB， BC切O于点B， 又AC切O于点D， DC=BC，CO平分DCB. OCBD. BE为O的直径，DEBD. DEOC,课堂小结,切线长,切线长定理,作用,图形的轴对称性,原理,提供了证线段和 角相等的新方法,辅助线,分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点.,
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