1、锐角三角函数单元练习题一选择题1在 RtABC 中，C90，如果A ，AB3，那么 AC 等于（ ）A3sin B3cos C D2在 RtABC 中，C90，如果 AC4，BC 3，那么A 的正切值为（ ）A B C D3如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了 10 米，那么物体离地面的高度为（ ）A5 米 B5 米 C2 米 D4 米4如图，护林员在离树 8m 的 A 处测得树顶 B 的仰角为 45，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为 1.6m，则树的高度 BD 为（ ）A8m B9.6m C （4 ）m D （8 +1.6）m5如图，P 是 的边
2、 OA 上一点，且点 P 的横坐标为 3，sin ，则 tan（ ）A B C D6如图，网格中小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 在正方形的顶点处，则 cosACB 的值为（ ）A B C D7如图，河对岸有铁塔 AB，在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30，向塔前进 14m 到达 D，在 D 处测得 A 的仰角为 45，塔高 AB 为（ ）A m B m C m D m8如图，在 RtABC 中，ACB90，AC24，AB25，CD 是斜边 AB 上的高，则cosBCD 的值为（ ）A B C D9如 图，一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯角为 ，水平飞行 m 千米
3、后到达点 B 处，又测得标志物 P 的俯角为 ，那么此时飞机离地面的高度为（ ）A 千米 B 千米C 千米 D 千米10如图，在ABC 中，C90，AC5，若 cosA ，则 BC 的长为（ ）A8 B12 C13 D1811已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为 1：2，如果它把一物体从地面送到离地面 9 米高的地方，那么该物体所经过的路程是（ ）A18 米 B4.5 米 C 米 D 米12图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 ACBD54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30当双翼收起时，可以通过闸机的物
4、体的最大宽度为（ ）A cm B cm C64 cm D54cm二填空题13在 RtABC 中，C90，a，b，c 分别是A， B，C 对边，若 3a4b，则 sinB 的值是 14已知A 是锐角，且 cosA ，则 tanA 15如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 （用“1，2，3 或4”表示）16如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的中线，过点 A 作 AECD 交 BC 于点E，如果 AC2，BC4，那么 cotCAE 17如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从 1 号楼和 2 号楼的地面正中间 B 点垂直起飞到高度为 50 米的 A 处，测得 1 号
5、楼顶部 E 的俯角为 60，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为45已知 1 号楼的高度为 20 米，则 2 号楼的高度为 米（结果保留根号） 18如图，某水库大坝的横假面是梯形 ABCD，坝顶宽 DC 是 10 米，坝底宽 AB 是 90 米，背水坡AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是 米三解答题19计算：2cos60+4sin60tan306cos 24520如图，P 点是某海域内的一座灯塔的位置，船 A 停泊在灯塔 P 的南偏东 53方向的 50 海里处，船 B 位于船 A 的正西方向且与灯塔 P 相距 海里 （本题参考数据 sin530.80，cos530
6、.60，tan53 1.33 ）（1）试问船 B 在灯塔 P 的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）21如图，已知ABC 中，ACB 90，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP 与 CD 相交于点 E（1）如果 BC6，AC8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；（2）联结 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED3，求 cosA 的值；（3）联结 PD，如果 BP22CD 2，且 CE2，ED3，求线段 PD 的长22如图，已知：R tABC 中，ACB90，点 E 为 AB 上一点，ACAE3，BC4，过点A 作 AB 的垂线交射线 EC 于点 D
7、，延长 BC 交 AD 于点 F（1）求 CF 的长；（2）求D 的正切值23如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡 AF 上的 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，在地面上 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 45若坡角FAE30，AD 6 m，求大树的高度 （结果保留整数，参考数据： 1.73）24 “滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图 1） 图 2 是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，悬臂 DE 安装在窗扇上，支点 B、 C、D 始终在一条直线上，已知托臂 AC20 厘米，托臂 BD40
8、厘米，支点 C，D 之间的距离是 10 厘米，张角CAB60（1）求支点 D 到滑轨 MN 的距离（精确到 1 厘米） ；（2）将滑块 A 向左侧移动到 A， （在移动过程中，托臂长度不变，即ACA C，BCBC）当张角CAB45时，求滑块 A 向左侧移动的距离（精确到 1厘米） （备用数据： 1.41， 1.73， 2.45， 2.65）25被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米” ）坐落在风景如画的如意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量测量项目及结果如
9、下表：项目 内容课题 测量郑州会展宾馆的高度测量示意图 如图，在 E 点用测倾器 DE 测得楼顶 B的仰角是 ，前进一段距离到达 C 点用测倾器 CF 测得楼顶 B 的仰角是 ，且点 A、B、C、 D、E、F 均在同一竖直平面内 的度数 的度数 EC 的长度 测倾器 DE，CF 的高度测量数据40 45 53 米 1.5 米 请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据：sin400.64，cos400.77，tan40 0.84，结果保留整数）参考答案一选择题1 【解答】解：A，AB3，cos ，ACABcos 3cos ，故选：B2 【解答】解：AC4，BC3，ta
10、nA ，故选：A3 【解答】解：作 BC地面于点 C，设 BCx 米，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1：2，AC2x 米，由勾股定理得，AC 2+BC2 AB 2，即（2x） 2+x210 2，解得，x2 ，即 BC2 米，故选：C4 【解答】解：在 RtCBH 中，HCB45，CH8m， ，HBCHtanHAB8tan458m，HDHB +AC 8+1.69 .6答：树的高度为 9.6m故选：B5 【解答】解：如图，由 sin 可设 PQ4 a，OP5a，OQ3，由 OQ2+PQ2OP 2 可得 32+（4a） 2（5a） 2，解得：a1（负值舍去） ，PQ4，OP5，则 tan ，
11、故选：C6 【解答】解：如右图所示，网格中小正方形的边长都为 1，CE 2 ，AC ，AE3，CD4，作 AHCE 于点 H， ， ，解得，AH ，AC ，AH ，AHC90，CH ，cosACH ，即 cosACB ，故选：D7 【解答】解：在 RtABD 中，ADB45，BDAB在 Rt ABC 中，ACB30，BC AB设 ABx（米） ，CD14，BCx+14x+14 xx7（ +1） 即铁塔 AB 的高为 7（ +1）米故选：B8 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC24，AB25，BC7，CD 是斜边 AB 上的高， ，CD ，CDAB ，CDB90，cosBCD ，故
12、选：B9 【解答】解：作 PCAB 交 AB 于点 C，如右图所示，AC ，BC ，mACBC，m ，PC ，故选：A10 【解答】解：ABC 中，C90，AC5，cos A ， ，AB13，BC 12，故选：B11 【解答】解：如图：由题意得：斜坡 AB 的坡度：i 1：2，AE9 米，AEBD，i ，BE18 米，在 RtABE 中，AB 9 （米） 故选：D12 【解答】解：如图所示，过 A 作 AECP 于 E，过 B 作 BFDQ 于 F，则RtACE 中，AE AC 5427（cm ） ，同理可得，BF27cm，又点 A 与 B 之间的距离为 10cm，通过闸机的物体的最大宽度为
13、27+10+2764（cm） ，故选：C二填空题（共 6 小题）13 【解答】解：因为在 Rt ABC 中，C90，a，b，c 分别是A，B，C 对边，令 b3x，则 a4x ，由勾股定理可得 c5x ，所以 sinB ，故答案为： 14 【解答】解：A 为锐角，且 cosA ，以A 为锐角作直角三角形ABC，C90cosA 设 AC5k，则 AB13k根据勾股定理可得：BC12 ktanA 故答案为： 15 【解答】解：在点 A 处测得点 B 处的仰角是4，故答案为：416 【解答】解：ACB90，CD 为 AB 边上的中线，ADCDBD，ACDCAD，DCBB，AECD，CAE+ ACDB
14、+CAD 90，CAEB，cotCAE cotB 2，故答案为：217 【解答】解：过点 E 作 EGAB 于 G，过点 F 作 FHAB 于 H，则四边形 ECBG，HBDF 是矩形，ECGB20，HBFD ，B 为 CD 的中点，EGCBBDHF ，由已知得：EAG906030，AFH45在 Rt AEG 中，AGAB GB502030 米，EGAG tan3030 10 米，在 Rt AHP 中，AHHF t an4510 米，FDHB ABAH5010 （米） 答：2 号楼的高度为（5010 ）米故答案为：（5010 ） 18 【解答】解：如图所示：过点 D 作 DMAB 于点 M，作
15、 CNAB 于点 N，设 DM CNx，背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1：2.5，AMBN2.5 x，故 ABAM+BN +MN5x+1090，解得：x16，即这个水库大坝的坝高是 16 米故答案为：16三解答题（共 7 小题）19 【解答】解：原式2 +4 6（ ） 21+23020 【解答】解：（1）过 P 作 PCAB 交 AB 于 C，在 Rt APC 中，C90，APC53，AP50 海里，PCAPcos53500.6030 海里，在 Rt PBC 中，PB20 ，PC 30，cosBPC ，BPC30，船 B 在灯塔 P 的南偏东 30的方向上；（2）ACAPsin53
16、500.840 海里，BC PB10 ，ABACBC（4010 ）海里，答：两船相距（4010 ）海里21 【解答】解：（1）P 为 AC 的中点，AC 8，CP4，ACB90，BC6，BP2 ，D 是边 AB 的中点， P 为 AC 的中点，点 E 是ABC 的重心，BE BP ；（2）如图 1，过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F， ，BDDA ，FDDC，BFAC，CE2 ，ED3，则 CD5，EF8， ， ， ，设 CPk，则 PA3k，PDAB，D 是边 AB 的中点，PAPB3kBC2 k，AB2 k，AC4k，cosA ；（3）ACB90，D 是边 AB 的中点，C
17、DBD AB，PB 22CD 2，BP 22CDCDBDAB ，PBDABP，PBDABP，BPDA，ADCA，DPEDCP，PDECDP，DPEDCP，PD 2DE DC，DE3，DC5，PD 22 【解答】解：（1）ACB90，ACFACB90，B+BAC90，ADAB，BAC+ CAF90，BCAF，ABCFAC， ，即 ，解得 CF ；（2）如图，过点 C 作 CH AB 于点 H，AC3，BC4，AB5，则 CH ，AH ，EHAEAH ，tanDtanECH 23 【解答】解：延长 BD 交 AE 于点 G，作 DHAE 于 H，设 BCxm，由题意得，DGADAG 30，DGAD
18、 6 ，DH3，GH 3 ，GA6 ，在 Rt BGC 中， tanBGC ，CG x，在 Rt BAC 中，BAC45 ，ACBCx，由题意得， xx 6 ，解得，x 14，答：大树的高度约为 14m24 【解答】解：（1 ）过 C 作 CGAB 于 G，过 D 作 DHAB 于 H，AC20，CAB60，AG AC10，CG AG10 ，BCBDCD30，CGAB ，DHAB ，CGDH，BCGBDH， ， ，DH 23（厘米） ；支点 D 到滑轨 MN 的距离为 23 厘米；（2）过 C作 CSMN 于 S，ACAC20，CAS45，ASCS10 ，BS 10 ，AB10 +10 ，BG 10 ，AB10+10 ，AAABAB6（厘米） ，滑块 A 向左侧移动的距离是 6 厘米25 【解答】解：由题意可得：设 BNFN x，则 tan40 0.84，解得：x278.25，故 AB278.25+1.5280（m ） ，答：郑州会展宾馆的高度为 280m
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