1、期中测试卷（2）一选择题1下列关系式中 y 是 x 的二次函数的是（ ）Ay= x2 By= Cy= Dy=ax 22已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=1， P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）是抛物线上的点， P3（x 3，y 3）是直线 l上的点，且 x31x 1x 2，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 3y 1 Cy 3y 1y 2 Dy 2y 1y 33若 y4 与 x2 成正比例，当 x=2 时，y=6，则 y 与 x 的函数关系式是（ ）Ay=x 2+4 By=x 2+4 Cy
2、= x2+4 Dy= x2+44已知二次函数 y=（k2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）Ak 3 Bk3 Ck3 且 k2 Dk25某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过 OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图） ，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 y=x2+2x+ ，则下列结论：(1)柱子 OA 的高度为 m；(2)喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度；(3)喷出的水流距水平面的最大高度是 2
3、.5m；(4)水池的半径至少要 2.5m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6已知 x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）A = B = C = D =7如图是著名画家达芬奇的名画蒙娜丽莎 画中的脸部被包在矩形 ABCD内，点 E 是 AB 的黄金分割点，BEAE ，若 AB=2a，则 BE 长为（ ）A （ +1）a B （ 1）a C （3 ）a D （ 2）a8如图，在ABC 中，D 为 AB 上的一点，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC 交 BC 于点 F，则下列结论错误的是（ ）A = B =
4、 C = D =9对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B图形中线段的长度与角的大小都会改变 C图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变10如图所示，图中共有相似三角形（ ）A2 对 B3 对 C4 对 D5 对11如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果 SACD：S ABC =1：2，那么 SAOD ：S BOC 是（ ）A1 ：3 B1：4 C1：5 D1：612如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b ）对应大鱼的点（ ）A C二填空题13如
5、图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为 1m 和 6m，小华的身高约为 1.8m，则旗杆的高约为 m.14人体下半身与身高的比例越接近 0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高 1.68m，下半身 1.02m，她应该选择穿 （精确到 0.1cm）的高跟鞋看起来更美.15如图，DEBC，DE：BC=4：5，则 EA：AC= .16如图，ABC 内接于 O ，D 是 上一点，E 是 BC 的延长线上一点，AE 交O 于点 F，若要使ADBACE，还需添加一个条件，这个条件可以是 .17二次函数 y=x2+2x3，用配方法化为 y=a（x h） 2+k 的形
6、式为 .18某种商品的进价为 40 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出（100x ）件，当 x= 时才能使利润最大三解答题19如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（ 10，0） ，抛物线y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（2，0） ，点 P 是线段 CB上的动点，设 CP=t（0t10）.(1)请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；(2)过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE=OCD？(3)点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交B
7、Q 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，请求出 t 的值.20如图，直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，ACB=90，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点.(1)求 A、B 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值.21如图，已知点 O （0，0） ，A （ 5，0） ，B （ 2，1） ，抛物线 l：y=（xh）2+1（h 为常数）与 y 轴的交点为 C.(1)抛物线 l 经过点 B，求它的解析式，并
8、写出此时抛物线 l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点 C 的纵坐标为 yc，求 yc 的最大值，此时抛物线 l 上有两点（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ，其中 x1x 20，比较 y1 与 y2 的大小；(3)当线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 1：4 时，求 h 的值.22如图 1 所示，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么点 C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1、S 2，如果 ，那么称直线 l
9、 为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点，如图 2 所示，则直线 CD 是ABC 的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.23如图，在直角梯形 OABC 中，OABC，A、B 两点的坐标分别为 A（13，0） ，B（11，12 ） 动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿x 轴向终点 A 运动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向运动；当点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动线段 PQ 和 OB 相交于点 D，过点 D 作 DEx 轴，交
10、 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒） (1)当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形.(2) PQF 的面积是否发生变化？若变化，请求出PQF 的面积 s 关于时间 t 的函数关系式；若不变，请求出PQF 的面积.(3)随着 P、Q 两点的运动，PQF 的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰PQF ？24在等边ABC 中，点 D 为 AC 上一点，连接 BD，直线 l 与 AB，BD，BC 分别相交于点 E，P，F，且 BPF=60.(1)如图(1) ，写出图中所有与BPF 相似的三角形，并选择其中一对给予证明；(2)若直线 l
11、 向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变） ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明） ，若不成立，请说明理由；(3)探究：如图(1)，当 BD 满足什么条件时（其它条件不变） ，EF= BF？请写出探究结果，并说明理由.答案一选择题1下列关系式中 y 是 x 的二次函数的是（ ）Ay= x2 By= Cy= Dy=ax 2【考点】H1：二次函数的定义【专题】选择题【难度】易【分析】根据二次函数的定义判定即可【解答】解：A、y= x2，是二次函数，正确；B、y= ，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、 y= ，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、a=0 时
12、，不是二次函数，错误故选 A【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键2已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=1， P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）是抛物线上的点， P3（x 3，y 3）是直线 l上的点，且 x31x 1x 2，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 3y 1 Cy 3y 1y 2 Dy 2y 1y 3【考点】H3：二次函数的性质； H2：二次函数的图象【专题】选择题【难度】易【分析】设点 P0（1，y 0）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛
13、物线开口向下即可得出 y3y 0，再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出y0y 1y 2，进而即可得出 y2y 1y 3，此题得解【解答】解：设点 P0（1 ，y 0）为抛物线的顶点，抛物线的开口向下，点 P0（ 1，y 0）为抛物线的最高点直线 l 上 y 值随 x 值的增大而减小，且 x3 1，直线 l 在抛物线上方，y 3y 0在 x1 上时，抛物线 y 值随 x 值的增大而减小，1x 1x 2，y 0y 1y 2，y 2y 1y 3故选 D【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的图象，设点 P0（ 1，y 0）为抛物线的顶点，根据一次（二次）函数的性质找出y
14、2y 1y 0y 3 是解题的关键3若 y4 与 x2 成正比例，当 x=2 时，y=6，则 y 与 x 的函数关系式是（ ）Ay=x 2+4 By=x 2+4 Cy= x2+4 Dy= x2+4【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式【专题】选择题【难度】易【分析】根据正比例函数的定义可设 y4=kx2，然后把 x=2，y=6 代入可计算出 k的值，则可得到 y 与 x 的函数关系式【解答】解：根据题意得 y4=kx2，当 x=2，y=6 ，则 4k=64，解得 k= ，所以 y4= x2，即 y 与 x 的函数关系式为 y= x2+4故选 D【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：
15、在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了正比例函数的定义4已知二次函数 y=（k2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）Ak 3 Bk3 Ck3 且 k2 Dk2【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点【专题】选择题【难度】易【分析】根据二次函数图象与 x 轴有交点可得出关于 x 的一元二次方程有解
16、，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：二次函数 y=（k2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，一元二次方程（k2）x 2+2x+1=0 有解， ，解得：k3 且 k2故选：C【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式0 结合二次项系数非零找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键5某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过 OA 的任一平面上，建
17、立平面直角坐标系（如图） ，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 y=x2+2x+ ，则下列结论：(1)柱子 OA 的高度为 m；(2)喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度；(3)喷出的水流距水平面的最大高度是 2.5m；(4)水池的半径至少要 2.5m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】HE：二次函数的应用【专题】选择题【难度】易【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度） ，与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题【解答】解：当 x=0 时，y= ，故柱子 OA 的高度为 m；(1)正
18、确；y= x2+2x+ =（x1） 2+2.25，顶点是（1，2.25） ，故喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25 米；故(2)正确，(3) 错误；解方程x 2+2x+ =0，得 x1= ，x 2= ，故水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确故选：C【点评】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与 x 轴交点，y 轴交点的实际意义是解决问题的关键6已知 x：y=5：2，则下列各式中不正确的是（ ）A = B = C = D =【考点】S1：比例的性质【专题】选择题【难度】易【分析】根据合比性质，可判断
19、 A，根据分比性质，可判断 B，根据合比性质、反比性质，可判断 C，根据分比性质、反比性质，可判断 D【解答】解：A、由合比性质，得 = ，故 A 正确；B、由分比性质，得 = ，故 B 正确；C、由反比性质，得 y：x=2：5由合比性质，得 = ，再由反比性质，得= ，故 C 正确；D、由反比性质，得 y：x=2：5由分比性质，得 = 再由反比性质，得= ，故 D 错误；故选；D【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住性质是解题关键7如图是著名画家达芬奇的名画蒙娜丽莎 画中的脸部被包在矩形 ABCD内，点 E 是 AB 的黄金分割点，BEAE ，若 AB=2a，
20、则 BE 长为（ ）A （ +1）a B （ 1）a C （3 ）a D （ 2）a【考点】S3：黄金分割【专题】选择题【难度】易【分析】直接根据黄金分割的定义求解【解答】解：点 E 是 AB 的黄金分割点，BEAE，BE= AB= 2a=（ 1）a故选 B【点评】本题考查了黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC BC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 AB：AC=AC ：BC） ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点其中 AC= AB0.618AB，并且线段AB 的黄金分割点有两个8如图，在ABC 中，D 为 AB 上的一点，
21、过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC 交 BC 于点 F，则下列结论错误的是（ ）A = B = C = D =【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】选择题【难度】易【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案【解答】解：DF AC ， = ，DEBC，四边形 DECF 为平行四边形，DE=CF， = ，故 A 正确；DEBC， = ，故 B 正确；DEBC，DF AC ， = ， = ，故 C 错误；DEBC，DF AC ， = ， = ， = ，故 D 正确；故选 C【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意
22、掌握比例线段的对应关系是解此题的关键9对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B图形中线段的长度与角的大小都会改变 C图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变【考点】S5：相似图形【专题】选择题【难度】易【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选 D【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形的性质进行说理是
23、解此题的关键10如图所示，图中共有相似三角形（ ）A2 对 B3 对 C4 对 D5 对【考点】S8：相似三角形的判定； M5：圆周角定理【专题】选择题【难度】易【分析】可以运用相似三角形的判定方法进行验证【解答】解：共四对，分别是PACPBD、AOC DOB 、AOBCOD、PADPCB故选 C【点评】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况11如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果 SACD：S ABC =1：2，那么 SAOD ：S BOC 是（ ）A1 ：3 B1：4 C1：5 D1：6【考点】S9：相似三角形的判定与性质； LH：梯形【专题】选
24、择题【难度】易【分析】首先根据 SACD ：S ABC =1：2，可得 AD：BC=1 ：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出 SAOD ：S BOC 是多少即可【解答】解：在梯形 ABCD 中，ADBC，而且 SACD ：S ABC =1：2 ，AD：BC=1 ：2；ADBC，AOD BOC，AD：BC=1 ：2，S AOD ：S BOC =1：4故选：B【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握12如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b ）对应大鱼的点（ ）A C【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质【专
25、题】选择题【难度】易【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案【解答】解：由图形可得，小鱼与大鱼的位似比为：1：2，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点为：（ 2a，2b） 故选：D【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键二填空题13如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为 1m 和 6m，小华的身高约为 1.8m，则旗杆的高约为 m.【考点】SA：相似三角形的应用【专题】填空题【难度】中【分析】由小丽与旗杆的长度之比等于影子之比求出所求即可【解答】解：根据题意得： = ，解得：x=10.4 ，则旗杆的高约为 10.4m，故答案为：10.4【点评
26、】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键14人体下半身与身高的比例越接近 0.618，越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士身高 1.68m，下半身 1.02m，她应该选择穿 （精确到 0.1cm）的高跟鞋看起来更美.【考点】S3：黄金分割； 1H：近似数和有效数字【专题】填空题【难度】中【分析】设她应选择高跟鞋的高度是 xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是 xcm，则=0.618，解得：x4.8cm 经检验知 x4.8 是原方程的解，答：她应该选择穿 4.8cm 的高跟鞋看起来更美故本题答案为
27、：4.8【点评】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度15如图，DEBC，DE：BC=4：5，则 EA：AC= .【考点】S4：平行线分线段成比例【专题】填空题【难度】中【分析】如图，首先证明ADEABC ，列出比例式即可解决问题【解答】解：如图，DEBC，ADE ABC， ，故答案为 4：5【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理、准确找出图形中的对应线段是解题的关键16如图，ABC 内接于 O ，D 是 上一点，E 是 BC 的延长线上一点，AE 交O 于点 F，若要使ADBACE，还需
28、添加一个条件，这个条件可以是 .【考点】S8：相似三角形的判定； M6：圆内接四边形的性质【专题】填空题【难度】中【分析】根据圆内接四边形的性质得到ADB=ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件【解答】解：四边形 ADBC 为O 的内接四边形，ADB=ACE ，当DAB=CAE 时，ADBACE故答案为DAB=CAE 【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了圆内接四边形的性质17二次
29、函数 y=x2+2x3，用配方法化为 y=a（x h） 2+k 的形式为 .【考点】H9：二次函数的三种形式【专题】填空题【难度】中【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可【解答】解：y=x 2+2x3=（x 22x）3=（x1） 22故答案为：y=（x 1） 22【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键18某种商品的进价为 40 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出（100x ）件，当 x= 时才能使利润最大【考点】HE：二次函数的应用【专题】填空题【难度】中【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题【解答】解：设获得的利润为
30、w 元，由题意可得，w=（x40） （100x）=（x 70） 2+900，当 x=70 时，w 取得最大值，故答案为：70【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件三解答题19如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（ 10，0） ，抛物线y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（2，0） ，点 P 是线段 CB上的动点，设 CP=t（0t10）.(1)请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；(2)过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE=OCD？(3)点 Q 是 x
31、 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交BQ 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，请求出 t 的值.【考点】HF ：二次函数综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1)由抛物线的解析式可求得 C 点坐标，由矩形的性质可求得 B 点坐标，由 B、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)可设 P（t，4） ，则可表示出 E 点坐标，从而可表示出 PB、PE 的长，由条件可证得PBEOCD ，利用相似三角形的性质可得到关于 t 的方程，可求得 t的值；(3)当四边形 PMQN 为正方形时，则可证得COQQAB，利用相似三角形的性质可求得 CQ 的长
32、，在 RtBCQ 中可求得 BQ、CQ，则可用 t 分别表示出 PM和 PN，可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值【解答】解：(1)在 y=ax2+bx+4 中，令 x=0 可得 y=4，C （0，4） ，四边形 OABC 为矩形，且 A（10，0） ，B（10，4 ） ，把 B、D 坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+ x+4；(2)由题意可设 P（t ，4） ，则 E（t， t2+ t+4） ，PB=10t，PE= t2+ t+44= t2+ t，BPE=COD=90，PBE=OCD，PBEOCD ， = ，即 BPOD=COPE，2（10 t）=4（ t2
33、+ t） ，解得 t=3 或 t=10（不合题意，舍去） ，当 t=3 时，PBE=OCD；(3)当四边形 PMQN 为正方形时，则PMC=PNB=CQB=90，PM=PN，CQO+AQB=90，CQO+OCQ=90，OCQ= AQB，RtCOQRt QAB， = ，即 OQAQ=COAB，设 OQ=m，则 AQ=10m，m（10m）=44，解得 m=2 或 m=8，当 m=2 时， CQ= =2 ，BQ= =4 ，sin BCQ= = ，sinCBQ= = ，PM=PCsinPCQ= t，PN=PBsin CBQ= （10 t） ， t= （ 10t） ，解得 t= ，当 m=8 时，同理可
34、求得 t= ，当四边形 PMQN 为正方形时， t 的值为 或 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识在(1)中注意利用矩形的性质求得 B 点坐标是解题的关键，在 (2)中证得PBEOCD 是解题的关键，在(3)中利用 RtCOQRtQAB 求得 CQ 的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大20如图，直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，ACB=90，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点.(1)求 A、B 两点的坐标；(2)求抛物线的解析
35、式；(3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值.【考点】HF ：二次函数综合题【专题】解答题【难度】难【分析】(1)由直线解析式可求得 B、C 坐标，在 RtBOC 中由三角函数定义可求得OCB=60，则在 RtAOC 中可得ACO=30 ，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得 A 点坐标；(2)由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)由平行线的性质可知 MDH=BCO=60，在 RtDMH 中利用三角函数的定义可得到 DH、MH 与 DM 的关系，可设出 M 点的坐标，则可表
36、示出 DM 的长，从而可表示出DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值【解答】解：(1) 直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，B（3，0） ，C （0， ） ，OB=3，OC= ，tanBCO= = ，BCO=60，ACB=90 ，ACO=30， =tan30= ，即 = ，解得 AO=1，A（1 ，0） ；(2) 抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点， ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+ x+ ；(3) MDy 轴，MHBC，MDH=BCO=60 ，则 DMH=30，DH= DM，MH= DM，DMH 的周长=DM +DH+MH=DM+ DM+
37、DM= DM，当 DM 有最大值时，其周长有最大值，点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，可设 M（t， t2+ t+ ） ，则 D（t， t+ ） ，DM= t2+ t+ ） ，则 D（t， t+ ） ，DM= t2+ t+ （ t+ ）= t2+ t= （t ） 2+ ，当 t= 时，DM 有最大值，最大值为 ，此时 DM= = ，即DMH 周长的最大值为 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法，在(2) 中注意待定系数法的应用，在(3) 中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解题的关键本
38、题考查知识点较多，综合性较强，难度适中21如图，已知点 O （0，0） ，A （ 5，0） ，B （ 2，1） ，抛物线 l：y=（xh）2+1（h 为常数）与 y 轴的交点为 C.(1)抛物线 l 经过点 B，求它的解析式，并写出此时抛物线 l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点 C 的纵坐标为 yc，求 yc 的最大值，此时抛物线 l 上有两点（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ，其中 x1x 20，比较 y1 与 y2 的大小；(3)当线段 OA 被 l 只分为两部分，且这两部分的比是 1：4 时，求 h 的值.【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式； H7：二次函数的最值【专题】解
39、答题【难度】难【分析】(1)把 x=2，y=1 代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线 l 的对称轴及顶点坐标；(2)根据坐标的特征求出 yc，根据平方的非负性求出 yc 的最大值，根据二次函数的性质比较 y1 与 y2 的大小；(3)根据把线段 OA 分 1：4 两部分的点是（1，0）或（4，0） ，代入计算即可【解答】解：(1)把 x=2， y=1 代入 y=（x h） 2+1，得：h=2，解析式为：y=（x 2） 2+1，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，1） ；(2)点 C 的横坐标为 0，则 yc=h2+1，当 h=0 时，y c 有最大值为 1，此时，
40、抛物线为：y=x 2+1，对称轴为 y 轴，当 x0 时，y 随着 x 的增大而减小，x 1x 20 时，y 1y 2；(3)把线段 OA 分 1：4 两部分的点是（1，0）或（4，0） ，把 x=1，y=0 代入 y=（xh） 2+1，得：h=0 或 h=2但 h=2 时，线段 OA 被分为三部分，不合题意，舍去，同样，把 x=4，y=0 代入 y=（x h） 2+1，得：h=5 或 h=3（舍去） ，h 的值为 0 或5【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键22如图 1 所示，点 C 将线段 AB
41、分成两部分，如果 ，那么点 C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1、S 2，如果 ，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点，如图 2 所示，则直线 CD 是ABC 的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.【考点】S3：黄金分割； K3：三角形的面积【专题】解答题【难度】难【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念
42、和三角形的面积公式进行分析计算；(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念【解答】解： ， ，又D 是 AB 的黄金分割点， ，CD 是ABC 的黄金分割线；(2)不是CD 是ABC 的中线，AD=DB， = ，而 =1， ，中线不是黄金分割线【点评】主要考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式23如图，在直角梯形 OABC 中，OABC，A、B 两点的坐标分别为 A（13，0） ，B（11，12 ） 动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿x 轴向终点 A 运动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方
43、向运动；当点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动线段 PQ 和 OB 相交于点 D，过点 D 作 DEx 轴，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒） (1)当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形.(2) PQF 的面积是否发生变化？若变化，请求出PQF 的面积 s 关于时间 t 的函数关系式；若不变，请求出PQF 的面积.(3)随着 P、Q 两点的运动，PQF 的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰PQF ？【考点】S4：平行线分线段成比例； KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；LI ：直角梯形
44、【专题】解答题【难度】难【分析】(1)设 OP=2t，QB=t，PA=13 2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需 QB=PA，从而求得 t；(2)根据平行线分线段成比例求得 =；然后由平行线 OBDEPA 分线段成比例求得 = ；利用等量代换求得 AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面积公式求得PQF 的面积；(3)由 (2)知，PF=OA=13分三种情况解答：QP=FQ，作 QGx 轴于 G，则11t2t=2t+13（11t） ；PQ=FP；FQ=FP【解答】解：(1)设 OP=2t，QB=t，PA=13 2t，要使四边形 PABQ 为平行四边形，则 132t
45、=t (2)不变 ， = ，QB DEPA， = ，AF=2QB=2t，PF=OA=13，S PQF = ；(3)由 (2)知，PF=OA=13，QP=FQ，作 QGx 轴于 G，则 11t2t=2t+13（11 t） ， ；PQ=FP ， ， ；FQ=FP， ，t=1；综上，当 或 时，PQF 是等腰三角形【点评】本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解24在等边ABC 中，点 D 为 AC 上一点，连接 BD，直线 l 与 AB，BD，BC 分别相交于点 E，P，F，且 BPF=60.(1)如图(1) ，写出图中所有与BPF 相似的三角形，并选择其中一对给予证明；(2)若直线 l 向右平移到图(2)，图(3)的位置时（其它条件不变） ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明） ，若不成立，请说明理由；(3)探究：如图(1)，当 BD 满足什么条件时（其它条件不变） ，EF= BF？请写出探究结果，并说明理由.
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