1、第四章 三角形教材简析本章的主要内容有三角形的有关概念、三角形的三边关系、三角形的内角和、三角形的稳定性、全等三角形的性质与判定、利用尺规作一个三角形与已知三角形全等、利用三角形全等测量距离，三角形全等在实际生活中的应用在对三角形的初步认识的基础上，通过观察屋顶框架图引入三角形的有关概念，通过类比和分类讨论学习三角形的角平分线、中线和高，进一步探究三角形全等的条件，进而学会利用三角形全等求距离等本章是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和及全等三角形的性质、三角形全等的条件，题型涉及选择题、填空题和解答题，有时会与其他知识综合出现在压轴题中教学指导【本章重点】三角形的三边关系、
2、全等三角形的性质及三角形全等的条件【本章难点】三角形的三边关系、三角形全等的条件的应用及用尺规作三角形【本章思想方法】1体会和掌握类比的学习方法，如通过三角形中线的类比，学习三角形的角平分线和高2体会分类讨论思想，如已知等腰三角形的一边长，探究其周长时分类讨论3体会数形结合思想，如三角形全等的条件通过“数” “形”转化，利用三角形测距离通过“数” “形”转化4体会转化思想，如在全等三角形的判定中，常将复杂图形转化到某些三角形中，运用全等的知识解决问题课时计划1 认识三角形 4 课时2 图形的全等 1 课时3 探索三角形全等的条件 3 课时4 用尺规作三角形 1 课时5 利用三角形全等测距离 1
3、 课时1 认识三角形第 1 课时 三角形的内角和教学目标一、基本目标1通过具体实例，认识三角形的概念及其基本要素，会将三角形按角分类2掌握“三角形三个内角的和等于 180”，能应用三角形内角和解决一些简单的求三角形内角的度数问题，能发现“直角三角形的两个锐角互余”并会利用3通过观察、操作、想象、推理“三角形三个内角的和等于 180”的活动过程，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力二、重难点目标【教学重点】三角形三个内角的和等于 180；直角三角形的两个锐角互余【教学难点】探究、发现和验证“三角形三个内角的和等于 180”教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P8
4、1P84 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】(一)三角形1由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2 “三角形”可以用符号“”表示，如图中顶点是 A、B、C 的三角形，记作ABC. ABC 的三边，有时也用 a、b、c 来表示，如图中，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b、c 来表示(二)三角形的内角和1利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形三个内角的和图 1 图 2图 1：306090180；图 2：45 4590180.2探索任意三角形三个内角的和都等于 180.(1)如图，剪一张三角形的纸片，它的三个内角分别为1 、2 和3
5、；(2)将1、2 撕下，按图所示将这两个角拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD 的度数，可得到ABACB180；(3)将2、3 撕下，按下图拼在一起，用量角器量一量 MAN 的度数，可得到BAC B C180；(4)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180.(三)三角形的分类1三角形按内角大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形2(1)通常，我们用符号“RtABC ”表示“直角三角形 ABC”把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边，如图；(2)直角三角形的两个锐角互余，即上图中AB90.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例
6、 1】如图，DFAB ，A40，D43，则ACD 的度数是_.【互动探索】(引发学生思考 )DFAB，A40 AEF50(直角三角形两锐角互余)CED50( 对顶角相等) ，由D 43ACD87(三角形内角和定理 )【答案】87【互动总结】(学生总结，老师点评 )“直角三角形的两个锐角互余 ”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数【例 2】如图是 A、B、C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80方向， C 岛在 B 岛的北偏西 40方向从 B 岛看 A、C 两岛的视角ABC 是多少度？从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？【互动探索】(
7、引发学生思考 )(方法一)A、B、C 三岛的连线构成ABC ，所求的ACB是 ABC 的一个内角，如果能求出CAB、ABC，就能求出 ACB；(方法二)过点 C 作 AD的垂线，求ACB 的度数可转化为利用平角为 180来求解【解答】(方法一)根据题意，得CABBAD CAD805030.因为 ADBE，所以BAD ABE180，所以ABE180 BAD18080 100，所以ABC ABEEBC 1004060 ，所以ACB 180 ABCCAB18060 3090.即从 B 岛看 A、C 两岛的视角ABC 是 60，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是 90.(方法二) ABC 的求
8、法同“方法一”中的求法如图，过点 C 作 CFAD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 H，则 CHBE.因为ACF 180 FACAFC18050 9040，BCH180CBHCHB18040 9050，所以ACB 180 ACFBCH180 405090.即从 B 岛看 A、C 两岛的视角ABC 是 60，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是 90.【互动总结】(学生总结，老师点评 )由平行线的性质把已知角与三角形的内角相联系，进而利用三角形内角和定理可求出有关角的度数活动 2 巩固练习(学生独学)1已知一个三角形中一个角是锐角，那么这个三角形是( D )A锐角三角形 B直角三角形
9、C钝角三角形 D以上都有可能2在ABC 中，BC 边的对应角是( A )AA BBCC DD3在ABC 中，已知A80，BC ，则C50.4已知三角形三个内角的度数之比为 135，则这三个内角的度数分别为 20，60，100.5如图，在 RtABC 中，ACB90，1B，2 3，则图中共有 5 个直角三角形6如图，D 是ABC 中 BC 边延长线上一点，DF AB 交 AB 于点 F，交 AC 于点 E.若A 46，D50，求 ACB 的度数解：因为 DFAB，所以DFB90.又在DFB 中，D50，所以B180 DFB D40.又在ABC 中， A46，所以ACB 180 AB94.活动 3
10、 拓展延伸(学生对学)【例 3】探究与发现：如图 1，有一块直角三角板 DEF 放置在ABC 上，三角板 DEF的两条直角边 DE、DF 恰好分别经过点 B、C 请写出 BDC 与AABD ACD 之间的数量关系，并说明理由应用：某零件如图 2 所示，图纸要求A90，B 32 ，C21，当检验员量得BDC145 ，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？图 1 图 2【互动探索】根据三角形内角和定理探究BDC 与A ABDACD 之间的数量关系，然后利用得到的关系求解应用的问题【解答】探究与发现：BDCA ABDACD 理由如下：因为BDCDBC DCB180，AABCACB A ABDA
11、CDDBC DCB180，所以BDCAABD ACD应用：能，连结 BC因为A90 ， ABD32，ACD21，所以由上述结论，得BDCA ABDACD143.因为检验员量得BDC145 143，所以这个零件不合格【互动总结】(学生总结，老师点评 )本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180.3三角形按角分类三角形Error!4直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余练习设计请完成本课时对应练习！第
12、2 课时 三角形的三边关系教学目标一、基本目标1结合具体实例，认识等腰三角形和等边三角形的概念及基本要素2在度量三角形边长的实践活动中理解三角形三边的不等关系3掌握三角形的三边的不等关系，并能解决相关问题4经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理的表达能力二、重难点目标【教学重点】三角形的三边关系【教学难点】探究三角形的三边关系及灵活应用三边关系解决生活中的实际问题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P85P86 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形2三角形的三边关系：三角
13、形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边3下列长度的三条线段能否组成三角形？(1)3,4,8；(不能 )(2)2,5,6；(能)(3)5,6,10；(能)(4)5,6,11.(不能 )环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A2,3,5 B4,7,10C1,1,3 D3,4,9【互动探索】(引发学生思考 )根据“三角形任意两边之和大于第三边 ”逐项判断即可A 中，235，不能组成三角形；B 中，4710，能组成三角形；C 中，113，不能组成三角形；D 中，349，不能组成三角形【答案】B【互动总结】(学生总结
14、，老师点评 )判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可【例 2】用一根长为 18 厘米的细铁丝围成一个等腰三角形(1)如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为 4 厘米的等腰三角形吗？【互动探索】(引发学生思考 )(1)理解题意，得出等腰三角形的周长是 18 厘米列方程求解；(2)等腰三角形的周长为 18 厘米已知边是腰还是底边 分类讨论得三角形另外两边长利用三角形三边关系进行判断得出结论【解答】(1)设底边长为 x 厘米，则腰长为 2x 厘米根据题意，得 x2x 2x 18 ，解得 x3.6.所以三边长分别为 3.6 厘米
15、、7.2 厘米、7.2 厘米(2)分情况讨论：当 4 厘米长为底边时，设腰长为 x 厘米，则 42x18，解得 x7.所以等腰三角形的三边长为 7 厘米、7 厘米、4 厘米当 4 厘米长为腰长时，设底边长为 x 厘米，则 42x18，解得 x10.此时三边长为 4 厘米、4 厘米、10 厘米而 4410，所以此时不能构成三角形故能围成底边长为 4 厘米，腰长为 7 厘米的等腰三角形【互动总结】(学生总结，老师点评 )当已知等腰三角形的周长和一边长时，需要分类讨论已知的一边长是腰还是底边，再解决问题活动 2 巩固练习(学生独学)1下列说法：等边三角形是等腰三角形；三角形任意两边的和大于第三边；三
16、角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形其中正确的有( C )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2已知 a、b、c 为三角形的三边，则| abc|bc a|的化简结果是( D )A2a B2bC2a2b D2b2c3已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是( C )A1 B2 C8 D114已知等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 6 cm，且它的周长大于 14 cm，则第三边长为 6 cm.5已知三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于 20，求三边的长解：设三角形三边的长分别为
17、x1，x，x 1.根据三角形的三边关系，得 x1xx 1，解得 x2.因为三角形的周长小于 20，所以 x1xx 120，解得 x .203所以 2x 且 x 为整数，203所以 x 为 3,4,5,6.当 x3 时，三角形三边长分别为 2,3,4；当 x4 时，三角形三边长分别为 3,4,5；当 x5 时，三角形三边长分别为 4,5,6；当 x6 时，三角形三边长分别为 5,6,7.环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1等腰三角形：有两边相等的三角形2等边三角形：三边都相等的三角形3三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边练习设计请完成本课时对应练
18、习！第 3 课时 三角形的中线、角平分线教学目标一、基本目标1理解并掌握三角形的中线、角平分线的定义，认识三角形的重心2能准确画出三角形的中线、角平分线3理解并掌握三角形中线、角平分线的性质二、重难点目标【教学重点】三角形的中线、角平分线的定义及其性质【教学难点】三角形的中线、角平分线的画法及应用教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P87P88 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】(一)三角形的中线1在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.2如图，点 D、E、F 分别是边 BC、AC、AB
19、 上的中点(1)AB 边上的中线是 CF，BC 边上的中线是 AD，AC 边上的中线是 BE；(2)因为 BE 是ABC 中 AC 边上的中线，所以 AECE AC.12因为 CF 是ABC 中 AB 边上的中线，所以 AB2AF2BF.(二)三角形的角平分线1在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线交于一点.2(1)因为 BE 是ABC 的角平分线，所以ABECBE ABC；12(2)因为 CF 是ABC 的角平分线，所以ACB2ACF2 BCF.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)(一)画三角形的
20、中线如图，线段 AD 是ABC 中 BC 边上的中线讨论 1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系作图：结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线都相交于三角形的内部(二)画三角形的角平分线如图，线段 AD 是ABC 的一条角平分线，图中BADCAD 讨论 2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系作图：结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点； (2)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线都相交于三角
21、形的内部活动 2 巩固练习(学生独学)1如图，在ABC 中有四条线段 DE、BE、EG、FG，其中有一条线段是ABC 的中线，则该线段是( B )A线段 DE B线段 BEC线段 EG D线段 FG2如图，DEBC，CD 是ACB 的平分线，ACB 60，那么EDC30 度3如图，CD 为ABC 的 AB 边上的中线，BCD 的周长比ACD 的周长大 3 cm， BC8 cm，求边 AC 的长解：因为 CD 为ABC 的 AB 边上的中线，所以 ADBD 因为BCD 的周长比 ACD 的周长大 3 cm，所以(BCBD CD)( AC ADCD) 3 cm ，所以 BCAC3 cm.因为 BC
22、8 cm，所以 AC5 cm.环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)三角形的中线：(1)定义；(2)画法；(3) 三角形重心的定义三角形的角平分线：(1)定义；(2)画法；(3) 三角形的三条角平分线交于一点练习设计请完成本课时对应练习！第 4 课时 三角形的高教学目标一、基本目标1认识三角形的高线，会画任意三角形的高线，了解三角形的三条高所在的直线交于一点2通过折纸、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更灵活二、重难点目标【教学重点】三角形高线的定义，会画任意三角形的高【教学难点】画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用教学过程环节 1 自学
23、提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P89P90 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高2三角形的三条高所在的直线交于一点3分别指出下图中ABC 的三条高图 1 图 2(1)图 1 中，直角边 BC 上的高是 AB，直角边 AB 上的高是 BC，斜边 AC 上的高是BD；(2)图 2 中，AB 边上的高是 CE，BC 边上的高是 AD，AC 边上的高是 BF.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)用工具准确画出三角形的高如图，线段 AD 是ABC 中 BC 边上的高注
24、意：标明垂直的记号和垂足的字母教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法讨论：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系作图：结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线所在的直线相交于一点； (2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点； (4)钝角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的外部活动 2 巩固练习(学生独学)1如图，在ABC 中，EF AC ，BDAC 于点 D，交 EF 于点 G，则下列说法错误的是( C )ABD 是ABC 的高 BCD 是BCD 的高CEG 是ABD 的高 D
25、BG 是BEF 的高2如图，CD、CE、CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( C )AAB2BF BACE ACB12CAE BE DCD BE3如图，在ABC 中，AB 边上的高是 CE，BC 边上的高是 AD；在BCF 中，CF 边上的高是 BC.4若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形.5如图，AE 是ABC 的角平分线，AD BC 于点 D，若BAC130，C30，则DAE 的度数是 5.环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段2三角形
26、的三条高所在的直线交于一点三角形的三条高的特性：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形三角形内部高的数量 3 1 1三条高是否相交 是 是 否三条高所在直线的交点位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部练习设计请完成本课时对应练习！2 图形的全等教学目标一、基本目标1通过实例理解全等图形的定义和特征，并能识别图形的全等及用符号语言正确表示两个三角形全等2掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题二、重难点目标【教学重点】全等图形和全等三角形的性质【教学难点】利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材
27、 P92P94 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1能够完全重合的两个图形叫做全等图形.2能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如ABC 与DEF 全等，记作ABCDEF.3全等三角形的对应边相等，对应角相等.4如图，ABCDEF，则A 的对应角是D，B 的对应角是E，则C 的对应角是F ；AB 与 DE 是对应边，BC 与 EF 是对应边，AC 与 DF 是对应边环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，若BOD COE，指出这两个三角形的对应边；若 ADO AEO，指出这两个三角形的对应角【互动探索】(引发学生思考 )全等三角形的对应元素该如何找？【
28、解答】BOD 与COE 的对应边：BO 与 CO，OD 与 OE，BD 与 CE.ADO 与 AEO 的对应角：DAO 与EAO ，ADO 与AEO， AOD 与AOE.【互动总结】(学生总结，老师点评 )找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了【例 2】如图，ABCDEF，A70，B50 ， BF4，EF 7，求DEF 的度数和 CF 的长【互动探索】(引发学生思考 )求角和线段长，从全等三角形的性质出发去思考【解答】因为ABCDEF ， A70，B50 ，BF4，EF7，所以DEF B50 ，BC
29、EF7，所以 CFBCBF743.【互动总结】(学生总结，老师点评 )全等三角形的对应边相等，对应角相等活动 2 巩固练习(学生独学)1已知图中的两个三角形全等，则 的度数是( D )A72 B60 C58 D502如图，已知ABCDEF，BE4，AE1，则 DE 的长是( A )A5 B4 C3 D23如图，已知ABCFED，A30，B80 ，则 EDF70 .4如图，已知EFGNMH ，F 与M 是对应角(1)写出图中相等的线段与角；(2)若 EF2.1 cm，FH1.1 cm，HM3.3 cm，求 MN 和 HG 的长度解：(1)因为EFG NMH，F 与 M 是对应角，所以 EFNM，
30、EG NH ，FGMH，F M，E N， EGFNHM，所以 FHGM ， EGM NHF.(2)因为 EFNM，EF2.1 cm，所以 MN2.1 cm.因为 FGMH ，FH1.1 cm，HM3.3 cm，所以 HGFG FHHM FH3.31.12.2( cm)活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图，已知ABCADE，CAD10，D25 ，EAB 120 ，求ACB 的度数【互动探索】要求ACB ，在 ACB 中，只要求出B、 CAB 即可利用三角形的内角和定理求解，而求 B、 CAB 可以从全等三角形的性质出发【解答】因为ABCADE ， D25，所以BD25， CAB EAD因
31、为EAB120， CAD10，所以EABEADCADCAB2CAB 10 120，所以CAB 55.因为BD25，所以ACB 180 CABB100.【互动总结】(学生总结，老师点评 )本题综合考查三角形的内角和定理与全等三角形的性质解题时，要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！3 探索三角形全等的条件第 1 课时 “边边边(SSS)”和三角形的稳定性教学目标一、基本目标1掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程
32、，初步形成解决问题的基本策略二、重难点目标【教学重点】利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等；三角形的稳定性【教学难点】利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P97P99 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1(教材 P97“做一做”)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？略2(教材 P97“做一做”)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做(1)三角形的一个内角为 30，一条边为 3 cm；(2)三角形的两个内角分别为
33、30和 50；(3)三角形的两条边分别为 4 cm,6 cm.略3(教材 P97“议一议”)如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？解：三条边；三个角；两条边和一个角；两个角和一条边4(教材 P98“做一做”)(1) 已知一个三角形的三个内角分别为 40，60和 80，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？(2)已知一个三角形的三条边分别为 4 cm,5 cm 和 7 cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？解：(1)三个内角对应相等的两个三角形不一定全等(2)三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边
34、”或 “SSS”通常写成下面的格式：在ABC 和DEF 中，Error!所以ABCDEF(SSS)52017 年 11 月 5 日 19 时 45 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星这两颗卫星属于中国地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，已知 ABDE，ACDF，点 E、C 在直线 BF 上，且 BEC
35、F.求证：ABC DEF.【互动探索】(引发学生思考 )已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS”证明ABCDEF.【证明】因为 BECF，所以 BEEC CFEC，即 BCEF.在ABC 和DEF 中，Error!所以ABCDEF(SSS)【互动总结】(学生总结，老师点评 )判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后再根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件【例 2】如图，已知 ABAD，DCBC，B 与D 相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考 )要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线 AC 构造三角形进行证
36、明【解答】B D 理由如下：连结 AC在ADC 和 ABC 中，因为Error!所以ADC ABC(SSS)，所以BD 【互动总结】(学生总结，老师点评 )要证B 与D 相等，可证这两个角所在的三角形全等，而现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明【例 3】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各图至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】(引发学生思考 )三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】如图 1，四边形木架至少需要钉上 1 根木棍；如图 2，五边形木架至少需要钉上 2 根木棍；如图 3，六边形木架至少需要钉上 3 根木棍图 1 图 2 图 3【互动总结】
37、(学生总结，老师点评 )n 边形沿一个顶点的对角线添加 (n3)条木棍后就具有稳定性活动 2 巩固练习(学生独学)1下列实际情景运用了三角形稳定性的是( C )A人能直立在地面上B校门口的自动伸缩栅栏门C古建筑中的三角形屋架D三轮车能在地面上运动而不会倒2工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，AOB 是一个任意角，在边 OA、 OB 上分别取 OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合，过角尺顶点 C 作射线 OC 由做法得 MOCNOC 的依据是 SSS.3如图，AC 与 BD 交于点 O，AD CB ，E、F 是 BD 上两点，且 AECF，DEBF.求证：(1)
38、D B；(2)AECF.证明：(1)在ADE 和 CBF 中，Error!所以ADE CBF(SSS)，所以DB (2)因为ADECBF，所以AED CFB因为AED AEO180，CFB CFO180 ，所以AEO CFO，所以 AECF.环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1 “边边边(SSS)”：三边分别相等的两个三角形全等2三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性练习设计请完成本课时对应练习！第 2 课时 “角边角(ASA)”和“角角边(AAS)”教学目标一、基本目标1掌握三角形全等的“ASA”“AAS” 条件，并会进行简单的应用2经历探索三角形全等“两角一边”的过程，体会通
39、过操作、归纳获得数学结论的趣味二、重难点目标【教学重点】应用三角形全等的“ASA”“AAS” 条件【教学难点】探索三角形全等条件“两角一边” 教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P100P101 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 通常写成下面的格式：在ABC 与DEF 中，Error!所以ABCDEF.2两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”通常写成下面的格式：在ABC 与DEF 中，Error!所以ABCDEF.3能确定ABCDEF 的条件是(
40、 D )AABDE ， BCEF，AEBAB DE ，BCEF ，CECAE，AB EF，BDDAD，AB DE，BE4如图，已知点 F、E 分别在 AB、AC 上，且 AEAF，请你补充一个条件：BC，使得ABEACF .(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还可以填 ABAC 或AEBAFC 环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，已知 ADBC，BEDF，AECF ，求证：ADFCBE.【互动探索】(引发学生思考 )回忆我们学过的判定三角形全等的条件，结合已知中的平行线段，可考虑利用“ASA”证明ADFCBE.【证明】因为 ADBC，BE D
41、F，所以AC，DFA BEC因为 AECF，所以 AEEFCFEF，即 AFCE.在ADF 和 CBE 中，Error!所以ADF CBE(ASA)【互动总结】(学生总结，老师点评 )在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分在“ASA”中， “边”必须是“两角的夹边” 【例 2】如图，在ABC 中，AD BC 于点 D，BEAC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F.若 BFAC，求证： ADC BDF.【互动探索】(引发学生思考 )观察图形，要证ADCBDF，只需DAC DBF 即可由在 RtADC 与 RtBDF 中，利用等角
42、的余角相等即可得DAC DBF.【证明】因为 ADBC，BE AC，所以ADCBDF BEABEC90.又因为AFE BFD，所以DACDBF .在ADC 和 BDF 中，Error!所以ADC BDF(AAS)【互动总结】(学生总结，老师点评 )在解决三角形全等的问题时，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等活动 2 巩固练习(学生独学)1完成教材 P102“习题 4.7”第 13 题略2如图，点 B 在线段 AD 上， BCDE，ABED，AE.求证：BCDB 证明：因为 BCDE，所以ABC EDB 在ABC 和EDB 中，Error!所以ABCEDB(ASA)，所以 B
43、CBD 环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1 “角边角(ASA)”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等2 “角角边(AAS)”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等练习设计请完成本课时对应练习！第 3 课时 “边角边(SAS)”教学目标一、基本目标1经历画图比较，得出判定三角形全等的“SAS” 条件2能够利用“SAS”判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由3在探索三角形全等及其应用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单推理二、重难点目标【教学重点】通过画图比较，得出“SAS”结论的过程及应用【教学难点】探索“边边角”能否用于判定全等教学过程环节 1 自学提
44、纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P102P104 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1(1)两边及夹角，三角形两边分别为 2.5 cm,3.5 cm，它们所夹的角为 40，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同桌画的一定全等吗？(2)以 2.5 cm,3.5 cm 为三角形的两边，长度为 2.5 cm 的边所对的角为 40，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？解：(1)与同桌画的是全等的( 如图 1)(2)与同桌画的不一定全等(如图 2)图 1图 2总结：(1)两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定 全等；(2)三角形全等的判定方法 4：两边及其夹角分别相等的两个三角
45、形全等，简写成 “边角边”或“SAS”通常写成下面的格式：在ABC 与DEF 中，Error!所以ABCDEF.2如图，已知 BDCD，要根据 “SAS”判定ABDACD，则还需添加的条件是ADBADC .环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，A、D、F、B 在同一直线上，AD BF ，AEBC，且 AEBC 求证：AEF BCD【互动探索】(引发学生思考 )由题意可知，如果A B 就可证AEFBCD 由AEBC 可得A B【证明】因为 AEBC，所以A B 因为 ADBF，所以 ADDFDFFB，即 AFBD 在AEF 和BCD 中，Error!所以AEFBCD(SAS) 【互动总结】(学生总结，老师点评 )判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【例 2】如图，BCEF，B
浙公网安备33030202001339号