1、30.5 二次函数与一元二次方程的关系,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第三十章 二次函数,学习目标,1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解. （重点） 3.了解用图像法求一元二次方程的近似根.,（1）一次函数yx2的图象与x轴的交点为( ， ), 一元一次方程x20的根为_. （2）一次函数y3x6的图象与x轴的交点为( ， ), 一元一次方程3x60的根为_. 问题一次函数ykxb的图象与x轴的交点与一元一次 方程kxb0的根有什么关系？ 一次函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标就是一 元一次方程kxb0的根.,
2、导入新课,复习引入,2 0,2,2 0,2,那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢，接下来我们一起探讨.,讲授新课,合作探究,问题1：画出二次函数 的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？,(-1,0)与(3,0),(-1,0),(3,0),问题2：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0又怎样的关系？,当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根； 同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；,知识要点,一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x
3、轴有两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.,观察图象，完成下表：,0个,1个,2个,x2-x+1=0无解,0,x2-6x+9=0，x1=x2=3,-2, 1,x2+x-2=0，x1=-2,x2=1,知识要点,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系,例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0) (1)求证：此抛物线
4、与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,(1)证明：m0， (m2)24m2m24m48m(m2)2. (m2)20， 0， 此抛物线与x轴总有两个交点；,(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0， 所以 x10或mx20， 解得 x11，x2 . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1或2.,例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0) (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值,变式
5、：已知：抛物线yx2axa2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值,(1)证明：a24(a2)(a2)240， 不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：x1x2a，x1x2a2， x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x2a22a43， a1.,例2：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.,分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛
6、物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.,解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.,先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：,观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4. 同理可得另一近似值为x22.4.,
7、一元二次方程的图象解法,利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.,(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；,(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);,(3)确定方程2x2+x-15=0的解;,由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1-3,x22.5.,例3:已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一元二次方程ax2bxc0的近似根为( ) Ax12.1，x20.1 Bx1
8、2.5，x20.5 Cx12.9，x20.9 Dx13，x21,解析：由图象可得二次函数yax2bxc图象的对称轴为x1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，x20.5；又对称轴为x1，则 1，x12(1)0.52.5.故x12.5，x20.5.故选B.,B,解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确,利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).,y = x22x2,解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-
9、2=0的实数根为 x1-0.7，x22.7.,练一练,一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 .,既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.,判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x0 ？（3）x取什么值时，y0 ？,解：（1）x1=2,x2=4;,（2）x4;,（3）2x4.,课堂小结,二次函数与一元二次方程,二次函数与一元二次方程的关系,y=ax2+bx+c(a 0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a 0),右边换成y时就成了二次函数.,二次函数与一元二次方程根的情况,二次函数与x轴的交点个数,判别式 的符号,一元二次方程根的情况,
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