1、小结与复习,第三十章 二次函数,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,一、二次函数的定义,要点梳理,1一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数特别地，当a0，bc0时， yax2是二次函数的特殊形式,2二次函数的三种基本形式 (1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)； (2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标,二、二次函数的图像和性质,三、二次函数yax2bxc的图象特征与系数a，b，c的关系,四、二次函
2、数图象的平移,任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下：,五、二次函数表达式的求法,1一般式：yax2bxc (a 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值,2顶点式：ya(xh)2k(a0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式,3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条
3、件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式,六、二次函数与一元二次方程的关系,二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,七、二次函数的应用,2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质
4、解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义,1二次函数的应用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解,考点讲练,例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_,【解析】 方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2) 方法二：代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2),解决此类题目可以先把二次函数yax2bxc配方为顶点式ya(xh)2k的形式，得到：对称轴是直线xh，最值为yk，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.,1对于y2(x3)22的图象下列叙述正确的是( )
5、A顶点坐标为(3,2) B对称轴为y3 C当x3时，y随x的增大而增大 D当x3时，y随x的增大而减小,C,例2 二次函数yx2bxc的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1y2,【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y11可得2ab0，故正确；由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；,由图象上横坐标为x1的点在第四象限得出abc0，由图象上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0， 即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确故选D.【答案】 D,1.
6、可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.,2.当x1时，函数yabc.当图象上横坐标 x1的点在x轴上方时，abc0；当图象上横坐标x1的点在x轴上时，abc0；当图象上横坐标x1的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图象上横坐标x1的点判断abc的符号.,3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）Ab1 Bb1Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大
7、而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .,D,抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.,例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是( ) Ay(x4)26 By(x4)22 Cy(x2)22 Dy(x1)23,【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y(x31)242，即y (x4)22.故选B.,B,4.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则必须（ ） A.先向左
8、平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位,B,例5:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.,待定系数法,解：设所求的二次函数为yax2+bxc, 由题意得：,解得, a=2,b=3,c=5., 所求的二次函数表达式为y2x23x5.,1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式； 2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式； 3.若已知二次函数图象与
9、x轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1.又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,5).所以其解析式为:(1) y=(x1)2+5 (2) y=(x1)25(3) y=(x1)2+5 (4) y=(x1)25,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（
10、 ） Ax1=0，x2=6 Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7,【解答】二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， =3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0， 即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7故选D,D,例7 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.,解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0x6.,(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;,当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.,这时设计费最多，为91000=9000（元）.,利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等.,二次函数,图象画法,抛物线 开口方向,抛物线的顶点坐标和对称轴,二次函数的性质,抛物线的平移,最值,确定解析式,应用,课堂小结,
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