1、2017-2018 学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D2二次根式 有意义的条件是（ ）Ax3 Bx3 Cx3 Dx 33矩形的两条对角线的夹角为 60 度，对角线长为 15，则矩形的较短边长为（ ）A12 B10 C7.5 D54化简 的结果正确的是（ ）A2 B2 C2 D45平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）个A1 B2 C3 D46能判定四边形是平行四边形的是（ ）A对角线互相垂直 B对角线相等C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分7下列
2、说法中错误的是（ ）A两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是矩形C两条对角线互相垂直的矩形是正方形D两条对角线相等的菱形是正方形8估计 的值在（ ）A在 1 和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C在 3 和 4 之间 D在 4 和 5 之间9顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A正方形 B矩形 C菱形 D梯形10如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A，B ， C，D 的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形 E 的面积是（ ）A13 B26 C47 D9411如图，矩形 ABCD 中，A
3、B3，AD1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M，则点 M 表示的实数为（ ）A2.5 B C D 112如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的边长为（ ）A10cm B13cm C15cm D24cm二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13在直角坐标系中，已知点 A （0，2），B（1，3），则线段 AB 的长度是 14在ABC 中，B90 度，BC 6，AC 8，则 AB 15已知 x +1，y 1，则 x2y 2 的值为 16菱形两条对角线长为 8cm 和 6c
4、m，则菱形面积为 cm 217如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC 交 AB 于 E，DF AB 交 AC 于 F且 AD 交 EF 于O，则AOF 度18已知，如图，正方形 ABCD 的边长是 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 边上的一动点，则DN+MN 的最小值是 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分）19（10 分）计算（1） +（2） 4 （1 ） 020（10 分）已知：a 2，b +2，分别求下列代数式的值：（1）a 2+2ab+b2（2）a 2bab 221（7 分）如图，已知ABCD 中，AE 平分BAD ，CF 平分BCD，分别交 BC、AD 于E、F
5、 求证： AFEC22（8 分）已知：如图，ABC 中，ACB 90，点 D、E 分别是 AC、AB 的中点，点 F 在BC 的延长线上，且CDFA 求证：四边形 DECF 是平行四边形23（10 分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点（1）在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形；（2）在图 2 中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2、 、 ；（3）如图 3，点 A、B、C 是小正方形的顶点，求ABC 的度数24（10 分）如图，ABC 中，ABAC ，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接DO 并延长到点 E
6、，使 OEOD ，连接 AE，BE（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由25（11 分）如图，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于 Q（1）如图 ，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图 ，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系，并证明你的猜想2017-2018 学年山东省临沂市平邑县八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题
7、（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案【解答】解：A、 ，不是最简二次根式，故此选项错误；B、 ，是最简二次根式，故此选项正确；C、 2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、 ，不是最简二次根式，故此选项错误故选：B【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键2二次根式 有意义的条件是（ ）Ax3 Bx3 Cx3 Dx 3【分析】根据二次根式
8、有意义的条件求出 x+30，求出即可【解答】解：要使 有意义，必须 x+30，x3，故选：C【点评】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使 有意义，必须 a03矩形的两条对角线的夹角为 60 度，对角线长为 15，则矩形的较短边长为（ ）A12 B10 C7.5 D5【分析】如下图所示：AODBOC60，即：COD120AOD60，AD 是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OAOD OCOB7.5，又因为AODBOC60，所以 AD 的长即可求出【解答】解：如下图所示：矩形 ABCD，对角线 ACBD15，AODBOC60四边形 ABCD 是矩形OA
9、OD OCOB157.5（矩形的对角线互相平分且相等）又AOD BOC60，OAOD AD 7.5，COD120AOD60ADDC所以该矩形较短的一边长为 7.5，故选：C【点评】本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”4化简 的结果正确的是（ ）A2 B2 C2 D4【分析】根据 | a|计算即可【解答】解：原式|2|2故选：B【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： |a|5平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）个A1 B2 C3 D4【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对
10、称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形故是轴对称图形的有 3 个故选：C【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合6能判定四边形是平行四边形的是（ ）A对角线互相垂直 B对角线相等C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分【分析】根据平行四边形的判定定理可知，对角线相互平分的四边形为平行四边形【解答】解：根据平行四边形的判定，D 能判定四边形是平行四边形故选：D【点评】此题主要考查平行四边形的判定：对角线相互平分的四边形为平行四边形7下列说法中错误的是（ ）A两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是矩形C两条对角线互相垂
11、直的矩形是正方形D两条对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等平分进行判定即可得出结论【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 A 选项正确；B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故 B 选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故 C 选项正确；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故 D 选项正确；综上所述，B 符合题意，故选：B【点评】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：四边形的两组对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分； 两组对角分别相等则四边形是平行四边形8估计 的值在（ ）A在 1
12、和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C在 3 和 4 之间 D在 4 和 5 之间【分析】由于 91116，于是 ，从而有 3 4【解答】解：91116， ，3 4故选：C【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题9顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A正方形 B矩形 C菱形 D梯形【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于 90，则这个四边形为矩形【解答】解：如图，ACBD，E、F、G 、H 分别为各边的中点，连接点 E、F、G、HE、F、G、H 分别为各边的中点，EFAC，GH
13、 AC，EH BD ，FGBD（三角形的中位线平行于第三边），四边形 EFGH 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），ACBD，EF AC，EHBD，EMOENO90，四边形 EMON 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），MEN90，四边形 EFGH 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故选：B【点评】本题考查了中点四边形矩形的判定方法，常用的方法有三种：一个角是直角的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形10如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A，B ， C，D 的边长分别是 3，5
14、，2，3，则最大正方形 E 的面积是（ ）A13 B26 C47 D94【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，C，D 的面积和即为最大正方形的面积【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得 A、B 的面积和为 S1，C、D 的面积和为S2，S 1+S2S 3，于是 S3S 1+S2，即 S39+25+4+947故选：C【点评】能够发现正方形 A，B，C ，D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A，B，C ，D 的面积和即是最大正方形的面积11如图，矩形 ABCD 中，AB3，AD1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 A
15、C 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M，则点 M 表示的实数为（ ）A2.5 B C D 1【分析】先利用勾股定理求出 AC，根据 ACAM，求出 OM，由此即可解决问题，【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ABC90，AB3，AD BC1，AC ，AMAC ，OA1，OM 1，点 M 表示点数为 1故选：D【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM 的长，属于中考常考题型12如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的边长为（ ）A10cm B13cm C15cm D24cm【分析】根据正方形的面
16、积可用对角线进行计算解答即可【解答】解：因为正方形 AECF 的面积为 50cm2，所以 AC cm，因为菱形 ABCD 的面积为 120cm2，所以 BD cm，所以菱形的边长 cm故选：B【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13在直角坐标系中，已知点 A （0，2），B（1，3），则线段 AB 的长度是 【分析】根据两点间的距离的求法，求出线段 AB 的长度是多少即可【解答】解：点 A （0，2），B（1，3），线段 AB 的长度是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质的应用，以及两点间
17、的距离的求法，要熟练掌握14在ABC 中，B90 度，BC 6，AC 8，则 AB 2 【分析】直接根据题意画出图形，再利用勾股定理求出答案【解答】解：如图所示：B90，BC6，AC8，AB 2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键15已知 x +1，y 1，则 x2y 2 的值为 4 【分析】求得 x+y2 ，x y2，将代数式进行适当的变形后，代入即可【解答】解：x +1，y 1，x+y2 ，x y 2，x 2y 2（x+y）（xy）2 24 ；故答案为 4 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键16菱形两条对角线长为 8c
18、m 和 6cm，则菱形面积为 24 cm 2【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求其面积即可长【解答】解：菱形面积是 68224cm 2；故答案为 24【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用菱形的面积的求法17如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC 交 AB 于 E，DF AB 交 AC 于 F且 AD 交 EF 于O，则AOF 90 度【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形 AEDF 为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出13，故可得出AEDF 为菱形，根据菱形的性质即可得出结论【解答】证明：DEAC，DFAB，四边形 AEDF 为平行四边形，OAOD ，OE
19、 OF ，23，AD 是ABC 的角平分线，12，13，AEDE AEDF 为菱形ADEF，即AOF90故答案为：90【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形 AEDF 是菱形是解答此题的关键18已知，如图，正方形 ABCD 的边长是 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 边上的一动点，则DN+MN 的最小值是 10 【分析】要求 DN+MN 的最小值，DN，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 DN，MN 的值，从而找出其最小值求解【解答】解：正方形是轴对称图形，点 B 与点 D 是关于直线 AC 为对称轴的对称点，连接 BNBD，则直线 AC 即为 BD 的
20、垂直平分线，BNNDDN+ MNBN+MN 连接 BM 交 AC 于点 P，点 N 为 AC 上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点 N 运动到点 P 时，BN+MNBP+PM BM，BN+MN 的最小值为 BM 的长度，四边形 ABCD 为正方形，BCCD8，CM82 6，BCM90，BM 10，DN+MN 的最小值是 10故答案为 10【点评】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用三、解答题（共 7 小题，满分 66 分）19（10 分）计算（1） +（2） 4 （1 ） 0【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值；（2）原式利用二次根式的乘法法则，以及零指数
21、幂法则计算即可求出值【解答】解：（1）原式 +2 4 +2 4+ ；（2）原式 4 12 【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（10 分）已知：a 2，b +2，分别求下列代数式的值：（1）a 2+2ab+b2（2）a 2bab 2【分析】（1）利用完全平方和公式分解因式后再代入计算（2）先提公因式，再代入计算【解答】解：当 a 2，b +2 时，（1）a 2+2ab+b2，（a+b） 2，（ 2+ +2） 2，（2 ） 2，12；（2）a 2bab 2，ab（ab），（ 2）（ +2）（ 2 2），（ ） 22 2（4），1（4），4【点评】本题是运用简便
22、方法进行二次根式的化简求值，分解因式是基础，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键21（7 分）如图，已知ABCD 中，AE 平分BAD ，CF 平分BCD，分别交 BC、AD 于E、F 求证： AFEC【分析】由平行四边形的性质得出 ADBC，BADBCD，证出DAEAEB，由已知条件得出DAEFCB AEB，证出 AEFC ，得出四边形 AECF 为平行四边形，即可得出结论【解答】证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ADBCBAD BCD，AFEC，DAEAEB，AE 平分BAD，CF 平分BCD，DAE BAD ，FCB BCD，DAEFCBAEB ，AEFC，四边形 AECF
23、为平行四边形，AFCE【点评】本题主要考查平行四边形的性质与判定；证明四边形 AECF 为平行四边形是解决问题的关键22（8 分）已知：如图，ABC 中，ACB 90，点 D、E 分别是 AC、AB 的中点，点 F 在BC 的延长线上，且CDFA 求证：四边形 DECF 是平行四边形【分析】首先利用三角形中位线的性质得出 DEBC，进而结合直角三角形的性质得出CE ABAE，得出CDF ACE ，推出 DFCE，再利用平行四边形的定义判定即可【解答】证明：D，E 分别为 AC，AB 的中点，DE 为ACB 的中位线DEBCCE 为 RtACB 的斜边上的中线，CE ABAEAACE又CDFA，
24、CDFACEDFCE又DEBC，四边形 DECF 为平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法23（10 分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点（1）在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形；（2）在图 2 中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2、 、 ；（3）如图 3，点 A、B、C 是小正方形的顶点，求ABC 的度数【分析】（1）根据勾股定理画出边长为 的正方形即可；（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可
25、；（3）连接 AC、CD，求出 ACB 是等腰直角三角形即可【解答】解：（1）如图 1 的正方形的边长是 ，面积是 10；（2）如图 2 的三角形的边长分别为 2， ， ；（3）如图 3，连接 AC，CD，则 ADBD CD ，ACB90，由勾股定理得：ACBC ，ABCBAC45【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力24（10 分）如图，ABC 中，ABAC ，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接DO 并延长到点 E，使 OEOD ，连接 AE，BE（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当ABC 满足
26、什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出ADB90，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出 ADBD CD，进而利用正方形的判定得出即可【解答】（1）证明：点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OEOD，四边形 AEBD 是平行四边形，ABAC，AD 是BAC 的角平分线，ADBC，ADB90，平行四边形 AEBD 是矩形；（2）当BAC90时，理由：BAC90，AB AC ，AD 是BAC 的角平分线，ADBD CD，由（1）得四边形 AEBD 是矩形，矩
27、形 AEBD 是正方形【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键25（11 分）如图，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于 Q（1）如图 ，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图 ，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系，并证明你的猜想【分析】（1）结论：PBPQ，如图 中，过 P 作 PEBC，PFCD，垂足分别为 E，F只要证明
28、 RtPQFRtPBE 即可（2）结论不变，证明方法类似【解答】解：（1）结论：PBPQ，理由：如图中，过 P 作 PEBC ，PF CD，垂足分别为 E，FP 为正方形对角线 AC 上的点，PC 平分DCB，DCB 90，PFPE，四边形 PECF 为正方形BPE +QPE90，QPE+QPF90，BPE QPF，在PQF 和PBE 中，RtPQFRtPBE，PBPQ ； （2）结论：PBPQ 理由：如图，过 P 作 PEBC ，PF CD，垂足分别为 E，F，P 为正方形对角线 AC 上的点，PC 平分DCB，DCB 90，PFPE，四边形 PECF 为正方形，BPF +QPF90，BPF+BPE 90，BPE QPF，在PQF 和PBE 中，RtPQFRtPBE，PBPQ 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全球的三角形解决问题，属于中考常考题型
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