1、小结与复习,第18章 勾股定理,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,要点梳理,1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么,a2 + b2 = c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,在直角三角形中才可以运用,2.勾股定理的应用条件,一、勾股定理,3.勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2, b2c2a2，,二、勾股定理的逆定理,1.勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.,满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.,2.勾股数,3.原命题与逆命题,如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫
2、做原命题，另一个叫做它的逆命题.,例1 在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长,解：（1）在RtABC中，ACB=90，（2）方法一：SABC= ACBC= ABCD， 2015=25CD， CD=12 在RtBCD中，,考点讲练,方法二：设BD=x,则AD=25-x.,解得x=9.BD=9.,对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.,1.RtABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（ ） A.8 B.
3、4 C.6 D.无法计算,A,3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为_.,2.如图，C=ABD=90，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长为_,13或5,13,4已知RtABC中，C=90，若a +b=14cm， c=10cm，求ABC的面积.,解：a+b=14， (a+b)2=196. 又a2+b2=c2=100， 2ab=196-(a2+b2)=96， ab=24,例2 我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，
4、它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，,在直角三角形ABC中，BC=5尺,由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即 52+ x2= (x+1)2,25+ x2= x2+2x+1，,2x=24，, x=12， x+1=13.,答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.,D,B,C,A,例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？,解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：,沿ABB1A1和A1 B1C1D
5、1面；沿ABB1A1和BCC1B1面；沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：,解：在RtABC1中，,在RtACC1中，,在RtAB1C1中，,沿路径走路径最短，最短路径长为5.,化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.,5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是_米,4,在RtABO中，OA2米，DCOB1.4米， AB2221.422.04. 42.61.4，1.421.96， 2.041.96， 答：卡车可以通过，但要小心,解：如图，过半圆直径的中点O，
6、作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.,6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？,7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处. （1）此时快艇航行了多少米(即AB 的长)？,A,B,60,45,C,解：根据题意得AOC=30， COB=45，AO=1000米. AC=500米，BC=OC. 在RtAOC中，由勾股定理
7、得BC=OC=,在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处. （2）距离哨所多少米（即OB的长） ？,A,B,60,45,C,解：在RtBOC中，由勾股定理得,例4 在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ，2c-b=12，求ABC的面积,解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k， 2c-b=12， 10k-4k=12， k=2， a=6，b=8，c=10， 62+82=102， a2+b2=c2， ABC为直角三角形， ABC的面积为 68=24,例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方
8、向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？,解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile） 162+302=1156，342=1156, BM2+BP2=MP2, MBP为直角三角形，MBP=90 , 乙船是沿着南偏东30方向航行的,8.下列各组数中，是勾股数的为（ ） A1，2，3 B4，5，6 C3，4，5 D7，8，9,9.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三
9、角形的有_,(2)(4),C,10.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，ABC=90猜想A与C关系并加以证明,解：猜想A+C=180 连接AC. ABC=90， 在RtABC中，由勾股定理得 AC= =25cm， AD2+DC2=625=252=AC2， ADC是直角三角形，且D=90， DAB+B+BCD+D=360， DAB+BCD=180， 即A+C=180,例6 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求ABE的面积.,解：长方形折叠，使点B与点D重合， ED=BE. 设AE
10、=xcm，则ED=BE=(9-x)cm， 在RtABE中， AB2+AE2=BE2， 32+x2=(9-x)2， 解得x=4. ABE的面积为34 =6(cm2).,勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解,11.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 ,1.75cm,考点四 本章解题思想方法,方程思想,例7 如图，在ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，ADBC于D.试求ABC的面积,解：在RtABD和RtACD
11、中， AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2， 设DC=x，则BD=9+x， 故172-(9+x)2=102-x2， 解得x=6. AD2= AC2CD2 = 64，AD=8. SABC= 98=36,解：当高AD在ABC内部时，如图. 在RtABD中，由勾股定理， 得BD2AB2AD2202122162， BD16. 在RtACD中，由勾股定理， 得CD2AC2AD215212281， CD9.BCBDCD25， ABC的周长为25201560.,例8 在ABC中，AB20，AC15，AD为BC边上的高，且AD12，求ABC的周长,分类讨论思想,题中未给出图形，作高构造直角三角形时，
12、易漏掉钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高AD在ABC内的情形，忽视高AD在ABC外的情形,当高AD在ABC外部时，如图. 同理可得 BD16，CD9. BCBDCD7， ABC的周长为7201542. 综上所述，ABC的周长为42或60.,例9 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm求蜘蛛爬行的最短路径长(取3).,解：如图,沿AA1剪开,过Q作QMBB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= 22=6(cm)， 在RtQMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是 cm,转化思想,课堂小结,见章末练习,课后作业,
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